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文档简介
天津市东丽区重点中学中考数学模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.浙江省陆域面积为101800平方千米。数据101800用科学记数法表示为()A.1.018×104 B.1.018×105 C.10.18×105 D.0.1018×1062.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B,顶点为P,若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形,则b2﹣4ac的值为()A.1 B.4 C.8 D.123.如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是()A. B. C. D.4.已知点A(0,﹣4),B(8,0)和C(a,﹣a),若过点C的圆的圆心是线段AB的中点,则这个圆的半径的最小值是()A. B. C. D.25.如图,△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4:9,则OB′:OB为()A.2:3 B.3:2 C.4:5 D.4:96.小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,小带和小路两人车离开A城的距离y(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示.有下列结论;①A,B两城相距300km;②小路的车比小带的车晚出发1h,却早到1h;③小路的车出发后2.5h追上小带的车;④当小带和小路的车相距50km时,t=或t=.其中正确的结论有()A.①②③④ B.①②④C.①② D.②③④7.如图,AB是的直径,点C,D在上,若,则的度数为A. B. C. D.8.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为(
)A.﹣1 B.0 C.1 D.39.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=30°,⊙O的半径为6,则的长等于()A.π B.2π C.3π D.4π10.如图,点C是直线AB,DE之间的一点,∠ACD=90°,下列条件能使得AB∥DE的是()A.∠α+∠β=180° B.∠β﹣∠α=90° C.∠β=3∠α D.∠α+∠β=90°二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.计算()()的结果等于_____.12.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中方程术是重要的数学成就.书中有一个方程问题:今有醇酒一斗,直钱五十;行酒一斗,直钱一十.今将钱三十,得酒二斗.问醇、行酒各得几何?意思是:今有美酒一斗,价格是50钱;普通酒一斗,价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱,问买美酒、普通酒各多少?设买美酒x斗,买普通酒y斗,则可列方程组为______________.13.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.水面下降2.5m,水面宽度增加_____m.14.若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为______.15.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,请你写出一个满足条件的值__________.16.如图,MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为_____.17.将多项式xy2﹣4xy+4y因式分解:_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,△ABC中,AB=AC=4,D、E分别为AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F;(1)求证:DE=CF;(2)若∠B=60°,求EF的长.19.(5分)已知关于的一元二次方程(为实数且).求证:此方程总有两个实数根;如果此方程的两个实数根都是整数,求正整数的值.20.(8分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.(1)求证:四边形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.21.(10分)已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=时,求的值;(2)如图2,当tan∠ABC=时,过D作DH⊥AE于H,求的值;(3)如图3,连AD交BC于G,当时,求矩形BCDE的面积22.(10分)如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.①求∠CAM的度数;②当FH=,DM=4时,求DH的长.23.(12分)为了提高中学生身体素质,学校开设了A:篮球、B:足球、C:跳绳、D:羽毛球四种体育活动,为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况,在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种),将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图(未画完整).这次调查中,一共调查了________名学生;请补全两幅统计图;若有3名喜欢跳绳的学生,1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动,欲从中选出2人担任组长(不分正副),求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率.24.(14分)已知直线y=mx+n(m≠0,且m,n为常数)与双曲线y=(k<0)在第一象限交于A,B两点,C,D是该双曲线另一支上两点,且A、B、C、D四点按顺时针顺序排列.(1)如图,若m=﹣,n=,点B的纵坐标为,①求k的值;②作线段CD,使CD∥AB且CD=AB,并简述作法;(2)若四边形ABCD为矩形,A的坐标为(1,5),①求m,n的值;②点P(a,b)是双曲线y=第一象限上一动点,当S△APC≥24时,则a的取值范围是.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】.故选B.点睛:在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时,我们要注意两点:①必须满足:;②比原来的数的整数位数少1(也可以通过小数点移位来确定).2、B【解析】
设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为(x1,0),(x2,0),利用二次函数的性质得到P(-,),利用x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根得到x1+x2=-,x1•x2=,则利用完全平方公式变形得到AB=|x1-x2|=,接着根据等腰直角三角形的性质得到||=•,然后进行化简可得到b2-1ac的值.【详解】设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为(x1,0),(x2,0),顶点P的坐标为(-,),则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根,∴x1+x2=-,x1•x2=,∴AB=|x1-x2|====,∵△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形,
∴||=•,=,∴b2-1ac=1.故选B.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质.3、C【解析】连接CD,交MN于E,∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,∴MN⊥CD,且CE=DE.∴CD=2CE.∵MN∥AB,∴CD⊥AB.∴△CMN∽△CAB.∴.∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,∴∴.∴.故选C.4、B【解析】
首先求得AB的中点D的坐标,然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式,然后求得与y=-x的交点坐标,再求得交点与D之间的距离即可.【详解】AB的中点D的坐标是(4,-2),∵C(a,-a)在一次函数y=-x上,∴设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b,把(4,-2)代入解析式得:4+b=-2,解得:b=-1,则函数解析式是y=x-1.根据题意得:,解得:,则交点的坐标是(3,-3).则这个圆的半径的最小值是:=.
