人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题9.3一元一次不等式组的应用(原卷版+解析)

专题9.3一元一次不等式组的应用【典例1】已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：最大装载量（吨）A型货车B型货车甲种货物75乙种货物37（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元?（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，38<m<n，且m，n均为整数.则m=___________，n=____________.（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车(50−x)辆，列出不等式组，求整数解即可；（2）根据三种方案判断即可；（3）根据二元一次方程，求整数解即可．（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车(50−x)辆，7x+5(50−x)≥3063x+7(50−x)≥230解得：28≤x因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．（2）∵使用A种货车费用600元，B种货车800元，600<800，∴在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为：30×600+20×800=34000（元）；（3）在（2）的方案下，由题意得：30m+20n=2100，∴m=2100−20n∵38<m<n，∴30×38+20n<2100解得：42<n<48，经验算，只有当n=45时，m=70−23×45=40此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．故答案为：40，45.1．（2023春·七年级单元测试）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四人的轻重正确的是（）A．S>P>R>Q B．R>S>P>Q C．R>Q>S>P D．S>Q>R>P2．（2022春·广东惠州·七年级校考期末）某种商品价格为33元/件，某人只带有2元和5元的两种面值的购物券各若干张，买了一件这种商品；若无需找零钱，则付款方式中张数之和（指付2元和5元购物券的张数）最少和张数之和最多的方式分别是（）A．8张和16张 B．8张和15张 C．9张和16张 D．9张和15张3．（2022春·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的13，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm,若铁钉的总长度为5cm，则a4．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）某商家需要更换店面的地砖，商家打算用1500元购买单色和彩色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块单色地砖15元，每块彩色地砖25元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的3倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的4倍，那么符合要求的一种购买方案是_______．5．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2360支钢笔，1040本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包

裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为_______．6．（2022·全国·七年级假期作业）某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，并将这批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）进行销售，若4只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹10只的价格，而1只A类蟹和1只B类蟹的价格之和正好是第一批蟹2只的价格，且A类蟹与C类蟹每只的单价之比为1：2，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于70元，则第一批大闸蟹每只价格为_____元．7．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“青春心向党，奋斗正青春”，为了庆祝五四青年节，学校开展了一系列庆祝活动．某班外出参加活动，用餐时决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算．餐厅提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择．该班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天全班的餐费大于1300元但不超过1650元．午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就买了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有6名同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，则该班的总人数是______人．8．（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；②初三学生人数多于教师人数；③教师人数的四倍多于初一学生人数．（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为_____________；（2）该小组人数的最小值为____________．9．（2023春·江苏·七年级专题练习）某商场有A、B两种商品，每件的进价分别为15元、35元.商场销售5件A商品和2件B商品，可获得利润45元;销售8件A商品和4件B商品，可获得利润80元.（1）求A、B两种商品的销售单价;（2）如果该商场计划购进A、B两种商品共80件，用于进货资金最多投入2000元，但又要确保获利至少590元，请问有那几种进货方案?10．（2023春·安徽·七年级期中）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x=1时，SΔAQE=平方厘米；当x=32（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过14厘米时，求x（3）若ΔAQE的面积为13平方厘米，直接写出x12．