第03讲 一元二次方程根与系数的关系-【初升高暑假衔接】2022年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第03讲：一元二次方程根与系数的关系【考点梳理】考点一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1)当时，方程有两个不相等的实数根：；(2)当时，方程有两个相等的实数根：；(3)当时，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.考点二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：.所以：，.定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．【专题突破】一、单选题1．已知一元二次方程的两根为与，则（

）A． B． C． D．2．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数的直是（

）A． B．3C．或3 D．或13．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C．，且 D．，且4．已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是（

）A．7 B．1 C．5 D．5．关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（

）A． B． C．4 D．-46．关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知关于的方程的两根分别是，且满足，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是（

）A．3 B．15 C．-3 D．-159．若，是方程的两个根，且，则的值为.A．或2 B．1或 C． D．110．已知正实数满足，为方程的根，则（

）A． B． C． D．11．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（

）A． B． C． D．12．若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为（

）A．-4 B．-2 C．0 D．113．在中，a、b、c为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形14．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则的值为（

）A．或 B． C． D．15．已知，是一元二次方程的两个实根，则的值为（

）A． B． C． D．16．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（

）A． B． C．或 D．或二、填空题17．若和分别是一元二次方程的两根，则的是_____________.18．若、是一元二次方程的两个根，则的值为___________.19．已知，是方程的两个根，则____________.20．若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________.21．已知关于的方程有两个实数根、，若，则的值为________22．已知是方程的两根，且，则的值______．三、解答题23．已知关于x的方程．（1）求证：对于任意实数m方程总有实数根；（2）若是原方程的两根，且，求m的值．24．已知方程的两根为与，求下列各式的值：（1）；（2）．25．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．26．已知一元二次方程的两根分别是，利用根与系数的关系求下列式子的值：（1）；（2）（3）．27．已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.28．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).29．已知是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．30．已知关于的方程有两个不等实根.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）设方程的两个实根为，且，求实数的值；（Ⅲ）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）参考答案：1．B【解析】【分析】利用根与系数关系求得的正确结果.【详解】依题意一元二次方程的两根为与，所以，所以.故选：B2．B【解析】【分析】利用韦达定理求解即可.【详解】因为，是一元二次方程的两个不相等的实数根，所以，，所以，解得或，又因为，得，所以.故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于简单题.3．C【解析】【分析】由题意可得，从而可求出实数的取值范围.【详解】解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得，解得，且.故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了这一条件.4．D【解析】将目标式展开，利用韦达定理，代值计算即可.【详解】∵是一元二次方程的两实根，∴，∴．故选：D【点睛】本题考查韦达定理的应用，属基础题.5．D【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，化简，代入即可求解.【详解】由有两个实数根，可得，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程方程的性质及其应用，其中解答中熟记一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.6．D【解析】根据题意得且，解不等式即可得答案.【详解】解：因为关于的方程有两个不等的实根且，即：且，解得且.故选：D.【点睛】本题考查一元二次方程的实数根问题，是基础题.7．B【解析】【分析】根据韦达定理求解即可.【详解】因为关于的方程的两根分别是,故.故,解得.故选：B【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用,属于基础题.8．B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】∵、是一元二次方程的两个不相等的根，∴，即，由根与系数的关系可知：，∴.