故选:B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式,以及两直线垂直的条件,正确理解C(a,-a),一定在直线y=-x上,是关键.5、A【解析】
根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′,再根据相似三角形的性质进行求解即可得.【详解】由位似变换的性质可知,A′B′∥AB,A′C′∥AC,∴△A′B′C′∽△ABC,∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4:9,∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2:3,∴,故选A.【点睛】本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.6、C【解析】
观察图象可判断①②,由图象所给数据可求得小带、小路两车离开A城的距离y与时间t的关系式,可求得两函数图象的交点,可判断③,再令两函数解析式的差为50,可求得t,可判断④,可得出答案.【详解】由图象可知A,B两城市之间的距离为300km,小带行驶的时间为5h,而小路是在小带出发1h后出发的,且用时3h,即比小带早到1h,∴①②都正确;设小带车离开A城的距离y与t的关系式为y小带=kt,把(5,300)代入可求得k=60,∴y小带=60t,设小路车离开A城的距离y与t的关系式为y小路=mt+n,把(1,0)和(4,300)代入可得解得∴y小路=100t-100,令y小带=y小路,可得60t=100t-100,解得t=2.5,即小带和小路两直线的交点横坐标为t=2.5,此时小路出发时间为1.5h,即小路车出发1.5h后追上甲车,∴③不正确;令|y小带-y小路|=50,可得|60t-100t+100|=50,即|100-40t|=50,当100-40t=50时,可解得t=,当100-40t=-50时,可解得t=,又当t=时,y小带=50,此时小路还没出发,当t=时,小路到达B城,y小带=250.综上可知当t的值为或或或时,两车相距50km,∴④不正确.故选C.【点睛】本题主要考查一次函数的应用,掌握一次函数图象的意义是解题的关键,特别注意t是甲车所用的时间.7、B【解析】试题解析:连接AC,如图,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∴故选B.点睛:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.8、D【解析】分析:由于方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,所以∆=b2﹣4ac=0,可得关于c的一元一次方程,然后解方程求出c的值.详解:由题意得,(-4)2-4(c+1)=0,c=3.故选D.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式∆=b2﹣4ac:当∆>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当∆=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当∆<0时,一元二次方程没有实数根.9、B【解析】
根据圆周角得出∠AOB=60°,进而利用弧长公式解答即可.【详解】解:∵∠ACB=30°,∴∠AOB=60°,∴的长==2π,故选B.【点睛】此题考查弧长的计算,关键是根据圆周角得出∠AOB=60°.10、B【解析】
延长AC交DE于点F,根据所给条件如果能推出∠α=∠1,则能使得AB∥DE,否则不能使得AB∥DE;【详解】延长AC交DE于点F.A.∵∠α+∠β=180°,∠β=∠1+90°,∴∠α=90°-∠1,即∠α≠∠1,∴不能使得AB∥DE;B.∵∠β﹣∠α=90°,∠β=∠1+90°,∴∠α=∠1,∴能使得AB∥DE;C.∵∠β=3∠α,∠β=∠1+90°,∴3∠α=90°+∠1,即∠α≠∠1,∴不能使得AB∥DE;D.∵∠α+∠β=90°,∠β=∠1+90°,∴∠α=-∠1,即∠α≠∠1,∴不能使得AB∥DE;故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定方法:①两同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行于同一直线的两条直线互相平行;同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、4【解析】
利用平方差公式计算.【详解】解:原式=()2-()2=7-3=4.故答案为:4.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算.12、【解析】
设买美酒x斗,买普通酒y斗,根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组.【详解】依题意得:.故答案为.【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组.13、1.【解析】
根据已知建立平面直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案【详解】解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半1米,抛物线顶点C坐标为(0,1),
设顶点式y=ax1+1,把A点坐标(-1,0)代入得a=-0.5,
∴抛物线解析式为y=-0.5x1+1,
当水面下降1.5米,通过抛物线在图上的观察可转化为:
当y=-1.5时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离,
可以通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出:
-1.5=-0.5x1+1,
解得:x=±3,
1×3-4=1,
所以水面下降1.5m,水面宽度增加1米.
