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文档简介
上海市嘉定区外国语学校2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知角是第三象限的角,则角是()A.第一或第二象限的角 B.第二或第三象限的角C.第一或第三象限的角 D.第二或第四象限的角2.若直线y=x+b与曲线有公共点,则b的取值范围是A.B.C.D.3.若,且,则的值为A. B. C. D.4.已知向量a=(1,-1),bA.-1 B.0 C.1 D.25.等比数列{an}中,a3=12A.3×10-5C.128 D.3×2-56.下列函数中,在区间上是减函数的是()A. B. C. D.7.已知函数的部分图象如图所示,则此函数的解析式为()A. B.C. D.8.已知等比数列中,若,且成等差数列,则()A.2 B.2或32 C.2或-32 D.-19.圆与圆的位置关系是()A.外离 B.相交 C.内切 D.外切10.已知,,,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于().A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.若a、b、c正数依次成等差数列,则的最小值为_______.12.设,,,,,为坐标原点,若、、三点共线,则的最小值是_______.13.某中学为了了解全校学生的阅读情况,在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查,并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计,将学生去图书馆的次数分为5组:制作了如图所示的频率分布表,则抽样总人数为_______.14.各项均为实数的等比数列的前项和为,已知成等差数列,则数列的公比为________.15.不等式的解集是_________________16.一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C,前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏,经测量可知AB两岛之间距离为3公里,BC两岛之间距离为5公里,AC两岛之间距离为7公里,现调查后发现,游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于(优弧)一片的风景更加喜欢,但由于环保、安全等其他原因,没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光,现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览,经研究论证为使得游览面积最大,只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.(注:索道两端之间的长度视为线段)三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.求经过直线的交点,且满足下列条件的直线方程:(1)与直线平行;(2)与直线垂直.18.如图,在中,点在边上,为的平分线,.(1)求;(2)若,,求.19.如图,在处有一港口,两艘海轮同时从港口处出发向正北方向匀速航行,海轮的航行速度为20海里/小时,海轮的航行速度大于海轮.在港口北偏东60°方向上的处有一观测站,1小时后在处测得与海轮的距离为30海里,且处对两艘海轮,的视角为30°.(1)求观测站到港口的距离;(2)求海轮的航行速度.20.已知数列的前项和为,,.(1)证明:数列是等比数列,并求其通项公式;(2)令,若对恒成立,求的取值范围.21.(1分)设数列{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3﹣a2=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】
可采取特殊化的思路求解,也可将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一、二、三、四,则标有三的即为所求区域.【详解】(方法一)取,则,此时角为第二象限的角;取,则,此时角为第四象限的角.(方法二)如图,先将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一、二、三、四,则标有三的区域即为角的终边所在的区域,故角为第二或第四象限的角.故选:D【点睛】本题主要考查了根据所在象限求所在象限的方法,属于中档题.2、C【解析】
试题分析:如图所示:曲线即(x-2)2+(y-3)2=4(-1≤y≤3),表示以A(2,3)为圆心,以2为半径的一个半圆,直线与圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离等于半径2,可得=2,∴b=1+2,b=1-2当直线过点(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,此时b=-1结合图象可得≤b≤3故答案为C3、A【解析】
利用诱导公式求得sinα的值,再利用同角三角函数的基本关系求得cosα,再利用二倍角公式,求得sin2α的值.【详解】解:,且,,则,故选A.【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,二倍角公式进行化简三角函数式,属于基础题.4、C【解析】
由向量的坐标运算表示2a【详解】解:因为a=(1,-1),b=(-1,2故选C.【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算;属于基础题目.5、D【解析】
根据等比数列的通项公式得到公比,进而得到通项.【详解】设公比为q,则12q+12q=30,∴∴q=2或q=12,∴a10即3×29或故选D.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用,属于简单题.6、C【解析】
根据初等函数的单调性对各个选项的函数的解析式进行逐一判断【详解】函数在单调递增,在单调递增.