故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了运算能力，属于中档题.9．D【解析】【分析】列出韦达定理的相关式子，将对应式子代入中计算的值，注意.【详解】由一元二次方程根与系数的关系，得，.因为，所以.解得，.又由，解得.综上，的值为1.故选D.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，难度较易.一元二次方程的两个根为，则：.10．A【解析】【分析】先由，求出的值，根据韦达定理，得到，，进而可求出结果.【详解】由解得或，因为为正实数，所以，又为方程的根，所以，；因此.故选A【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟记根与系数关系即可，属于基础题型.11．C【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出，将其代入中即可求出结论.【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，.故选：C.【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键.12．B【解析】由方程的两个根分别为a，b，由根与系数的关系，可知，，代入即可得到答案.【详解】方程的两个根分别为a，b，由韦达定理可得：故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，考查学生的运算能力，属于基础题.13．A【解析】【分析】利用方程根的判别式可得，结合勾股定理的逆定理即可.【详解】因为方程有两个相等的实数根，所以，即，所以所以所以是直角三角形.故选：A14．B【解析】【分析】根据韦达定理以及，列方程可得的值，再检验是否满足即可.【详解】因为关于的一元二次方程的两个实数根为，所以，，由且，可得：，即，解得：或，因为，可得，所以，故选：B.15．A【解析】【分析】用韦达定理求出两根和与积，再代入计算．【详解】由题意，，∴．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．16．B【解析】【分析】利用韦达定理结合判别式求出实数的值，再结合韦达定理可求得的值.【详解】由题意可知，可得，由韦达定理可得，因为，则，原方程为，所以，，故，因此，.故选：B.17．【解析】【分析】由韦达定理得，，进而求解．【详解】解：由韦达定理：，，.故答案为：.【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系．18．【解析】【分析】列出韦达定理，由可求得的值.【详解】对于方程，，故原方程必有两根，又根据二次方程根与系数的关系，可得，.所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用韦达定理求值，考查计算能力，属于基础题.19．32【解析】【分析】由题得的值，再把韦达定理代入得解.【详解】由题得.所以.故答案为32【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.20．【解析】【分析】由题知，，再根据韦达定理求解得，进而解方程得【详解】解：因为关于x的方程的两个实数根为，所以，，所以所以，因为，所以，即，解得因为，所以故答案为：21．4【解析】将，变形为，根据方程有两个实数根、，得到，再代入上式求解.【详解】因为方程有两个实数根、，所以，因为，所以，，即，解得或（舍去）故答案为：422．或【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，化简，代入韦达定理，解出即可.【详解】解：因为是方程的两根所以，又因为，即所以，解得或故答案为或【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题.23．（1）证明见详解；（2）或【解析】（1）对参数进行分类讨论，当为二次方程时，关注的正负即可；（2）根据韦达定理，将目标式进行转化，代值即可求得.【详解】（1）证明：当时，方程化为，即，方程有一个实根；当时，，方程有两个实根．综上，对于任意实数m方程总有实数根．（2）∵是方程的两根，∴．又∵，∴，∴，整理，得，解得或．【点睛】本题考查二次方程根的情况与参数之间的关系，以及韦达定理的应用，属基础题.24．（1）；（2）【解析】（1）由方程的根为与，结合韦达定理，求得两根之和与两根之积，再提取公因式，将转化为进行求解；（2）将进行通分，由韦达定理即可求得.【详解】由方程得．（1）；（2）．【点睛】本题考查由韦达定理，求解的代数式的值，属基础题.25．（1）k＞﹣且k≠0；（2）2020.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）k＝1．方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算α3+β2+β+2016的值．【详解】（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0；（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴β2＝β+1，α2＝α+1∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，α3+β2+β+2016＝2α+1+β+1+β+2016＝2（α+β）+2018＝2×1+2018＝2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．26．（1）；（2）11；（3）-36【解析】利用韦达定理写出两根之和与两根之积.（1）应用，代值计算即可；（2）将目标式转化为，代值计算即可；（3）利用公式，将目标式转化为，代值计算即可.【详解】根据一元二次方程根与系数的关系，得．（1）∵∴．（2）．（3）．【点睛】本题考查利用韦达定理，求解的混合式的值，需要注意第三问中的转化，需要牢记三次方公式.27．（1），（2）【解析】【分析】（1）由，，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当时，即：因此：（2）【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.28．（1）（2）3（3）（4）【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，然后将各小问所求代数式化简处理，代入韦达定理即可.【详解】解：∵是方程的两个根，∴(1)原式；(2)原式；(3)原式；(4)原式.29．（1）不存在k；理由见解析；（2）．【