（2023春·七年级单元测试）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x为正整数且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a（1）若这100−x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：①研发人员的年人均投入不超过m−2a②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．13．（2023春·全国·八年级专题练习）为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案?（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少万元?14．（2023春·全国·七年级专题练习）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利180015．（2022春·福建泉州·七年级校联考期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．16．（2022·安徽·九年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．（1）若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？17．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期末）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：甲乙进价（元/件）1435售价（元/件）2043（1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解）（2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．18．（2022秋·北京房山·七年级统考期末）定义：点C在线段AB上，若点C到线段AB两个端点的距离成二倍关系时，则称点C是线段AB的闭二倍关联点．（1）如图，若点A表示数-1，点B表示的数5，下列各数-3，1，3所对应的点分别为C1，C2，C3，则其中是线段AB（2）若点A表示的数为-1，线段AB的闭二倍关联点C表示的数为2，则点B表示的数为；（3）点A表示的数为1，点C，D表示的数分别是4，7，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．设点M表示的数为m．若点M是线段AB的闭二倍关联点，求m的取值范围．19．（2023秋·北京·七年级校联考期末）对于数轴上两条线段PQ,MN，给出如下定义：若线段PQ的中点H与线段MN上点的最小距离不超过1，则称线段PQ是线段MN的“限中距线段”．已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为−6，1，2．（1）设点Q表示的数为m，若线段PQ是线段MN的“限中距线段”，①m的值可以是_________；A．1

B．6

C．14②m的最大值是_________；（2）点P从−6出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当t<6时，若线段MN的“限中距线段”PQ的长度恰好与PM+PN的值相等，求出PQ的中点H所表示的数；（3）点P从−6出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段MN以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段MN上任意一点Q，都有线段PQ是线段MN的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________．20．（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）对于任意一个四位数N，如果N满足各个数位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数N为“双减数”，对于一个“双减数”N=abcd，将它的千位和百位构成的两位数为ab，个位和十位构成的两位数为dc，规定：F例如：N=7028，因为0−2=2×7−8，所以7028是一个“双减数”，则（1）判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出FN（2）若“双减数”M的各个数位上的数字之和能被11整除，且FM是3的倍数，求M专题9.3一元一次不等式组的应用【典例1】已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：最大装载量（吨）A型货车B型货车甲种货物75乙种货物37（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的运费是多少元?（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型车奖金为n元，38<m<n，且m，n均为整数.则m=___________，n=____________.（1）设安排A种货车x辆，则安排B种货车(50−x)辆，列出不等式组，求整数解即可；（2）根据三种方案判断即可；（3）根据二元一次方程，求整数解即可．（1）解：设安排A种货车x辆，则安排B种货车(50−x)辆，7x+5(50−x)≥3063x+7(50−x)≥230解得：28≤x因为x为整数，所以可以取28，29，30，共三种方案．（2）∵使用A种货车费用600元，B种货车800元，600<800，∴在上述方案中，安排A种货车最多时最省费用，即当A种货车30辆，B种货车20辆时费用最省，费用为：30×600+20×800=34000（元）；（3）在（2）的方案下，由题意得：30m+20n=2100，∴m=2100−20n∵38<m<n，∴30×38+20n<2100解得：42<n<48，经验算，只有当n=45时，m=70−23×45=40此次奖金发放的具体方案为：每辆A种货车奖金为40元，每辆B种货车奖金为45元．故答案为：40，45.1．（2023春·七年级单元测试）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四人的轻重正确的是（）A．S>P>R>Q B．R>S>P>Q C．R>Q>S>P D．S>Q>R>P【思路点拨】根据图形可得不等式组P<S①【解题过程】解：由题意得：P<S①由③得：R=P+S−Q④把④代入②中得：Q+S<P+P+S−Q，∴2Q<2P，∴Q<P，∴Q−P<0，由③得：Q−P=S−R，∴S−R<0，∴S<R，∴Q<P<S<R，故选：B．