在单调递减,在单调递增.故选:C【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断,属于基础试题.7、B【解析】
由图象可知,所以,又因为,所以所求函数的解析式为.8、B【解析】
根据等差数列与等比数列的通项公式及性质,列出方程可得q的值,可得的值.【详解】解:设等比数列的公比为q(),成等差数列,,,,解得:,,,故选B.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质,熟悉其性质是解题的关键.9、D【解析】
根据圆的方程求得两圆的圆心和半径,根据圆心距和两圆半径的关系可确定位置关系.【详解】由圆的方程可知圆圆心为,半径;圆圆心为,半径圆心距为:两圆的位置关系为:外切本题正确选项:【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定,关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径,从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系.10、A【解析】以为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,即,所以,,因此,因为,所以的最大值等于,当,即时取等号.考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、1【解析】
由正数a、b、c依次成等差数列,则,则,再结合基本不等式求最值即可.【详解】解:由正数a、b、c依次成等差数列,则,则,当且仅当,即时取等号,故答案为:1.【点睛】本题考查了等差中项的运算,重点考查了基本不等式的应用,属基础题.12、【解析】
根据三点共线求得的的关系式,利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意,由于三点共线,所以,化简得,故,当且仅当,即时,取得最小值【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示,考查利用基本不等式求最小值,属于基础题.13、20【解析】
总体人数占的概率是1,也可以理解成每个人在整体占的比重一样,所以三组的频率为:,共有14人,即14人占了整体的0.7,那么整体共有人。【详解】前三组,即三组的频率为:,,解得:【点睛】此题考查概率,通过部分占总体的概率即可计算出总体的样本值,属于简单题目。14、【解析】
根据成等差数列得到,计算得到答案.【详解】成等差数列,则故答案为:【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的综合应用,意在考查学生对于数列公式的灵活运用.15、【解析】
可先求出一元二次方程的两根,即可得到不等式的解集.【详解】由于的两根分别为:,,因此不等式的解集是.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的求解,难度不大.16、【解析】
根据题意画出草图,根据余弦定理求出的值,设点到的距离为,可得,分析可知取最大时,取最大值,然后再对为中点和不是中点两种情况分析,可得的最大值为,然后再根据圆的有关性质和正弦定理,即可求出结果.【详解】根据题意可作出及其外接圆,连接,交于点,连接,如下图:在中,由余弦定理,由为的内角,可知,所以.设的半径为,点到的距离为,点到的距离为,则,故取最大时,取最大值.①当为中点时,由垂径定理知,即,此时,故;②当不是中点时,不与垂直,设此时与所成角为,则,故;由垂线段最短知,此时;综上,当为中点时,到的距离最大,最大值为;由圆周角定理可知,,由垂径定理知,此时点为优弧的中点,故,则,在中,由正弦定理得所以.所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.故答案为:.【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用,属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)先求出,再设所求的直线为,代入求出后可得所求的直线方程.(2)设所求的直线为,代入求出后可得所求的直线方程.【详解】(1)由题意知:联立方程组,解得交点,因为所求直线与直线平行,故设所求直线的方程为,代入,解得,即所求直线方程为(2)设与垂直的直线方程为因为过点,代入得,故所求直线方程为【点睛】本题考查直线方程的求法,注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程,本题属于容易题.18、(1)(2)【解析】
(1)令,正弦定理,得,代入面积公式计算得到答案.(2)由题意得到,化简得到,,再利用面积公式得到答案.【详解】(1)因为的平分线,令在中,,由正弦定理,得所以.(2)因为,所以,又由,得,,因为,所以所以.【点睛】本题考查了面积的计算,意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.19、(1)海里;(2)速度为海里/小时【解析】
(1)由已知可知,所以在中,运用余弦定理易得OA的长.(2)因为C航行1小时到达C,所以知道OC的长即可,即求BC的长.在中,由正弦定理求得,在中,再由正弦定理即可求出BC.【详解】(1)因为海伦的速度为20海里/小时,所以1小时后,海里又海里,,所以中,由余弦定理知:即即,解得:海里(2)中,由正弦定理知:解得:中,,,所以所以在中,由正弦定理知:,解得:所以答:船的速度为海里/小时【点睛】三角形中一般已知三个条件可求其他条件,用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理.20、(1)证明见解析,(2)【解析】
(1)当时,结合可求得;当且时,利用可整理得,可证得数列为等比数列;根据等比数列通项公式可求得结果;(2)根据等比数列求和公式求得,代入可得;分别在为奇数和为偶数两种情况下根据恒成立,采用分离变量的方法得到的范围,综合可得结果.【详解】(1)当时,,又当且时,数列是以为首项,为公比的等比数列(2)由(1)知:当为奇数时,,即:恒成立当为偶数时,,即:综上所述,若对恒成立,则【点睛】本题考查等比数列知识的综合应用,涉及到利用与关系证明数列为等比数列、等比数列通项公式和求和公式的应用、恒成立问题的求解;本题解题关键是能够进行合理分类,分别在两种情况下求解参数的范围,最终取交集得到结果.21、(1)an=2×【解析】试题分析:(1)设出等比数列{an}的公比q,利用条件a1=4,a3﹣a4(4)数列{an+bn}是
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