第3章 圆锥曲线的方程典型例题复习（解析版）

第三章圆锥曲线的方程题型一：圆锥曲线的定义1．（2021·宾县第一中学高三月考（文））已知为圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为4．依题意知：，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，所求点的轨迹方程为．故选：．2．（2021·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（理））若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线C．线段 D．线段的中垂线.【答案】C【详解】，，，又∵点到两定点，的距离之和为2，的轨迹是线段,故选：C.3．（2021·全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线【答案】C【详解】由题意，知，当时，，此时点的轨迹是双曲线的一支；当时，，点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．故选：C.4．（2021·全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的左支 D．双曲线的右支【答案】D【详解】表示：动点到两定点，的距离之差等于2，而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．故选：D5．（2021·全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（）A．双曲线 B．射线C．线段 D．双曲线的一支或射线【答案】D【详解】两个定点的距离为，当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；当，即时，点的轨迹为射线；不存在的情况．综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线．故选：D．6．（2021·全国高二课时练习）在正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且点到平面的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线【答案】D【详解】解：正方体中平面，∴等于点直线的距离.∵平面平面，∴点到平面的距离等于点到直线的距离.∵点到平面的距离与到直线的距离相等，∴MB等于点到直线的距离.根据抛物线的定义，可知动点的轨迹为抛物线.故选：D.7．（2021·广东茂名·高三月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线交y轴于点Q，若，则点到准线的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】由抛物线，可知，即（O为坐标原点），过点P作y轴的垂线，垂足为N，如图，因为，所以由三角形相似可知，所以，所以点P到准线l的距离为5.故选：C.8．（2020·红桥·天津三中高二月考）动点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹是（）A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线【答案】D【详解】依题意，动点到直线的距离比它到点的距离小2，所以直线的距离和它到点的距离相等，所以点的轨迹是抛物线.故选：D题型二：圆锥曲线的标准方程1．（2021·山西高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切.设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意椭圆方程是方程为，排除BD，矩形的四边与椭圆相切，则矩形的周长为，．在椭圆中，，,不满足题意，在椭圆中，,满足题意．故选：C．2．（2021·全国高二单元测试）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A3．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（）A． B．C． D．或【答案】D【详解】由题意，椭圆的焦距是6，可得，即，又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即，则，当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为.故选：D．4．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】设双曲线的方程为：，半焦距为.则，，则，故，所以双曲线的标准方程为．故选：C.5．（2021·全国高二课时练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是（）A． B．1或-2 C．1或 D．1【答案】D【详解】由条件可知，，双曲线的焦点在轴，所以椭圆的焦点也在轴，所以，解得：或（舍）故选：D6．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线（）的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.故选：A7．（2021·全国高二课时练习）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为（）A．9，2 B．1，18 C．9，2或1，18 D．9，18或1，2【答案】C【详解】因为点到对称轴的距离为6，所以不妨设．因为点到准线的距离为10，所以，解得或，故选：C．8．（2021·西藏拉萨中学高二月考（文））设为椭圆的离心率，若，且抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，解得．又，所以．于是，抛物线的准线方程为，所以抛物线的标准方程是．故选：A题型三：圆锥曲线的几何性质1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设知是直角三角形，，，，，．又由椭圆的定义，得，，故．故选：B．2．（2021·全国高二课时练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（）A．35 B．30 C．25 D．20【答案】A【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，，∴．故选：A3．（2021·商丘市第一高级中学高二月考（理））已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点P满足，则椭圆的离心率取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设P点的坐标为，所以，因此，因为，所以，可得：，因为，所以可化简得：，故选：C4．（2021·内蒙古包头·高二期末（文））、是椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上的动点．若面积的最大值为8，则椭圆长轴长的最小值为（）A．32 B．16 C．8 D．4【答案】C【详解】由题意可知，又因为点在椭圆上，所以，所以，所以，，，当且仅当时，等号成立，即椭圆长轴长的最小值为，故选：C.5．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（）A．1 B．2 C．4 D．【答案】D【详解】设，.由，的面积为，可得，∴①由离心率为，可得，代入①式，可得.故选：D.6．（2021·永昌县第一高级中学高二期中（理））设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于（）A．2 B．2或18 C．18 D．16【答案】C【详解】根据双曲线方程可得：，渐近线方程变形为，所以，可得：，，所以双曲线方程为，因为是双曲线左支上一点，根据双曲线的定义得：，且，所以故选：C7．（2021·全国高二课时练习）是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】是抛物线的焦点,