2．（2022春·广东惠州·七年级校考期末）某种商品价格为33元/件，某人只带有2元和5元的两种面值的购物券各若干张，买了一件这种商品；若无需找零钱，则付款方式中张数之和（指付2元和5元购物券的张数）最少和张数之和最多的方式分别是（）A．8张和16张 B．8张和15张 C．9张和16张 D．9张和15张【思路点拨】根据题意可列出一个整式方程，但要分情况讨论结果要符合“只有2元和5元两种面值的人民币”和“无需找零钱”两个条件，注意不要漏解．【解题过程】解：设付出2元钱的张数为x，付出5元钱的张数为y，且x，y的取值均为自然数，依题意可得方程：2x+5y=33．则x=x=33−5y解不等式组33−5y解得0≤y≤33又∵y是整数．∴y=0或1或2或3或4或5或6．又∵x是整数．∴y=1或3或5．从而此方程的解为：x=4y=5，x=14由x=4y=5得x+y=9由x=14y=1得x+y=15所以付款方式中张数之和（指付2元和5元购物券的张数）最少和张数之和最多的方式分别是9张和15张．故选D．3．（2022春·江苏宿迁·七年级统考阶段练习）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的13，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm,若铁钉的总长度为5cm，则a【思路点拨】由题意得敲击2次后铁钉进入木块的长度是43a【解题过程】解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的13，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是a∴敲击2次后铁钉进入木块的长度是a＋13a＝43∵此时还要敲击1次，∴43而第三次敲击进去最大长度是前一次的13，也就是第二次的13，即∴43解得：4513故答案为：45134．（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）某商家需要更换店面的地砖，商家打算用1500元购买单色和彩色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块单色地砖15元，每块彩色地砖25元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的3倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的4倍，那么符合要求的一种购买方案是_______．【思路点拨】设购买单色地砖x块，则购买彩色地砖（60−35x）块，根据“购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的3倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的4倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x，（60−35【解题过程】解：设购买单色地砖x块，则购买彩色地砖1500−15x25依题意得：x>3(60−3解得：4507又∵x，（60−35x∴x＝65或70．当x＝65时，60−3当x＝70时，60−3∴共有两种购买方案：方案1：购买单色地砖65块，彩色地砖21块；方案2：购买单色地砖70块，彩色地砖18块．故答案为：购买单色地砖65块，彩色地砖21块（或购买单色地砖70块，彩色地砖18块）．5．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2360支钢笔，1040本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包

裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为_______．【思路点拨】设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，根据题意列出x、y、z的三元一次方程组，用z表示x、y，进而由x、y的取值范围列出z的不等式组，求z的取值范围，再根据x、y与z的关系式和x、y为整数求得z的整数值，从而求出x、y的值，再进行计算即可．【解题过程】解：设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，根据题意，得：25x＋①−②×2，得5x＋8z＝280，解得：x＝56−85z将x＝56−85z代入②，得：10（56−85z）＋8y＋6解得：y＝60＋54z∴x=56−8∵x＜28，y＜106，∴56−8解得：352＜z＜184∵z为正整数，∴z的取值范围为：18≤z≤36的整数，又∵x＝56−85z，y＝60＋54z，x、∴z既为5的倍数，又为4的倍数，∴z＝20，当z＝20时，x＝56−85z＝56−8y＝60＋54z＝60＋5∴所有包裹里尺规套装的总套数为：4x＋7y＋3z＝4×24＋7×85＋3×20＝751（套）．故答案为：751．6．（2022·全国·七年级假期作业）某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，并将这批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）进行销售，若4只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹10只的价格，而1只A类蟹和1只B类蟹的价格之和正好是第一批蟹2只的价格，且A类蟹与C类蟹每只的单价之比为1：2，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于70元，则第一批大闸蟹每只价格为_____元．【思路点拨】设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只2x元，根据等量关系式：4只A类蟹价格+3只B类蟹价格+2只C类蟹的价格=第一批蟹10只的价格，1只A类蟹价格+1只B类蟹的价格=第一批蟹2只的价格，列出方程组，将a看作已知数，用a表示x，y，再根据A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于70元，列出不等式组，解不等式组得出a的取值范围，最后根据a、x、y都是整数，得出a的值即可．【解题过程】解：设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只2x元，根据题意得：4x+3y+2×2x=10ax+y=2a解得：x=4∵A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于70元，∴x+y+2x≥40x+y+2x≤70，即4解得：1009∵a取整数，∴a=12，13，14，15，16，17，18，19，又∵x，y都必须取整数，∴只有a=15符合题意，即第一批大闸蟹每只价格为15元．