第1讲 指对幂比较大小（解析版）

第1讲指对幂比较大小方法总结：（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法类型一:引入媒介值例1．（2021秋•五华区校级期中）已知，，设，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，，，即，，即，，，，，，，又，，，，即，，故选：．例2．（2020春•河南期末）设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：，，，，则，，的大小关系为．故选：．例3．（2020•新课标Ⅲ）设，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，．故选：．例4．（2020秋•卡若区校级期末）已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：，，，则，，的大小关系为．故选：．例5．（2021秋•武功县校级期中）已知，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，．故选：．例6．（2019春•湖北期中）已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：，，，，故选：．例7．（2021•湖北模拟）设，，，则，，的大小是A． B． C． D．【解析】解：，，，．故选：．例8．（2021•贵州模拟）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解析】解：，，．故选：．例9．（2019秋•榆树市期末）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解析】解：函数是上的增函数，，，即．函数在上是增函数，且，，，，．综上可得，故选：．例10．（2021春•岳麓区校级期末）已知，，设，，，则，，的大小关系为．【解析】解：，，即，，，同理可知，，即，，，，综上故答案为：类型二:直接利用指对幂单调性例1．（2021•香坊区校级二模）设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：，，，，，故选：．例2．（2021•武汉模拟）设，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，幂函数在上单调递增，且，，即，故选：．例3．（2021春•郴州期末）设，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，，，，，故选：．例4．（2018秋•龙岗区期末）已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：在为增函数，，即，为减函数，，即，，故选：．例5．设，，．则，，由大到小的顺序是．【解析】解：因为，所以单调递减，所以，而，所以故答案为：例6．（2017秋•海淀区校级期末）已知，，，则，，按从小到大的顺序排序为．【解析】解：由是增函数，得，由是增函数，得，故，故答案为：．类型三:构造函数利用单调性比较大小例1．（2021•乙卷）设，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，令，，令，则，，，在上单调递增，（1），，，同理令，再令，则，，，在上单调递减，（1），，，．故选：．例2．（2021•广州一模）已知是自然对数的底数，设，，，则A． B． C． D．【解析】解：已知是自然对数的底数，，，，设，则，当时，，函数在上是增函数，当时，，函数在上是减函数，（3），（2），而，所以，又因为，，为常用不等式，可得，令，，当时，，函数在上是减函数，故（2）（e），则，即，则，故：故选：．例3．（2021•济南一模）设，，，则A． B． C． D．【解析】解：设，，设，，当时，，当时，，又（1），，存在，当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，，，即，，设，，当时，，当时，，且（1），在递增，在递减，，即，，，，故选：．例4．（2021•江苏二模）若，则A． B． C． D．【解析】解：设，，令，，，递增函数，设，，，当时，，，在，上单调递减，，，（a）（b）（c），，，，，，，，，故选：．例5．（2021•贵州模拟）若为自然对数的底数），则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：，，，对于取自然对数有与，比较与的大小，即比较与的大小，又，，则，，则，令，则在上恒成立，即在上单调递减，而，故有（a）（b），故，即，也即，而，故，故选：．例6．（2021•毕节市模拟）若，则A． B． C． D．【解析】解：，所以，即，所以，令，，因为为增函数，为增函数，所以为增函数，所以，即．故选：．例7．