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文档简介
第1讲指对幂比较大小方法总结:(1)利用函数与方程的思想,构造函数,结合导数研究其单调性或极值,从而确定a,b,c的大小.(2)指、对、幂大小比较的常用方法:①底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数的单调性;②指数相同,底数不同,如和利用幂函数单调性比较大小;③底数相同,真数不同,如和利用指数函数单调性比较大小;④底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定.(3)转化为两函数图象交点的横坐标(4)特殊值法(5)估算法(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法类型一:引入媒介值例1.(2021秋•五华区校级期中)已知,,设,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,,,即,,即,,,,,,,又,,,,即,,故选:.例2.(2020春•河南期末)设,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:,,,,则,,的大小关系为.故选:.例3.(2020•新课标Ⅲ)设,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,.故选:.例4.(2020秋•卡若区校级期末)已知,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:,,,则,,的大小关系为.故选:.例5.(2021秋•武功县校级期中)已知,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,.故选:.例6.(2019春•湖北期中)已知,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:,,,,故选:.例7.(2021•湖北模拟)设,,,则,,的大小是A. B. C. D.【解析】解:,,,.故选:.例8.(2021•贵州模拟)设,,,则,,的大小关系是A. B. C. D.【解析】解:,,.故选:.例9.(2019秋•榆树市期末)设,,,则,,的大小关系是A. B. C. D.【解析】解:函数是上的增函数,,,即.函数在上是增函数,且,,,,.综上可得,故选:.例10.(2021春•岳麓区校级期末)已知,,设,,,则,,的大小关系为.【解析】解:,,即,,,同理可知,,即,,,,综上故答案为:类型二:直接利用指对幂单调性例1.(2021•香坊区校级二模)设,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:,,,,,故选:.例2.(2021•武汉模拟)设,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,幂函数在上单调递增,且,,即,故选:.例3.(2021春•郴州期末)设,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,,,,,故选:.例4.(2018秋•龙岗区期末)已知,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:在为增函数,,即,为减函数,,即,,故选:.例5.设,,.则,,由大到小的顺序是.【解析】解:因为,所以单调递减,所以,而,所以故答案为:例6.(2017秋•海淀区校级期末)已知,,,则,,按从小到大的顺序排序为.【解析】解:由是增函数,得,由是增函数,得,故,故答案为:.类型三:构造函数利用单调性比较大小例1.(2021•乙卷)设,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,令,,令,则,,,在上单调递增,(1),,,同理令,再令,则,,,在上单调递减,(1),,,.故选:.例2.(2021•广州一模)已知是自然对数的底数,设,,,则A. B. C. D.【解析】解:已知是自然对数的底数,,,,设,则,当时,,函数在上是增函数,当时,,函数在上是减函数,(3),(2),而,所以,又因为,,为常用不等式,可得,令,,当时,,函数在上是减函数,故(2)(e),则,即,则,故:故选:.例3.(2021•济南一模)设,,,则A. B. C. D.【解析】解:设,,设,,当时,,当时,,又(1),,存在,当时,,,单调递增,当,时,,,单调递减,,,即,,设,,当时,,当时,,且(1),在递增,在递减,,即,,,,故选:.例4.(2021•江苏二模)若,则A. B. C. D.【解析】解:设,,令,,,递增函数,设,,,当时,,,在,上单调递减,,,(a)(b)(c),,,,,,,,,故选:.