故答案为：15．7．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“青春心向党，奋斗正青春”，为了庆祝五四青年节，学校开展了一系列庆祝活动．某班外出参加活动，用餐时决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算．餐厅提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择．该班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天全班的餐费大于1300元但不超过1650元．午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就买了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有6名同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，则该班的总人数是______人．【思路点拨】设A组有x人，B组有y人，C组有z人，根据题意可得A组：预计每人餐费为24元；B组：预计每人餐费为30元；C组：预计每人餐费为27元，可得到1300＜24x+30y+27z≤1650，再由三个组的实际餐费正好一样多，可得24x+15=27z+36，30y-15=27z+36，从而得到24x=27z+21，30y=27z+51，继而得到1300＜27z+21+27z+51+27z≤1650，可得到151581<z≤193981，则有z取15，16，17，18，19，再由x=9z+78【解题过程】解：设A组有x人，B组有y人，C组有z人，∵A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元盒饭，晚餐吃12元盒饭，∴A组：预计每人餐费为12×2=24元；B组：预计每人餐费为15×2=30元；C组：预计每人餐费为15+12=27元，∵一天全班的餐费大于1300元但不超过1650元．∴1300＜24x+30y+27z≤1650①，∵午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就买了B组同学的那份午餐；C组有6名同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治，∴A组实际总餐费为（24x+15）元，B组实际总餐费为（30y-15）元，C组实际总餐费为27x+6×6=（27x+36）元，∵三个组的实际餐费正好一样多，∴24x+15=27z+36，30y-15=27z+36，即24x=27z+21②把②，③代入①得：1300＜27z+21+27z+51+27z≤1650，解得：1515∵z为正整数，∴z取15，16，17，18，19，由②，③得：x=9z+7∴9z+7为8的整数倍且9z+17位10的整数倍，∴z=17，∴x=20，y=17，∴该班的总人数是20+17+17=54人．故答案为：54．8．（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；②初三学生人数多于教师人数；③教师人数的四倍多于初一学生人数．（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为_____________；（2）该小组人数的最小值为____________．【思路点拨】①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解；②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解．【解题过程】解：①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：x＞2yz解得：y＜∵x、y均为整数，∴初二学生人数的最大值为5；故答案为：5；②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：x＞当a=1时，即有：x＞∵x、y、z、a均为正整数，即解得：y=1z此时团队总人数为：x+y+z+a=3+1+2+1=7（人）；当a=2时，即有：x＞∵x、y、z、a均为正整数，即解得：y最小此时小组总人数最小值为：x+y+z+a=3+1+3+2=9（人），可知随着老师的人数增加，小组总人数也增加，即该小组人数最小值为7人；故答案为：7．9．（2023春·江苏·七年级专题练习）某商场有A、B两种商品，每件的进价分别为15元、35元.商场销售5件A商品和2件B商品，可获得利润45元;销售8件A商品和4件B商品，可获得利润80元.（1）求A、B两种商品的销售单价;（2）如果该商场计划购进A、B两种商品共80件，用于进货资金最多投入2000元，但又要确保获利至少590元，请问有那几种进货方案?【思路点拨】（1）设A、B两种商品的销售单价分别为x,y;再根据题意列二元一次方程组即可.（2）设A种商品进了m件，则可得B种商品进了80-m件.根据题意列出不等式组，求解即可.【解题过程】解：（1）设A、B两种商品的销售单价分别为x,y;根据题意可得：5(x−15)+2(y−35)=458(x−15)+4(y−35)=80解得x=20所以A、B两种商品的销售单价分别为20，45.（2）A种商品进了m件，则可得B种商品进了80-m件.根据题意可得：15m+35(80−m)≤2000(20−15)m+(45−35)(80−m)≥590解得：m≥40所以可得40≤m≤42因此可得当m=40时，A种商品进40件，B种商品进40件当m=41时，A种商品进41件，B种商品进39件当m=42时，A种商品进42件，B种商品进38件10．（2023春·安徽·七年级期中）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？【思路点拨】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元”即可列方程组求解；（2）设购进电脑机箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，所获利润不少于4100元”即可列不等式组求解.【解题过程】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元，根据题意得：10x+8y=70002x+5y=4120解得：x=60y=800答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台，根据题意得：60m+800(50−m)≤2224010m+160(50−m)≥4100解得：24≤m≤26，因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台，②电脑箱：25台，液晶显示器：25台；③电脑箱：26台，液晶显示器：24台．