数值分析复习题答案

数值分析复习题

一、填空

Chapterl绪论

近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.

用1000.1近似真值1000时，其有效数字有4位，

准确值x*与其有t位有效数字的近似值“=°回"2%xlO'(qKO)的绝对误差为

设£=2.40315是真值尤=2.40194的近似值，那么了*有3位有效数字。

-J—xlO^=-xl0^

设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，那么其相对误差限是2x24,其绝对误差

▲x10"

限是2。

y/x+1—s/x=-I----j=

当X很大时，为防止损失有效数字，应该使s/x+1+y/.X。

Chapter!插值方法

设/(幻=3》6+6_/_5/+1,那么/[—3,-2,—1,0,1,2,3]=3。

假设f(x)=2x'+x2-3,那么f[l,2,3,4,5,6]=°。

对f(x)=x3+3x?-x+5,差商f[0,l,2,3,4]=0。

设那么差商了[0,1,2,3,4,5,6]=1。

y=f(x)的均差八为"2，石]=5,/[X4,X0,X2]=9,电4,x3,x2]=14,f[xO,x3,x2]=8，.那么均差f[x4,x2,

x0]=9»(交换不变性)

JC—1122

noQ--(%+1)(%-2)+—(x+l)(x-1)

设有数据yu32那么其2次Larange插值多项式为23,2

次拟合多项式为〔最正确平方逼近可求)。？？?

以n+1个整数点k(k=0,l,2,...,n)为节点的Lagrange插值基函数为k

1M(X)=_K

=0,l,2,...,n),那么k=oxo??[注："一,，那么有拉格朗日插值公式：

n

L„(x)=^yklk(x),x=0,l,2...,n；y=0,l,2…/

k=。,即：y=x)

x3-l0<x<l

S(x)='

—(x-1)3+a(x-l)2+b(x-l)+c1<x<2

假设I2是三次样条函数，那么：a=_3_,b=_3.c=Oo

三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间［a,b］内二阶连续可导，S(xk)=yk(),k=0,l,2,...,n,且满足S(x)在

每个子区间［xk,xk+l］上是不超过三次的多项式。

1.5x+lx=[0,2]

—3x+10x—[2,3]

过(0,1),(2,4),(3,1)点的分段线性插值函数P(x)=

xxOxlx2x3x4

yyOyly2y3y4

设有函数表如：iiLymOmlm2m3m4,那么可利用分段三次Hermite插值，其插值

多项式的次方为三次.？?

Chapters函数的最正确平方逼近

无

Chapter4数值积分与数值微分

n

Vcj")=

牛顿―柯特斯求积公式的系数和广。积分区间的长度(b-a)。〔验证梯形、辛普森、科特斯公式满

足)？？

ri311

ff(X)dx=-f(-)+-f(l)।2

数值求积公式加434的代数精度为：2次代数精度。(依次将函数Lx，x，…代入验

证是否满足，可得代数精度〕

i1113

£r工-［2/(-)-/(-)+2/(-)］

求积公式J°3424的代数精度为：3次代数精度。

rbb-a

Jf(x)dx

求积分Ja的近似值，其辛卜生公式为6

0"的近似值,其复化梯形公式为W⑷2牙-

求积分

i/------b-a「V2+y/e+l

/(/)=[f^\+exdx——[f(a)+f(b)]=-------------

设J。，那么用梯形公式得近似值为22

n点高斯型求积公式其代数精度是2n-l。如5点高斯求积公式，其代数精度为

Chapters线性方程组的直接解法

能用高斯消元法求解­=匕的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零(P113)

a+12

A=

-21」,当a满足条件。#一1且。#3时(各阶顺序主子式不为零),A可作LU分解，当a满足条

件。＞3时(A为n阶对称正定矩阵)，必有分解式A=LL,其中L是对角元素为正的下三角阵。

Chapter6线性方程组的迭代解法

573

7112

"刈=17,设八=364=2。。

2,那么

3-314+752

A=

」，那么"初=io,

设有矩阵46

1231

654

79,那么闷1=

A=8x45o

353

A=X=

设-21-3那么:

=_3_,同8―兀网,=24

max

「⑷=2.

l<i<n1

方阵A的谱半径是指

矩阵A的条件数是指。的d(A)=M1[・|”』

非奇异矩阵A的条件数Cond(A)=??,A是病态是指条件数数值很大。？？

」2、

A=,则条件数condKA)=

9

Chapter非线性方程的数值解法

(P-L<1,那么在有根区间内任意

解方程f(x)=O的简单迭代法的迭代函数(p(x)满足在有根区间内

取一点作为初始值，迭代解都收敛。

尺"]=纪£

利用二分法求/(x)=°在[①切上根的近似值，误差限为2人

%=Xkg-xj

设f(x)可微，那么求方程x2=f(x)根的牛顿迭代格式为+f'(Xk)-2Xk

-a

求,nr°-的近似值，其牛顿迭代格式为叫

5/74+1="三丁

求々3的近似值，其牛顿迭代格式是网

求解方程/(x)=0的Newton迭代公式为fW割线公式为

xk+l=xk----------------Xj）k=1,2,3…

序列{yn}n=0满足递推关系：Yn=10yn「l，（n=l,2,.“），假设丫。有误差，这个计算过程不稳定。

Chapter9常微分方程初值问题的数值解法

微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？？

y=于（X,y）,a<x<b

y（a）=77

求解常微分方程处值问题的改良Euler〔梯形法）公式为

刀+1=x+乳/（勺,匕）+/（勺+1，%）］

30（。）=〃j-O,l,...n-1

，它是二阶方法（二阶精度）。Euler法是一阶方法（一阶精度）。

P218

”+i=匕+/（马，匕）J=0,1,2...,n-1

h-

匕+1=x+a"（Xj，X）+/（勺+1，%+1）]

解常微分方程初值问题的改良欧拉法预报一校正公式是

h一

--Vf（v）X+1="+彳"区，匕）+/（为+1，%+1）

预报值：%+1++芍h（x校正值：2

计算题

Chapterl绪论

无

Chapter!插值方法

一、求一个次数不高于4的多项式p4（x）,满足以下插值条件:

解设P4（X）=+02%2+qx'+%

根据条件（五个未知数五个条件）解方程组可得：

即.引%）=鼻4+号+打2

设，（x）在［%。，%］上具有三阶连续导数，且任（x）|<"，x。占是区间［与，》2】

二、

的中点，£（X）是经过点（/，/（%）），（七，/（七）），。2，/（%））的二次多项式。试证明对任意

xe[xx]|/«-^（%）|<^|^/z=x1-Xo

xeL"o，尤2」有973,其中2

证明：由于，尸2（X）是经过点（X。，/（/）），（X-/（X。）,（%2,f（x2））那么可以构造出二次牛顿插值或

拉格朗日插值，其误差均为：

此题中〃=2,03（X）=（X-Xo）（x—Xi）（x—%）

「2_/

max［M（刈］=|（%-/）。一%—/?）（%—%-2坍，其中.，一

2

高1%(x)=00276"“

国力=

所以：

三、作一个三次多项式"(X)使满足：H(0)=l,H(l)=0,H2)=l,H'(l)=l

解：/(X)为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如以下图所示：

可得：/(x)=l-x+x(x-l),令H(x)=/(x)+Ar(xT)(x—2)

那么"(X)=-2+2x+A(3x2-6x+2),因为〃⑴=1,解得A=—1

最后得满足条件的三次多项式："(％)=1-4"+4必一%3。

fl_1_1_4

If(x^dx%o——，*1—,*2——，

四、对于积分J。，假设取节点52-5试推导一个插值型求积公式，并用这个

Cexdx

公式求J。的近似值。P74

解：

1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：

2、先计算系数4次=°12,具体过程如下：

Jf{x}dx«ZAJUk)=||/(x0)+J。)+H/(x2)