例5.(2021•贵州模拟)若为自然对数的底数),则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:,,,对于取自然对数有与,比较与的大小,即比较与的大小,又,,则,,则,令,则在上恒成立,即在上单调递减,而,故有(a)(b),故,即,也即,而,故,故选:.例6.(2021•毕节市模拟)若,则A. B. C. D.【解析】解:,所以,即,所以,令,,因为为增函数,为增函数,所以为增函数,所以,即.故选:.例7.(2021•惠州模拟)已知,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:构造函数,,由函数图像可知:在时,,即,,又,,故选:.例8.(2020•漳州三模)若,,,则A. B. C. D.【解析】解:由,,,所以,且;又,;不妨设,则有;构造函数,,所以,令,解得;所以时,,是单调增函数;所以,即,所以;综上知,.故选:.例9.(2017秋•唐山期末)设,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.【解析】解:构造函数,则,当时,,则在上为增函数,(3),即,,即,则;设,则,当时,,在上为增函数,则(3),即,则.又..故选:.例10.(2021•沙坪坝区校级模拟)已知实数、,满足,,则关于、下列判断正确的是A. B. C. D.【解析】解:先比较与2的大小,因为,所以,所以,即,故排除,,再比较与2的大小,易得,当时,由,得与矛盾,舍去,故,则有,得,令,,令,则,故,故,从而.故选:.例11.(2021•湖北模拟)已知实数,满足,,则下列判断正确的是A. B. C. D.【解析】解:,故,,,故,即,,且,,,令,则,故,即,故,故选:.例12.(2021春•张家港市期中)若且,且,且,则A. B. C. D.【解析】解:令,则.由得:.函数在上单调递增,在上单调递减.,,,,,,(4)(a),(5)(b),(6)(c).,(6)(5)(4),(c)(b)(a),又,,,,,都小于,.故选:.例13.(2021•武功县开学)若,,.则A. B. C. D.【解析】解:,,,令,,令,,故当时,,故在上单调递减,而,故当时,,故在上单调递减,故,即,即,故,故选:.例14.(2021•凯里市校级三模)已知,,且满足,则A. B. C. D.【解析】解:,,,,令,则,在上单调递减,在上单调递增,,,,,又,,,,.故选:.例15.(2021•渝水区校级模拟)已知,且,则,,的大小关系式为A. B. C. D.【解析】解:令,则,所以当时,,单调递减.①因为,所以,,,,且,又,所以,由①得,故选:.例16.(2021•佛山二模)已知不相等的两个正实数,满足,则下列不等式中不可能成立的是A. B. C. D.【解析】解:由已知,因为,所以原式可变形为,令,,函数与均为上的增函数,且,且(1)(1),当时,,,,当时,,,,要比较与的大小,只需比较与的大小,,设,则,故在上单调递减,又(1),(2),则存在使得,所以当时,,当,时,,又因为(1),(1),(4),所以当时,,当时,正负不确定,故当,时,,所以(1),故,当,时,正负不定,所以与的正负不定,所以,,均有可能,即选项,,均有可能,选项不可能.故选:.例17.(2021•佛山模拟)若,,,,则,,的大小关系是A. B. C. D.【解析】解:令,则,令,,,在上单调递增,,则,在上单调递增,又当时,,故,即;令,在上单调递增,则,即,则,,即;综上,.故选:.例18.(2020秋•秀山县校级月考)若,则下列结论错误的是A. B. C. D.【解析】解:设,则为增函数,,(a),(a),,故正确;(a),当时,(a),此时(a),有;当时,(a),此时(a),有,所以、、均错误.故选:.例19.(2021•顺德区模拟)已知,且,则下列结论一定正确的是A. B. C. D.【解析】解:取,,,,满足,且,故不一定成立,取,,,,满足,且,但,故不一定成立,令,则,当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减,,,且,(a),当,,,当,此时,则,故选项正确,先证明对任意的且,,不妨设,即证,令,即证,设,,故函数在上为增函数,当时,(1),对任意的且,,,,,,故选项正确.故选:.例20.(2021•淄博二模)已知是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是A. B. C. D.【解析】解:令,则.当时,,,单调递减;当时,,,单调递增;当时,取最大值,(e).的值域为,,,当且仅当时,等号成立.,故错;,故对;,故错;:令,,当时,,单调递减;当时,,单调递增.,(3),即,,,,故错.故选:.例21.(2020秋•滕州市期中)下列不等式中正确的是A. B. C. D.