高二下学期期中考试数学试卷-含有答案

第页高二下学期期中考试数学试卷-含有答案一、选择题（共8小题每题5分共40分）1.在的展开式中的系数是（）A. B.8 C. D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算即可.【详解】展开式通项为取，则系数为.故选：A2.3男2女站成一排其中2名女生必须排在一起的不同排法有（）A.24种 B.48种 C.96种 D.120种【答案】B【解析】【分析】先将2名女生看成整体排序再将其和其余人一起去安排相乘即可.【详解】根据题意分2步进行分析：第一步将2名女生看成整体有种情况第二步将这个整体和3名男生全排列有种情况所以2名女生必须排在一起的不同排法有种.故选：B.【点睛】本题考查了捆绑法属于常考题.3.某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上且乙和丙恰有一人被选上的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型即可求得甲被选上且乙和丙恰有一人被选上的概率.【详解】设这5名志愿者为甲乙丙ab从5名志愿者中随机选出3名共有10种可能的结果：（甲乙丙）（甲乙a）（甲乙b）（甲丙a）（甲丙b）（甲ab）（乙丙a）（乙丙b）（乙ab）（丙ab）其中甲被选上且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况则甲被选上且乙和丙恰有一人被选上的概率为故选：A4.的图象如图所示下列数值的排序正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】由图可知：即.故选：B5.盲盒里有大小形状完全相同的个绿球个红球现抛掷一枚均匀的骰子掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设“取出的球全是绿球”“掷出点”，则求出利用全概率公式可求得的值.【详解】设“取出的球全是绿球”“掷出点”，则又因为从盲盒里每次取出个球的所有取法是即基本事件总数为而从袋中每次取出个绿球的所有取法是即事件所含基本事件数为所以掷出点取出的球全是绿球的概率为所以.故选：B.6.从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数：（个）三位数是的倍数需要满足各个数位上的数之和是的倍数有两种情况和由组成没有重复数字的三位数共有个由组成没有重复数字的三位数共有个所以一共有：个这个三位数被整除的概率是故选D.7.如图在平行六面体中底面是菱形侧面是正方形且若是与的交点，则（）．A.9 B.7 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由题知进而根据计算向量的模得答案.【详解】解：在平行六面体中四边形是平行四边形又是交点所以是的中点所以又所以即．故选：D．8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为方程有两个不同的实数根整理得到有两个不同的实根转化为和在上有两个交点根据导数求出的单调性极值和最值从而得到的取值范围.【详解】要使函数有两个极值点求导得则转化为有两个不同的实根即和在上有两个交点令∴．记在上单调递减且所以当时所以在上单调递增当时所以在上单调递减故．当时当时所以当即时和在上有两个交点故选D．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性极值和最值函数与方程属于中档题.二多选题（共4小题每题5分共20分）9.下列命题中正确的是（）A.已知向量，则存在向量与构成空间向量的一组基底B.两个不同平面的法向量分别是，则C.已知三棱锥点为平面上一点，则D.已知，则与方向相同的单位向量是【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量的性质判断各选项即可.【详解】对于A所以其它向量与一定共面所以不能构成基底故A选项错误对于B因为所以故B选项正确对于C因为点为平面上的一点所以所以故C选项正确对于D设，则所以该向量不是单位向量故D选项错误．故选：BC.10.以下列说法中正确的是（）A.回归直线至少经过点（x1y1）（x2y2）…（xnyn）中的一个点B.相关系数r的绝对值越接近1两个随机变量的线性相关越强C.已知随机变量x服从二项分布B（np）若E（X）＝30D（X）＝20，则D.设服从正态分布N（01）若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据回归直线性质可判断选项A根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B根据二项分布的特征可判断选项C根据正态分布的性质可判断选项D.【详解】对AB回归直线一定经过样本中心点而样本中心点并不一定是（x1y1）（x2y2）…（xnyn）中的一个点故A错相关系数r的绝对值越接近1两个随机变量的线性相关越强B正确对CE（X）＝npD（X）＝np（1－p）所以30×（1－p）＝20，则p＝故C对对D故D对故选：BCD11.已知具有相关关系的两个变量x的一组观测数据…由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（）A.回归直线至少经过点…中的一个点B.若，则回归直线一定经过点C.若点…都落在直线上，则变量xy的样本相关系数D.若，则相应于样本点的残差为-2【答案】BCD【解析】【分析】选项A选项B可由回归直线必经过样本中心点不一定经过样本点来判断选项C可通过已知方程得到斜率去判断相关系数选项D样本点残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值即可做出判断.