然后构造出积分公式：。k=0

(exdx

3、根据构造的积分公式，计算J。，具体过程如下：

五、给定数据

试求了(X)的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。

解：求解差商，如下表所示：

311

N?(x)—4—xH—x(x_2)H—x(^x—2)(x—3)

那么：226

r(n+l)/

Rif]=/[x,西,X„](x-%)(x-xj..(x-X„)=-~—。“+1(x)

插值余项：5+1)!

Chapters函数的最正确平方逼近

b

(p{x)=ax+—

一、观测数据[1,-5),〔2,0),[4,5),(5,6),试用最小二乘法求形如x的经验公式。

〔10分)

解：

/(x)=-,j;e[l,3]

二、求％上的一次最正确平方逼近多项式及平方误差。

解：取°。=1；0\=x=a+bx

分别计算:

（。01。0）（。0，。2）a3。，于）

根据［（加。2）

（。21。2）___"电，于）」代入求解得一=口406匹-02957

即得：8（X）=11406-0.2957》为“X）在多项式集合=span{l,x}的最正确平方逼近。

m

同：=（九/）-（九9）=G（九?）

平方误差：1=0

/（%）=4x,

三、设4,试求/（X）的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。

解：方法同上

7T

/（x）=sinxxe0,—

四、设12」，试求/（%）的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。

解：方法同上

五、设%="劭{1，*}.试在％中求/⑴=|%|在区间［-1』］上的最正确平方逼近元。

解.取°。=1•02=X.P?（X）=〃+bx

分别计算：

（。0,。0）（。0,。2）a3"）3715

a=­b=—

根据_（。0,。2）（。2'。2）___"（“，/）」代入求解得:1616

R（X）=3+”f2

即得：2,1616为了（X）在多项式集合=span{l,x2}的最正确平方逼近。

六、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合以下数据

X01.02.03.0

y0.20.51.01.2

解：因为过原点，所以取“x；a=/；二次曲线为：鸟（幻=依+.

231436

ArA=

493698

«=0.6184,/?=0.0711

即得：E（X）=0,6184X-0O711X2为〃%）在多项式集合=span{x,x?}的最小二乘法拟合曲线。

m/

IK=DX-^)1-1-7575

平方误差：『0

七、求解矛盾方程组:

解：

111

13-11123151119-3

A=

252135-1ArA=11363A’y=6

3-151-12519331-5

由.AArC=Ary可得.石=—1.5917,%=0.5899,七=0.7572

Chapter4数值积分与数值微分

一、把区间分成两等份，用复合辛卜生公式计算的近似值。保存小数点后四位，并说明误差

是多少。

h〃Tn

口

JfMdx=-[f(a)+f(b)+2^f(xk)+4-^f(x

解：根据复合辛卜生公式“6EIk-2

误差分析：

二、如果证明用梯形公式计算积分,所得结果比准确值大，并说明其几何意

义。

证明：

1、梯形积分公式余项:

因为‘%)>°,所以R"]<0,

rbh—Cl

——[/(x)+rb

/=[Jaf(x)dx=f(b)]+R[f]/=[于(

根据：2,可得用梯形公式计算积分iax)dx所得结果

比准确值大。

2、几何意义：？？？？？？

""⑷+八创

[f(x)dx

利用梯形.456的面积2近似的代替曲边梯形。43人的面积J。o(如上图所

示)

三、给定数据

x1.301.321.341.361.38

/(x)3.6020103.903304.255604.673445.17744

”.38

/=|f(x)dx

用Simpson公式计算J1前的近似值，并估计误差。

解：?????