故答案为1.【点睛】本题考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键,学会把实际问题转化为二次函数,利用二次函数的性质解决问题,属于中考常考题型.14、1【解析】试题分析:将x=﹣1代入方程得:1﹣3+m+1=0,解得:m=1.考点:一元二次方程的解.15、1【解析】
先根据根的判别式求出c的取值范围,然后在范围内随便取一个值即可.【详解】解得所以可以取故答案为:1.【点睛】本题主要考查根的判别式,掌握根的判别式与根个数的关系是解题的关键.16、2【解析】
过A作关于直线MN的对称点A′,连接A′B,由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值,【详解】解:连接OB,OA′,AA′,∵AA′关于直线MN对称,∴∵∠AMN=40°,∴∠A′ON=80°,∠BON=40°,∴∠A′OB=120°,过O作OQ⊥A′B于Q,在Rt△A′OQ中,OA′=2,
∴A′B=2A′Q=即PA+PB的最小值.【点睛】本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形,根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.17、y(xy﹣4x+4)【解析】
直接提公因式y即可解答.【详解】xy2﹣4xy+4y=y(xy﹣4x+4).故答案为:y(xy﹣4x+4).【点睛】本题考查了因式分解——提公因式法,确定多项式xy2﹣4xy+4y的公因式为y是解决问题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、证明见解析;.【解析】
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明;只要求出CD即可解决问题.【详解】证明:、E分别是AB、AC的中点,又四边形CDEF为平行四边形.,,又为AB中点,在中,,,四边形CDEF是平行四边形,.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.19、(1)证明见解析;(2)或.【解析】
(1)求出△的值,再判断出其符号即可;(2)先求出x的值,再由方程的两个实数根都是整数,且m是正整数求出m的值即可.【详解】(1)依题意,得,,.∵,∴方程总有两个实数根.(2)∵,∴,.∵方程的两个实数根都是整数,且是正整数,∴或.∴或.【点睛】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac的关系是解答此题的关键.20、(1)见解析;(1)4【解析】
(1)根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等:CD=BD,得证;(1)由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度,然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答.【详解】(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,∴四边形DBEC为平行四边形.又∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴CD=BD=AC,∴平行四边形DBEC是菱形;(1)∵点D,F分别是AC,AB的中点,AD=3,DF=1,∴DF是△ABC的中位线,AC=1AD=6,S△BCD=S△ABC∴BC=1DF=1.又∵∠ABC=90°,∴AB===4.∵平行四边形DBEC是菱形,∴S四边形DBEC=1S△BCD=S△ABC=AB•BC=×4×1=4.点睛:本题考查了菱形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,三角形中位线定理.由点D是AC的中点,得到CD=BD是解答(1)的关键,由菱形的性质和三角形的面积公式得到S四边形DBEC=S△ABC是解(1)的关键.21、(1);(2)80;(3)100.【解析】
(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=得出,设FK=3a,AK=5a,可求得BF=a,故;(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED,得△EGA∽△EHD,利用相似三角形的性质即可求出;(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED,故可求出矩形的面积.【详解】解:(1)过A作AK⊥BC于K,∵sin∠BEF=,sin∠FAK=,∴,设FK=3a,AK=5a,∴AK=4a,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BK=CK=4a,∴BF=a,又∵CF=7a,∴(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED,∵∠AGE=∠DHE=90°,∴△EGA∽△EHD,∴,∴,其中EG=BK,∵BC=10,tan∠ABC=,cos∠ABC=,∴BA=BC·cos∠ABC=,BK=BA·cos∠ABC=∴EG=8,另一方面:ED=BC=10,∴EH·EA=80(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,∵BC∥KT,,∴,同理:∵FG2=BF·CG∴,∴ED2=KE·DT∴,又∵△KEB∽△CDT,∴,∴KE·DT=BE2,∴BE2=ED2∴BE=ED∴【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.22、(1)证明见解析;(2)结论:成立.理由见解析;(3)①30°,②1+.【解析】
(1)只要证明AB=ED,AB∥ED即可解决问题;(2)成立.如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形,推出ED=GM,且ED∥GM,由(1)可知AB=GM,AB∥GM,可知AB∥DE,AB=DE,即可推出四边形ABDE是平行四边形;
(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,只要证明MI=AM,MI⊥AC,即可解决问题;②设DH=x,则AH=x,AD=2x,推出AM=4+2x,BH=4+2x,由四边形ABDE是平行四边形,推出DF∥AB,推出,可得,解方程即可;【详解】(1)证明:如图1中,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠ABM,∵CE∥AM,∴∠ECD=∠ADB,∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,∴BD=DC,∴△ABD≌△EDC,∴AB=ED,∵AB∥ED,∴四边形ABDE是平行四边形.(2)结论:成立.理由如下:如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.∵CE∥AM,∴四边形DMGE是平行四边形,∴ED=GM,且ED∥GM,由(1)可知AB=GM,AB∥GM,∴AB∥DE,AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形.(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,∵BM=MC,∴MI是△BHC的中位线,∴MI∥BH,MI=BH,∵BH⊥AC,且BH=AM.∴MI=AM,MI⊥AC,∴∠CAM=30°.②设DH=x,则AH=x,AD=2x,∴AM=4+2x,∴BH=4+2x,∵四边形ABDE是平行四边形,∴DF∥AB,∴,∴,解得x=1+或1﹣(舍弃),∴DH=1+.【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、三角形的中位线定理等知识,解题的关键能正确添加辅助线,构造特殊四边形解决
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