实数知识点及典型例题教案

[标签:标题]篇一：实数知识点汇总及经典练习题第二章实数知识点汇总及经典练习题一,知识点归纳1.实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：??自然数(0,1,2,3?)?整数????负整数(?1,?2,?3?)???12??有理数?正分数(,?)(整数、有限小数、无限循环小数)??23?分数(小数)??实数?12??负分数(?,??)??23?????正有理数?(无限不循环小数)??无理数?负有理数????正整数??正有理数?正实数???正分数???正无理数??实数?零（既不是正数也不是负数）???负整数?负有理数??负实数???负分数????负无理数?2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．实数的运算（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。3、实数的大小比较常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。（3）设a，b是任意两实数，若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b。二、数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。（2）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数。三、相反数、倒数、绝对值1、只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。2、1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。若实数a、b互为倒数，则ab=1。3、从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。四、近似数、有效数字、科学计数法（1）对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字；（2）将较大的正数N（N>1）写成a?10的形式，其中1?a?10，指数n为原数的整数位数减1的差；（3）将将较小的正数N表示为a?10的形式，其中1?a?10，指数n为第一位有效数字前零的个数的相反数。3..算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作a。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。nn4.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。5.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。6.a??ab?a?0,b?0?aa?(a?0,b?0)bb（2）若b3=a，则b叫做a的立方根。（3?a???a(a?0)??a(a?0).二【典型例题】例1若a为实数,下列代数式中,一定是负数的是()A.－a2B.－(a+1)2C.－a2D.－(?a+1)例2实数a在数轴上的位置如图所示,化简:a??(a?2)2例3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（）A.C.5－2B.2－5－3D.3－例4已知a、b是有理数，且满足（a－2）2+b?3=0，则ab的值为三【能力训练】1.已知a?2?5,则a的相反数是a的倒数是；若在数轴上表示a,它在原点的侧(填“左”或“右”)；且到原点的距离是.2.在两个连续整数a和b之间,a﹤﹤b,那么a、b的值分别是2?3.已知：22334455?22?，3??32?，4??42?，5??52?，338815152424bb…，若10??102?符合前面式子的规律，则a?b?。aa4．下列结论正确的是（）A.∵a?b，∴a﹥bB.C.a与a2?(a)21不一定互为相反数D.a+b﹥a－ba5．请你估算的大小（）A.1﹤﹤2B.2﹤﹤3C.3﹤﹤4D.4﹤﹤56．若数轴上表示数a的点在原点的左边，则化简2a?a2的结果是（）A.－aB.－3aC.aD.3a7．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，求a+b+x2－cdx的值．8．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x、y满足x?2?y?4y?4?0，求的值．(a?b)2008x2?(cd)2009y?(a?b?cd)y2xy9．如图2，数轴上表示1和2的点分别为A和B，点B关于点A的对称点为C．设C点所表示的数为x，求x+10.计算：22的值．x(1)111(?2)3?()?2?(1?)0????4326(2)?2010)0?311.已知：?x?2???0.125，求x的值|a|5?a，则a。(3)若|a|??a，则a；若??1，则a；若|a?5|?a(1)(4)若xx?____．?3.14?____．(5)把20492用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（）（A）20000（B）2.0?104（C）2.1?104（D）2.05?10422例2已知(2x)?16，y是(?5)的正的平方根，求代数式x?x?yx的值.x?y例3将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.π，?，2?5，0，π?1.2例4数a、b在数轴上的位置如图所示：222化简：(a?1)?(b?1)?(a?b)例7已知a是7的整数部分，b是的小数部分，求(b－7)a的值例8在实数中，绝对值等于它本身的数有（）．A.1个B.2个C.3个D.无数个例9一组数1?,3.14,,?27,?,22这几个数中，无理数的个数是（）32A.2B.3C.4D.5例10下列说法中，不正确的是（）．A.3是(?3)2的算术平方根B.±3是(?3)2的平方根C.－3是(?3)2的算术平方根D.－3是(?3)3的立方根例11下列运算正确的是（）；A、任何数都有平方根；B、－9的立方根是－3；C、0的算术平方根是0；D、8的立方根是±3。例12的平方根是（）；A、4；B、±4；C、2；D、±2例132是___的平方根；1－2的相反数是；若x的立方根是?22例14计算:(3??)?(4??)?_____________1，则x＝4例15将下列各数由小到大重新排成一列，并用“＜”号连接起来：－π，0，2，－3.15，3.5例16计算(1)例17化简(1)6??8?25(2)211515111?2???(3)?2a3b2????3a6b6?(4)(2a3b2)(?6a2b3)?(?3a6b6)????????4×25；(2)3?0.064(3)2?52?216?97?.25??169例18设x,y为实数,且已知x?1?y?2?0，求x．例19实数a,b在数轴上对应的点如图，化简：|a?b|?|b?a|?|b|?|a?|a||y篇三：实数知识点总结及典型例题练习实数知识点总结考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。正整数又叫自然数。正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,2等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π3+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001?等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“?a”。2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a（a?0）a?0a2?a?-a（a<0）；注意aa?03、立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：?a??a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做?a?10n的形式，其中1?a?10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点五、实数大小的比较1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，a?b?0?a?b,a?b?0?a?b,a?b?0?a?b（3）求商比较法：设a、b是两正实数，ab?1?a?b;ab?1?a?b;ab?1?a?b;（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a?b?a?b。（5）平方法：设a、b是两负实数，则a2?b2?a?b。考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）1、加法交换律a?b?b?a2、加法结合律(a?b)?c?a?(b?c)3、乘法交换律ab?ba4、乘法结合律(ab)c?a(bc)5、乘法对加法的分配律a(b?c)?ab?ac6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。7、有理数除法运算法则就什么？有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:an9、有理数乘方运算的法则是什么？负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。三．经典题型例1填空：(1)425的平方根是，的算术平方根是；(2)的平方等于9916，16的算术平方根是.例2已知(2x)2?16，y是(?5)2的正的平方根，求代数式x的值.x?y?xx?y例3将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.π，?5，2?5，0，π2?1.例4数a、b在数轴上的位置如图所示：化简：(a?1)2?(b?1)2?(a?b)2例5．请你观察、思考下列计算过程：因为112?121，所以?11，同样，因为1112?12321，所以?111…由此猜想7654321=_________________．例6.若xx?____．?3.14?____．四．易错题型1、已知a是7的整数部分，b是7的小数部分，求(b－7)a的值五．金典练习1.在实数中，绝