1、将x=13°，L38］进行-2等分，那么根据复合辛普森公式可计算，计算过程如下:

J=公"(。)+/⑶+2方/(々)+42/(x1)

复化的Simpson公式：k='k=1

〔注：(0.4/6)*(3.602010+5.17744+2*4,2556+4*3.9033+4*4,67344))

凡"]=一纥察"'©，J©[。，々

2、误差估计：2880

此题中：3-。)=(138—1.30)=0.08,/?=0.04,设了⑴及其各阶导数的函数值在区间

内不产生较大的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取［“0=3875°,可得：

p2h

ff(x)dx«+Bf(Q)+Cf(h)ABC

四、给定求积公式J-2，''，试决定AS。使它的代数精度尽可能得

高。

解：

1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求积公式至少是2次精

度，那么将7(%)分别取1，羽父代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A、B、C,具体过程如下:

A=a

4h=A+B+C

Arlh848

<Q=-Ah+Ch=8=—•n1/(%)小丑(—//)一§妙(0)+刊(力)

—^=Ah2+Ch2C=1/z

13

32将

-f(丫34-vnmm+l

JW-X,x代入求得的积分公式进行验证，假设x成立而X不成立，那么该公式为m次代

数精度，具体过程如下:

・2〃&2h82428A

|x3dx=0^jCf(x)dx=-h(-h)3——/z(0)3+-/z(/z)3=0

J.-"333,精确成立;

12%x4cbc=—/z5ff(x)dx=—h(-h)\--/z(0)4+—h(h)，=—h5

J-2/z5L2h3333,不能精确成立；

,2h848

ff(x)dx«-hf{-h)——hf(O)+-hf{h}

所以：求得的积分公式为333具有3次代数精度。

四、设/(%)四阶连续可导，%=%。+龙〃=°』，2,-一，试建立如下数值微分公式：

Y、〜/（%）—2/（为）+/区）

“J〜h2

并推导该公式的截断误差。P100

解：由条件%=%。+九'=°」2,x0=x,-h,xi,x2=x,+h

得：~

其中须为中间点，%分别为%的左右等距点，利用泰勒公式展开得：（注：四阶连续可导，展开公

式有四项）

将⑴、⑵两式相加得：

/(^o)+f(x2)=2/(^1)+h2f(^1)=/,(^i)

2

h将⑴、

⑵两式相减得：

两个公式精度均为°（“）。

Chapter5线性方程组的直接解法

Chapter6线性方程组的迭代解法

元

1-2X2+2X3=5

<-%]+3%2=—1

一、写出计算线性方程组〔2*+7/=2

的高斯一赛德尔迭代格式，并分析此格式的收敛性.

解：

/+|=5+2——2/

123

k+1—1.1k+1

5x=-----1—x

2331

左+i_22

x——------xk+l

1、高斯一赛德尔迭代格式为：1377,,

2、判断该高斯一赛德尔迭代格式的收敛性：

BD+Lll

迭代公式的矩阵形式：1'=仇”+/，其中:s=（YU,fs=（D+LYb

0-4242

Bs=—0-141426max26

21019194=4=0,4=—0（B$）=[<.<J：=—>l

L°12T2」，求得：21,计算：z21

所以，该迭代公式不收敛（即：发散）。

5%1-11%2+%3=18

<一玉+芍+4X3=6

二、对下述方程组〔12"1+々-/=9直接应用高斯—塞德尔迭代法求解是否收敛？如果不收敛试设

法给出收敛的迭代公式，并简述理由。

解：

1、迭代公式的矩阵形式：U及”+工,其中：Bs=TD+L）TU,fs=TD+L）jb

02.2-0.2

Bs=02.2-4.2

028.6-6.6求得：

4=0,A-2.2-10.0379^^-2.2+10.0379/计算：

max

「（及）=2.=10.2762>1

1<z<3i,所以该迭代公式不收敛（即：发散）。

2、构造收敛的迭代公式？？？

5%j-1lx2+x3=1812%!+x2-x3=9

{-+x2+4X3=6<-1lx2+x3=18

啰12x,+x,-x,=9八”--X1+々+4&=6那么可得到新的:

将I123化为:

A’为严格对角占优矩阵，所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛!