∴方案一的利润：24×10+26×160=4400，方案二的利润：25×10+25×160=4250，方案三的利润：26×10+24×160=4100，∴方案一的利润最大为4400元．答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4400元．11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x=1时，SΔAQE=平方厘米；当x=32（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过14厘米时，求x（3）若ΔAQE的面积为13平方厘米，直接写出x【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式即可求解；（2）根据题意列出不等式组故可求解；（3）分Q点在AB上、BC上和CD上分别列出方程即可求解．【解题过程】解：（1）当x=1时，SΔAQE=当x=32时，SΔAQE=故答案为1；32（2）解：根据题意，得5−x≤解得194故x的取值范围为194（3）当Q点在AB上时，依题意可得1解得x=1当Q点在BC上时，依题意可得2×2−解得x=19当Q点在AB上时，依题意可得12×解得x=143或∴x值为x=112．（2023春·七年级单元测试）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（x为正整数且45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入调整为a（1）若这100−x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人；（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：①研发人员的年人均投入不超过m−2a②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．【思路点拨】（1）根据题意，求得这100−x名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可；（2）由①可得1+4x%a≤m−2【解题过程】（1）解：由题意可得：100−x1+4x%a≥100a解得：0<x≤75，又∵45≤x≤75，∴45≤x≤75即调整后的技术人员最多有75人；（2）解：由①可得1+4x%a≤即1+4x%a≤又∵x为正整数且45≤x≤75，∴当x=75时，x25+3最大，为当x=75时，600−6x25最小，为600−6×75综上，存在m=6，满足题意．13．（2023春·全国·八年级专题练习）为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案?（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少万元?【思路点拨】（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元”,分别设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,列二元一次方程组{x+2y=400（2）设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10-a)辆,列出不等式组{100a+150(10−a)≤120060a+100(10−a)≥680，求出a的取值范围6≤a≤8；因此，符合条件的A型公交车的a可为6、7、8，而相对应的（3）在（2）所求的三种方案的基础上，分别进行各个方案的总费用计算，通过比较，即可得出购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆总费用最少，最少为1100万元.【解题过程】解：(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,由题意得:{x+2y=400解得{答:购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10-a)辆,由题意得{解得:6≤a≤8,∴a=6,7,8;则(10-a)=4,3,2;三种方案:具体如下①购买A型公交车6辆,则B型公交车4辆;②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆;③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆;(3)①购买A型公交车6辆,则B型公交车4辆:100×6+150×4=1200万元;②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆:100×7+150×3=1150万元;③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆:100×8+150×2=1100万元;故购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆费用最少,最少总费用为1100万元.14．（2023春·全国·七年级专题练习）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800【思路点拨】（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为acm，bcm,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积；（2）分别设第一个月和第二个月的销售量为x,y盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为(x+y)盒【解题过程】（1）设设盒底边长为acm，接口的宽度为bcm，则盒高是2.5acm，根据题意得：2.5a+2a+2b=40解得：a=8茶叶盒的容积是：a×a×2.5a=2.5×a3答：该茶叶盒的容积是1280(cm)（2）设第一个月销售了x盒，第二个月销售了y盒，根据题意得：200×18化简得：6x+5y=300①∵第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量∴即x<y<2x由①得：y=60−∴60−解得：16∵x,y是整数，所以x为5的倍数∴x=20y=36∴x+y=56或者55答：这批茶叶共进了56或者55盒．15．（2022春·福建泉州·七年级校联考期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．