【详解】线性回归方程为不一定经过…中的任何一个点但一定会经过样本中心点即故选项A错误选项B正确选项C直线的斜率且所有样本点都落在直线上所以这组样本数据完全正相关且相关系数达到最大值1故选项C正确选项D样本点的残差为故选项D正确.故选：BCD.12.已知函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnxf（1）＝2．则当x＞0时下列说法中正确的是（）A.f（2）＝ln2＋1 B.x＝2是函数f（x）的极大值点C.函数y＝f（x）－x有且只有一个零点 D.存在正实数k使得f（x）＞kx恒成立【答案】AC【解析】【分析】通过函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx可以求出进而可以分析函数f（x）的极大值点求解f（2）的值判断选项对函数y＝f（x）－x求导求零点从而可以判断选项使用隔离参数法将k隔离之后令从而可以判断D选项【详解】因为xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，则则x∈（02）时f（x）单调递减x∈（2＋∞）时函数f（x）单调递增．∴函数f（x）只有一个极小值点e即只有一个极小值f（2）＝ln2＋1故选项A正确选项B错误，则所以当x→0时y→＋∞当x＝e时所以函数y＝f（x）－x有且只有一个零点故选项C正确f（x）＞kx可得令则令，则故x＞1时h（x）单调递减0＜x＜1时h（x）单调递增所以h（x）≤h（1）＜0所以g（x）在x＞0上单调递增无最小值所以不存在正实数k使得f（x）＞kx恒成立故选项D错误故选：AC．三填空题（共4小题每题5分共20分）13.某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完且每学年最多选修两门若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有______种不同的选修方式可选．（用数字填写答案）【答案】【解析】【分析】先按和两种情况分成三组再分配到三年去即可.【详解】由题意可知三年内将四门选修课程全部修完且每学年最多选修两门则四门学科可按和两种情况分成三组若按分成三组有种分组方法若按分成三组有种分组方法所以每位学生共有种不同的选修方式可选．故答案为：.14.请你举出与函数在原点处具有相同切线的一个函数是______.【答案】（满足题设条件的函数均可）【解析】【分析】先求出函数在原点处的切线方程,再构造常见的函数分析即可.【详解】由题,,故,故函数在原点处的切线方程为.故可考虑如函数,此时,故.又,故.此时.故答案为：（满足题设条件的函数均可）【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而能够构造出合适的函数.属于基础题.15.接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率某学校的学生接种了流感疫苗已知在流感高发时期未接种疫苗的感染率为而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设事件“感染流行感冒”事件“未接种疫苗”则故.故答案：．16.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体该几何体的上下底面平行且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池它的高为均与曲池的底面垂直底面扇环对应的两个圆的半径分别为和对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系用向量法求解异面直线与所成角的余弦值.【详解】设上底面圆心为下底面圆心为连接以为原点分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系则，则所以又因为异面直线所成角的范围为故异面直线与所成角的余弦值为故答案为：.四解答题（共6小题）17.已知.（1）若成等比数列求的值（2）若求的值（用数字作答）．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）求出展开式的通项根据题意可得即从而可求得（2）分别令从而可求得即可得出答案.【小问1详解】二项式展开式通项公式为若成等比数列，则即则解得【小问2详解】若当时当时所以所以.18.2020年1月24日中国疾控中心成功分离出中国首株新型冠状病毒毒种．6月19日中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验截至2020年10月20日中国共计接种了约万名受试者．为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系现从受试者中采取分层抽样抽取名其中大龄受试者有人舒张压偏高或偏低的有人年轻受试者有人舒张压正常的有人．（1）根据已知条件完成下面的列联表并据此资料你是否能够以的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关?大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低舒张压正常合计（2）在上述人中从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取人若从抽出的人中任取人求取出的人都是大龄受试者的概率．