,准线方程,

设,,

,

线段AB的中点横坐标为,

线段AB的中点到y轴的距离为所以D选项是正确的8．（2021·镇远县文德民族中学校高二月考（文））设点的坐标为，点在抛物线上移动，到直线的距离为，则的最小值为A． B． C． D．【答案】C【详解】点到准线的距离为，于是，所以的最小值为．故选C.题型四：直线与圆锥曲线的弦长问题1．（2021·永昌县第一高级中学高二期中（理））设椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的中点坐标及．【答案】（1）；（2）中点坐标为，．【详解】解：（1）将点代入椭圆的方程得，所以．又由，得，即，所以．所以椭圆的方程为．（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，，联立方程消去得，得，．设线段的中点坐标为，则，，即中点坐标为由弦长公式2．（2021·上海市洋泾中学高二月考）已知椭圆的左右焦点分别为､，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）求直线被椭圆截得的弦长.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）是椭圆的上顶点，；由椭圆对称性知：，又，，是等腰直角三角形，，即，，解得：；椭圆的方程为：；（2）设直线与椭圆交于两点，由得：，则，，，，即直线被椭圆截得的弦长为.3．（2021·西藏拉萨那曲第二高级中学（理））已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.（1）求椭圆的方程；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意得，解得.所以椭圆M的方程为.（2）设直线l的方程为，，联立，得，由，得，，，所以=，易知当，即直线l过原点时，最大，最大值为.4．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题得顶点到渐近线，即的距离为，即，离心率，又，则可解得，故双曲线方程为；（2）设，联立可得，则，解得，则，解得.5．（2021·鸡东县第二中学（文））已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．【答案】（1）；（2）．解：（1）因为，所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，所以，所以，所以的方程为：；（2）不妨设焦点，则直线：由消去得：．设，，则，，所以．6．（2020·安徽立人中学高二期末（文））已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．【答案】（1）；（2）1，8.【详解】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，的方程为．（2）设，则，两式相减得，，，联立，消去整理得，，∵直线过抛物线的焦点，．7．（2021·全国）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．（1）求的方程；（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为8，求当取最大值时，直线的方程．【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的标准方程为．（2）设，，，，且．设中点为，则，，当时，，；当时，，则，即，与联立方程消去，整理得，由，得，，，，当且仅当，即，即时，取“”，所以的最大值为10，此时的方程为．8．（2021·四川达州·（文））已知点，直线，动点到点与到直线的距离相等．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过上一点作圆的两条切线分别与轨迹交于异于点的两点，求．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）设点，根据题意得：，化简得动点P的轨迹方程为；（2）∵，∴即圆的一条切线，．设过M的另一条切线斜率为k，∴切线方程：，设由方程组得，，∴，．又∵直线为，其与圆相切，∴∴∴，∵B满足，∴．∴，∴．【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况．题型五：圆锥曲线定值问题1．（2021·云南昆明市·高三（文））已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．（1）求的标准方程；（2）设点在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点（异于点）．证明：直线恒过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）由，，可得，代入：．解得或（舍），从而：．（2）由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，由，得，从而，且，．又，，∵∴，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与点重合，不符合：若，则，过定点．综上，直线过异于点的定点．2．（2021·广东高三月考）已知在平面直角坐标系中，点，设动点到轴的距离为，且，记动点的轨迹为曲线.求曲线的方程：设动直线与交于，两点，为上不同于，的点，若直线，分别与轴相交于，两点，且，证明：动直线恒过定点.【答案】；证明见解析.【详解】解：，且动点的纵坐标非负，动点到点的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，曲线的方程为.由点在上，则，，由抛物线的方程，可设，，显然直线的斜率存在，且斜率为，直线的方程为，，即，同理可得，，，，即，①显然直线的斜率存在，且斜率为，直线的方程为，②将①式代入②式，整理得，③则无论为何值，恒为方程③的解，点恒在直线上，即动直线恒过定点.3．（2020·云南省楚雄天人中学高二月考（文））已知抛物线的焦点到准线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与过点的抛物线交于两个不同的点均与点不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，所以，因为已知抛物线，所以抛物线方程为；（2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程整理得，所以，，，所以，所以为定值，且定值为4．（2021·重庆市第六十六中学校）已知动圆过定点，且与直线相切，（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）过点作曲线的两条弦，设、所在直线的斜率分别为、，当、变化且满足时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【详解】（1）∵动圆过定点，且与直线相切，∴曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：.（2）∵直线与抛物线有两个不同的交点∴直线的斜率必不为0.∴设其方程为，并设点，点，与抛物线联立得：.∴整理得：，其中，，且∵.∴.∴.∴.∴.∴或.当时，直线的方程可化为：，过定点；当时，直线的方程可化为：，过定点，即点不合题意，舍去.∴直线必过定点.5．（2021·河南（文））已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.（1）求；（2）若为坐标原点，直