（2021•惠州模拟）已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：构造函数，，由函数图像可知：在时，，即，，又，，故选：．例8．（2020•漳州三模）若，，，则A． B． C． D．【解析】解：由，，，所以，且；又，；不妨设，则有；构造函数，，所以，令，解得；所以时，，是单调增函数；所以，即，所以；综上知，．故选：．例9．（2017秋•唐山期末）设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【解析】解：构造函数，则，当时，，则在上为增函数，（3），即，，即，则；设，则，当时，，在上为增函数，则（3），即，则．又．．故选：．例10．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知实数、，满足，，则关于、下列判断正确的是A． B． C． D．【解析】解：先比较与2的大小，因为，所以，所以，即，故排除，，再比较与2的大小，易得，当时，由，得与矛盾，舍去，故，则有，得，令，，令，则，故，故，从而．故选：．例11．（2021•湖北模拟）已知实数，满足，，则下列判断正确的是A． B． C． D．【解析】解：，故，，，故，即，，且，，，令，则，故，即，故，故选：．例12．（2021春•张家港市期中）若且，且，且，则A． B． C． D．【解析】解：令，则．由得：．函数在上单调递增，在上单调递减．，，，，，，（4）（a），（5）（b），（6）（c）．，（6）（5）（4），（c）（b）（a），又，，，，，都小于，．故选：．例13．（2021•武功县开学）若，，．则A． B． C． D．【解析】解：，，，令，，令，，故当时，，故在上单调递减，而，故当时，，故在上单调递减，故，即，即，故，故选：．例14．（2021•凯里市校级三模）已知，，且满足，则A． B． C． D．【解析】解：，，，，令，则，在上单调递减，在上单调递增，，，，，又，，，，．故选：．例15．（2021•渝水区校级模拟）已知，且，则，，的大小关系式为A． B． C． D．【解析】解：令，则，所以当时，，单调递减．①因为，所以，，，，且，又，所以，由①得，故选：．例16．（2021•佛山二模）已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中不可能成立的是A． B． C． D．【解析】解：由已知，因为，所以原式可变形为，令，，函数与均为上的增函数，且，且（1）（1），当时，，，，当时，，，，要比较与的大小，只需比较与的大小，，设，则，故在上单调递减，又（1），（2），则存在使得，所以当时，，当，时，，又因为（1），（1），（4），所以当时，，当时，正负不确定，故当，时，，所以（1），故，当，时，正负不定，所以与的正负不定，所以，，均有可能，即选项，，均有可能，选项不可能．故选：．例17．（2021•佛山模拟）若，，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解析】解：令，则，令，，，在上单调递增，，则，在上单调递增，又当时，，故，即；令，在上单调递增，则，即，则，，即；综上，．故选：．例18．（2020秋•秀山县校级月考）若，则下列结论错误的是A． B． C． D．【解析】解：设，则为增函数，，（a），（a），，故正确；（a），当时，（a），此时（a），有；当时，（a），此时（a），有，所以、、均错误．故选：．例19．（2021•顺德区模拟）已知，且，则下列结论一定正确的是A． B． C． D．【解析】解：取，，，，满足，且，故不一定成立，取，，，，满足，且，但，故不一定成立，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，，且，（a），当，，，当，此时，则，故选项正确，先证明对任意的且，，不妨设，即证，令，即证，设，，故函数在上为增函数，当时，（1），对任意的且，，，，，，故选项正确．故选：．例20．（2021•淄博二模）已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是A． B． C． D．【解析】解：令，则．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，取最大值，（e）．的值域为，，，当且仅当时，等号成立．，故错；，故对；，故错；：令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增．，（3），即，，，，故错．故选：．例21．（2020秋•滕州市期中）下列不等式中正确的是A． B． C． D．【解析】解：令，则，令，得，易得在上单调递增，在上单调递减，所以①（2），即，即，故正确；②，即，所以可得，故错误；③（4），即，即，所以，所以，故正确；④（e），即，即，即，所以，故错误．故选：．例22．（2021春•建邺区校级月考）下列不等式中正确的是A． B． C． D．