【解析】解:令,则,令,得,易得在上单调递增,在上单调递减,所以①(2),即,即,故正确;②,即,所以可得,故错误;③(4),即,即,所以,所以,故正确;④(e),即,即,即,所以,故错误.故选:.例22.(2021春•建邺区校级月考)下列不等式中正确的是A. B. C. D.【解析】解:对于,,故错误;构造函数,可得,则当时,,单调递增,当时,,单调递减,对于,由,可得,即,即,,即,得,故正确对于,,由,可得,故正确;对于,由,可得,即,则,,故正确.故选:.类型四:含变量指对幂例1.(2021•郊区校级三模)已知,,且,则下列说法是正确的是A. B. C. D.【解析】解::当,时,,错误,:设,则函数为上的增函数,,,即,错误.为上的减函数,,,即,正确,:当,时,,错误.故选:.例2.(2021•青岛三模)已知,,,,则,,的大小关系正确的为A. B. C. D.【解析】解:根据题意,令、,则,,.根据幂函数在上是增函数,可得;根据指数函数在上是减函数,可得.故选:.例3.(2020春•焦作期末)当时,下列大小关系正确的是A. B. C. D.【解析】解:当时,,,,故,故选:.例4.(2019秋•浙江期中)若,,则正确的是A. B. C. D.【解析】解:,,,,与的大小关系不确定,与的大小关系不确定.因此只有正确.故选:.例5.已知,则A. B. C. D.【解析】解:,对于.由,可知:不正确;对于.由,,,,即,可知正确;对于.,,且,令,,取.则,,.因此不正确.对于.由、与1的大小关系不确定,因此无法确定的大小关系.故选:.例6.(2021春•淇滨区校级月考)已知,,,且,则A. B. C. D.【解析】解:,且,,,,且,,,.故选:.例7.(2020•云南模拟)已知,,,,则A. B. C. D.【解析】解:,.又,,,,,可得..可得.综上可得:.故选:.例8.(2017秋•越城区校级期中)设,且,则A. B. C. D.【解析】解:,且,可得,,,,,,由,又,,则,,,则,又,,则,即有,则,即有,故选:.例9.(2019•济南一模)设,,为正数,若,则A. B. C. D.【解析】解:设,则:,,;,,;;;;.故选:.例10.(2019•西湖区校级模拟)设,,均为正数,且,则A. B. C. D.【解析】解:,,均为正数,令,则,,,,.又,,故选:.例11.(2020秋•和平区校级月考)若,且,则下列不等式成立的是A. B. C. D.【解析】解:,且,可取,.则,,,.故选:.例12.(2017秋•亳州期末)若,,,且,则下列不等式成立的是A. B. C. D.【解析】解:令,,可验证错误;令,,可验证错误;令,可验证错误;事实上,(两个等号不同时成立)故选:.例13.(2021春•深圳期末)已知实数,,满足,则下列关系式中可能成立的是A. B. C. D.【解析】解:如图,,,的关系有下列三种情况:,,,由图象可看出,与不可能相等,错误,都正确.故选:.例14.(2019秋•烟台期末)若,,则A. B. C. D.【解析】解:,,则,,,与0的大小关系不确定.只有正确.故选:.例15.(2021•山东模拟)已知,,,且,则下列不等式成立的是A. B. C. D.【解析】解:由基本不等式可知,当且仅当时等号成立,但,所以,故选项正确;取,,,可排除选项,;因为,且函数在上为增函数,所以成立,故选项正确.故选:.类型五:真数相同例1.(2018•铁东区校级一模)设,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,,.故选:.例2.(2018秋•湖北期中)设,,则下列正确的是A. B. C. D.【解析】解:函数在上是减函数,,即,在上是增函数,,则;由换底公式可得:,即,因此.故选:.例3.(2018春•雨花区校级期末)设,,则A. B. C. D.【解析】解:,,又,.故选:.例4.(2020秋•湖南月考)已知,则,不可能满足的关系是A. B. C. D.【解析】解:;,;,故正确;,故正确;;故正确;设,则;;错误.故选:.例5.(2019•凉山州模拟)已知,则,不可能满足的关系是A. B. C. D.【解析】解:,,,,,,,,则有,,,,,,故错误故选:.例6.(2019•呼伦贝尔模拟)已知,则,不可能满足的关系是A. B. C. D.【解析】解:,,,,,,(6),,则有,,,,,,故错误故选:.例7.(2020•大观区校级模拟)若,,,则A. B. C. D.【解析】解:令在时单调递增,,则,故选:.例8.(2020秋•玄武区校级期中)设,,则下列各式中,错误的是A. B. C. D.【解析】解:,,,,,,,,又,,,且,,故选:.类型六:两图像的交点例1.设,,均为正数,且,,,则A. B. C. D.【解析】解:,,,,,,,,,.故选:.例2.(2020春•海安市校级月考)设,,均为正数,且,,,则A. B.
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