运算公式：对照表：【答案】（1）列联表见解析没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关（2）【解析】【分析】（1）由已知完成列联表结合公式计算根据参考数据即可判断结果（2）采用分层抽样抽取的人中大龄受试者有人设他们为年轻受试者有人设他们为运用列举法列出所有事件结合古典概率的计算公式可得出答案.【详解】（1）列联表如下：大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低舒张压正常合计.所以没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．（2）由题意得采用分层抽样抽取的人中大龄受试者有人设他们为年轻受试者有人设他们为．则从这人中取出人包含的基本事件：共有种其中取出的人都是大龄受试者的有种．所以取出的人都是大龄受试者的概率.19.有3名男生4名女生（每小题都用数字作答）．（1）若全体站成一排3名男生不相邻4名女生也不相邻，则有多少种排队方法（2）若全体站成一排男生甲不站在两端女生乙不能站在中间，则有多少种排队方法（3）若排成前后两排前排3人后排4人且同一排的学生性别不全相同，则有多少种排队方法.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先将4名女生全排列然后将3名男生插到4名女生隔出的3个空中计算（2）分类讨论男生甲站在中间与不站在中间的两种情况再利用分类加法计数原理计算（3）利用对立事件把所有的情况减去同一排性别相同的情况.【小问1详解】先将4名女生全排列得种然后将3名男生插空到4名女生之间隔出的3个空中（两端的空除外）得种所以不同的排法共有种【小问2详解】若男生甲站在中间，则共有种若男生甲不站在中间先排中间有种然后再排列两端此时有种最后剩下4个人全排列有种所以不同的排法共有种【小问3详解】前面站3名男生后面站4名女生共有种若前面站3名女生共有所以前排3人后排4人且同一排的学生性别不全相同共有种20.如图四棱锥中平面ABCDPB与底面所成的角为底面ABCD为直角梯形（1）求证：平面平面PCD：（2）在线段PD上是否存在点E使CE与平面PAD所成的角为？若存在求出有的值：若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在理由见解析【解析】【分析】（1）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面角的定义再利用锐角三角函数及余弦定理结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解方法二.根据已知条件及线面角的定义及线面垂直的性质定理建立空间直线坐标系求出相关点的坐标利用向量垂直的坐标表示及线面垂直和面面垂直的判定定理即可求解（2）方法一.利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理再利用线面角的定义及锐角三角函数即可求解.方法二.设可得求出直线CE的方向向量和平面PAB的法向量利用向量的夹角公式结合向量的夹角与线面角的关系即可求解.【小问1详解】方法一.由得因为平面是在平面内的射影所以是与平面所成的角即在中,解得因为所以在中,因为所以在中由余弦定理得即.由得因为平面平面,所以,又平面所以平面又因为平面所以平面平面.方法二.由得因为平面是在平面内的射影所以是与平面所成的角即在中,解得分别以ABADAP为x轴y轴z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图所示所以所以即又平面所以平面又因为平面所以平面平面.【小问2详解】存在理由如下方法一.取的中点连接如图所示因为所以因为所以,所以四边形为矩形所以,因为平面平面,所以,又平面所以平面所以是在平面内的射影所以是与平面所成的角即由（1）知,且是的中点所以.在中因为平面平面,所以,在中由,得在中,取的中点为连接,又,所以,在中,所以解得,所以,所以,,所以.所以线段上存在点使CE与平面PAD所成的角为此时.方法二.由（1）知设所以因为平面平面所以又且所以平面所以是平面PAB的一个法向量所以解得或当时点与重合不符合题意舍去所以当时CE与平面PAD所成的角为且.21.中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果得到生产的产品的质量差服从正态分布并把质量差在内的产品称为优等品质量差在内的产品称为一等品优等品与一等品统称为正品其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据大量的产品检测数据检查样本数据的方差的近似值为100用样本平均数作为的近似值用样本标准差作为的估计值记质量差求该企业生产的产品为正品的概率(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)（2）假如企业包装时要求把件优等品和(且)件一等品装在同一个箱子中质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为否则该箱产品记为.①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为求当为何值时取得最大值并求出最大值.参考数据：若随机变量服从正态分布，则：.【答案】（1）（2）①②时最大值为.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数再算出标准差可得出和得出结合正品的条件即可求出该企业生产的产品为正品的概率的结果（2）由题意结合组合的定义可知从件正品中任选两个有种选法其中等级相同有种选法通过古典概型的概率求法利用反面求法即可求出箱产品抽检被记为B的概率为最后利用排列数的运算即可得出结果（3）根据二项分