【解析】解：对于，，故错误；构造函数，可得，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，对于，由，可得，即，即，，即，得，故正确对于，，由，可得，故正确；对于，由，可得，即，则，，故正确．故选：．类型四:含变量指对幂例1．（2021•郊区校级三模）已知，，且，则下列说法是正确的是A． B． C． D．【解析】解：：当，时，，错误，：设，则函数为上的增函数，，，即，错误．为上的减函数，，，即，正确，：当，时，，错误．故选：．例2．（2021•青岛三模）已知，，，，则，，的大小关系正确的为A． B． C． D．【解析】解：根据题意，令、，则，，．根据幂函数在上是增函数，可得；根据指数函数在上是减函数，可得．故选：．例3．（2020春•焦作期末）当时，下列大小关系正确的是A． B． C． D．【解析】解：当时，，，，故，故选：．例4．（2019秋•浙江期中）若，，则正确的是A． B． C． D．【解析】解：，，，，与的大小关系不确定，与的大小关系不确定．因此只有正确．故选：．例5．已知，则A． B． C． D．【解析】解：，对于．由，可知：不正确；对于．由，，，，即，可知正确；对于．，，且，令，，取．则，，．因此不正确．对于．由、与1的大小关系不确定，因此无法确定的大小关系．故选：．例6．（2021春•淇滨区校级月考）已知，，，且，则A． B． C． D．【解析】解：，且，，，，且，，，．故选：．例7．（2020•云南模拟）已知，，，，则A． B． C． D．【解析】解：，．又，，，，，可得．．可得．综上可得：．故选：．例8．（2017秋•越城区校级期中）设，且，则A． B． C． D．【解析】解：，且，可得，，，，，，由，又，，则，，，则，又，，则，即有，则，即有，故选：．例9．（2019•济南一模）设，，为正数，若，则A． B． C． D．【解析】解：设，则：，，；，，；；；；．故选：．例10．（2019•西湖区校级模拟）设，，均为正数，且，则A． B． C． D．【解析】解：，，均为正数，令，则，，，，．又，，故选：．例11．（2020秋•和平区校级月考）若，且，则下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】解：，且，可取，．则，，，．故选：．例12．（2017秋•亳州期末）若，，，且，则下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】解：令，，可验证错误；令，，可验证错误；令，可验证错误；事实上，（两个等号不同时成立）故选：．例13．（2021春•深圳期末）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是A． B． C． D．【解析】解：如图，，，的关系有下列三种情况：，，，由图象可看出，与不可能相等，错误，都正确．故选：．例14．（2019秋•烟台期末）若，，则A． B． C． D．【解析】解：，，则，，，与0的大小关系不确定．只有正确．故选：．例15．（2021•山东模拟）已知，，，且，则下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】解：由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，但，所以，故选项正确；取，，，可排除选项，；因为，且函数在上为增函数，所以成立，故选项正确．故选：．类型五:真数相同例1．（2018•铁东区校级一模）设，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，，．故选：．例2．（2018秋•湖北期中）设，，则下列正确的是A． B． C． D．【解析】解：函数在上是减函数，，即，在上是增函数，，则；由换底公式可得：，即，因此．故选：．例3．（2018春•雨花区校级期末）设，，则A． B． C． D．【解析】解：，，又，．故选：．例4．（2020秋•湖南月考）已知，则，不可能满足的关系是A． B． C． D．【解析】解：；，；，故正确；，故正确；；故正确；设，则；；错误．故选：．例5．（2019•凉山州模拟）已知，则，不可能满足的关系是A． B． C． D．【解析】解：，，，，，，，，则有，，，，，，故错误故选：．例6．（2019•呼伦贝尔模拟）已知，则，不可能满足的关系是A． B． C． D．【解析】解：，，，，，，（6），，则有，，，，，，故错误故选：．例7．（2020•大观区校级模拟）若，，，则A． B． C． D．【解析】解：令在时单调递增，，则，故选：．例8．（2020秋•玄武区校级期中）设，，则下列各式中，错误的是A． B． C． D．【解析】解：，，，，，，，，又，，，且，，故选：．类型六:两图像的交点例1．设，，均为正数，且，，，则A． B． C． D．【解析】解：，，，，，，，，，．故选：．例2．（2020春•海安市校级月考）设，，均为正数，且，，，则A． B．