”0110、

A=050,b=3,

、203）11用迭代公式公"1）=”+&（'（&）-6）,其中：（左=0,1,2,）。求解

加=上问取什么实数a可使迭代收敛，什么a可使迭代收敛最快。

解：

1、将=姆）化为标准形式-）=3+懑）”-.

令§=(E+aA),/=_aZ2,可得：x(k+l)Bx(k)+f

1+2。0a

B=01+5。0

2a01+3a+。

由已经条件可得：,解得4=l+5%4=l+4a，4=1

max

p（B）=2.<1

根据迭代法收敛的充要条件：《3I可得关于C的不等式:

r2八

——<a<Q

|l+5a|<l5

111c

|l+46r|<1n<——<a<006ZG(-|,0)

2

|l+cr|<1

—2<<02

aw（一7°）

所以在5时，夕⑷<1,即迭代收

敛。

2、求解&可使迭代收敛最快:

题三示意图

分别将P⑷="5次P（5）=11+烟,夕（8）=|1+。］作出曲线图，如上图所示。在aaV的区间

max

p®=2.

的曲线为黑色粗线，那么夕mm(B)为折线的最低点〔红点)，即为曲线

内，1<z<3，

1

Of----

「(砌=|1+5。|和「⑸=|1+同的交点，求得:3,使得「(3)最小。

1

Of----

判断夕(3),越小收敛精度越高。当3时,夕(3)=Pmin(3),所以迭代收敛最快。

-2x1+2X2+3X3=12

<一4%+2X2+x3=12

四、给定线性方程组瓜+2X2+3X3=16

用列主元消元法求解所给线性方程组。

写出Gauss-Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。

解：

1、用列主元消元法求解所给线性方程组。

-22312

A\b=-42112

增广矩阵为：I】2316

对其进行列主元消元:

--

-223「-000「-200「「023「

A=-421=-400+020+001=L+D+U

123120003000

2、

4=3+工,其中：Bs=(D+L)TU,fs=(D+L『b

检验高斯一赛德尔迭代,

其过程同下题六(2)!

「3-10]、3

023x24

214x

五、给定线性方程组L」L35-(1)写出Gauss—Seidel迭代格式；(2)分析该迭代格式

是否收敛。

解：

ll

检验高斯-赛德尔迭代,旦"％工，其中:Bs=(D+LYU,fs=(D+L)b

其过程同下题六(2)1

10.505

0.5]0.5

六、给定线性方程组Ax=b,其中A=L0.5°-51J,证明雅可比迭代法发散，而高斯一赛德尔迭代法

收敛。

证明：迭代公式的矩阵形式：工"包=及工”+工，分别检验夕(3),进行敛散性判断。

1、检验雅可比迭代，”旬=&")+/,其中：B=_D<U+L),f=_D/,

0-0.5-0.5

B=-0.50-0.5

0.5-0.50~，求解得,4=一1，4=。-5,4=05,p(B)=1

所以雅可比迭代发散！

ll

2、检验高斯-赛德尔迭代，-'=8产+工，其中：Bs=(D+LyU,fs=(D+LYb

「0-0.5-0.5-

Bs=00.25-0.25

00.1250.375+眄汨4=0,2,=0.3125+0.1654，,2,=0.3125—0.16547

L」，求解得：12F,

夕(3)=0.3536vl,所以雅可比迭代收敛！

八2

0<a<—

七、设AeR"、"有"个正的实的特征值424'4，•试证当4时迭代公式

=x®+a(b-Ax(")收敛。

解：利用：

x(k+l)=xw+a(b-Axw)nx(k+l)=(E-aA)xw+abnx(i+1)=Bxw+f，那么.