【解题过程】解：（1）由题意得15m+20n=43010m+8n=212解得：m=10n=14答：m、n的值分别为10和14；（2）根据题意10x+14(100−x)≥116010x+14(100−x)≤1168解得：58≤x≤60，因为x是整数所以x为58、59、60；∴共3种方案，分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）方案一的利润为：(16−10)×58+(18−14)×42=516元，方案二的利润为：(16−10)×59+(18−14)×41=518元，方案三的利润为：(16−10)×60+(18−14)×40=520元，∴利润最大值为520元，甲售出60kg，乙售出40kg，∴(16−10−2a)×60+(18−14−a)×40解得：a≤1.8答：a的最大值为1.8；16．（2022·安徽·九年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．（1）若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？【思路点拨】（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果．（2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案．【解题过程】（1）解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：x+y=501500x+2100y=90000解得：x=25y=25②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：m+n=502500m+2100n=90000解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：a+b=501500a+2500b=90000解得：a=35b=15∴进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，（2）解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得：2500s+2100⋅3s+50−4s解得：4≤s≤5514∵s为整数，∴s＝4或5，当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．17．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期末）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：甲乙进价（元/件）1435售价（元/件）2043（1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解）（2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．【思路点拨】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，根据“投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润=销售每件的利润×销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论．【解题过程】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，依题意得：x+y＝解得：x＝答：购进甲种用品100件，乙种用品80件．（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180-m）件，依题意得：14m+35(180−m)＜解得：60＜m≤63，又∵m为正整数，∴m可以取61，62，63，∴共有3种购货方案，方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件；方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件；方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件．方案1可获得的利润为（20-14）×61+（43-35）×119=1318（元）；方案2可获得的利润为（20-14）×62+（43-35）×118=1316（元）；方案3可获得的利润为（20-14）×63+（43-35）×117=1314（元）．∵1318＞1316＞1314，∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件．18．（2022秋·北京房山·七年级统考期末）定义：点C在线段AB上，若点C到线段AB两个端点的距离成二倍关系时，则称点C是线段AB的闭二倍关联点．（1）如图，若点A表示数-1，点B表示的数5，下列各数-3，1，3所对应的点分别为C1，C2，C3，则其中是线段AB（2）若点A表示的数为-1，线段AB的闭二倍关联点C表示的数为2，则点B表示的数为；（3）点A表示的数为1，点C，D表示的数分别是4，7，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．设点M表示的数为m．若点M是线段AB的闭二倍关联点，求m的取值范围．【思路点拨】（1）首先点C1不在线段AB上，即点C1不是线段AB的闭二倍关联点；然后求出AC2=1−−1=2，BC2=5−1=4，得到（2）设点B表示的数为x，然后求出AC=2−−1=3，BC=x−2，再分当AC=2BC时，即3=2x−2，当BC=2AC（3）设点B表示的数为y，先求出AM=m−1，BM=y−m，当AM=2BM时，即当BM=2AM时，即y−m=2m−2，两种情况讨论求解即可．【解题过程】解：（1）∵点A表示数-1，点B表示的数5，点C1∴点C1不在线段AB上，即点C1不是线段∵点A表示数-1，点B表示的数5，点C2∴AC2=1−∴BC∴点C2线段AB同理AC3=3−∴AC∴点C3线段AB故答案为：C2和C（2）设点B表示的数为x，∵点C是线段AB的闭二倍关联点，∴AC=2−−1=3，当AC=2BC时，即3=2x−2解得x=3.5；当BC=2AC时，即x−2=6，解得x=8；故答案为：3.5或8；（3）设点B表示的数为y，∵点M是线段AB的闭二倍关联点，∴AM=m−1，BM=y−m，当AM=2BM时，即m−1=2y−2m，∴y=3m−1∵B在线段CD上，且C、D表示的数分别为4、7，∴4≤∴3≤m≤5；当BM=2AM时，即y−m=2m−2，∴y=3m−2，∵B在线段CD上，且C、D表示的数分别为4、7，∴4≤3m−2≤7∴2≤m≤3；∴综上所述，2≤m≤5．19．（2023秋·北京·七年级校联考期末）对于数轴上两条线段PQ,MN，给出如下定义：若线段PQ的中点H与线段MN上点的最小距离不超过1，则称线段PQ是线段MN的“限中距线段”．已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为−6，1，2．（1）设点Q表示的数为m，若线段PQ是线段MN的“限中距线段”，①m的值可以是_________；A．1

B．6