B=(E-aA),f=ab,求解8的特征值2,可求得「(为

只需证明夕(8)<1即可证明收敛。过程同上！

-321「3-

A=,b=

八、给定线性方程组^=b，其中口2」\_-1],用迭代公式

x(k+l)=xw+a(b-Axw)(k=0,1,2)求解，问取什么实数a可使迭代收敛，什么2可使迭代收

敛最快。

解：同题三！

Chapter8非线性方程的数值解法

一、在求非线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法一般为线性收敛，而牛顿迭代法为平方收敛。P200

证明：？？？？？？

1、一般迭代法:Xk+i=g(Xk)，k=o,l,2,…,

由于x*—x*+i=g'O(x*_x*),^e[xk,x*]；

_....7^r=|<?(^)|f]g'(x*)|kfs

所以,4+i=g04,因而同

假设且1g(")卜I那么简单迭代法为线性收敛！

/(九)ZXzXf(x)

x=x---------=g(%)g(x)=x----------

2、牛顿法，迭代格式为：/(X)',对/(X)'求导，得：

上式中/(》*)=0,所以当/(x*)/0时，g(x*)=O,g(%*)/0,牛顿法为平方收敛。

［注：P201,一般情况下，g(x)=g(x)=〜=gP」(x)=0,而gP(x)/0,称4+1=g<X)在x*附

近为P阶收敛)

二、考虑求解方程2cosx—3x+12=°的迭代公式

(1)试证：对任意初始值”。G&,该方法收敛。

(2)写出用牛顿迭代法求解此方程的迭代公式。

解：

22

(p{x}=4+—cosxncp(x)=——sinx

1、证明：由条件，迭代函数为33

22

=-Tsinx<-<1xgR

可得：33，所以，对于任意的初始值％。，该方法收敛。

2、令：/(x)=2cosx-3x+12；那么其导数/'(x)=_2sinx—3,

丫一丫—丫一丫।2cos々―3々+12

上+1krz\।%+1k0*.o

由牛顿迭代公式八几)可得：2smx&+3

三、给定方程必+4%2-10=°分析该方程存在几个根，并构造求近似根的迭代公式，证明所用的迭代

公式是收敛的。

解：

8

32

1、令：/(X)=%+4X-10；令f(x)=3x2+8x=0,解得%=一

(—oo_§]T刈为减函数,

/(%)在3为增函数,1°，+°°)为减函数，具体函数形状如图a所示，又由于

QQQ

/(——)=-0.515,/(0)=-10/=——/()=-0.515<0

3,建立坐标系，从图中可以看出3,3为局部

-°°刀)最大值，/(°)=T°<°,图中可知该方程有一个根。

图a图b

2、由于/⑴=一5<0,/(2)=14<°,可知x*e[l,2]

./(%)=X3+4X2-10/1(X)=3X2+8X>0/⑴=6X+8>0构造牛顿迭代公式，

X工』(及)工片+4就—10

k

川fWk3片+叫

证明：验证迭代公式是否满足以下条件：？？？？？

⑴/(X)在xe[l,2]上，/'(X)、/"(x)存在且/(x)>0"(x)>°符号不变，满足条件；

⑵/⑴/(2)<°,满足条件；

⑶假设要/(xo)/W>°%,xe[L2],由于/(x)〉°,应使/(不)〉0，比方

%=1.5"(1.5)=2.375>0,即可假设满足条件；

综上，可知该迭代公式收敛！

五、给定方程兀-力优-2=°。m分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；[2)构造求近似

根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。

解：方法同上下题！

四、给定方程/(*)=(*—De*—1=°。

分析该方程存在几个根；

用迭代法求出这些根，精确至四位有效数；

证明所试用的格式是收敛的。

解：

1、分析方程存在几个根：

2200

f(%)=[(x-l)+x]e">0；所以/(x)在(—8，”)上为增函数，同时/(exO./G)〉。，所

以,(