2023-2024学年上海市长宁区九年级（上）月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年上海市长宁区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题2分，共12分）1．（2分）已知x：y＝4：5，则（x+y）：（x﹣y）的值为（）A．1：9 B．﹣9 C．9 D．﹣1：92．（2分）如果两个相似多边形的面积比为9：4，那么这两个相似多边形的相似比为（）A．9：4 B．2：3 C．3：2 D．81：163．（2分）若与的方向相反，且，，则下列用的式子中，正确的是（）A． B． C． D．4．（2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE∥BC的是（）A． B． C． D．5．（2分）如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，错误的是（）A． B． C． D．6．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，且CD2＝CE×CB，下列说法不正确的是（）A．△CDE∽△CBD B．＝（）2 C．AD2＝AE•AC D．二、填空题（每小题3分，共36分）7．（3分）在一张比例尺为1：20000的地图上，量得A、B两地的距离是7cm，则A、B两地的实际距离为m．8．（3分）已知点P是线段AB上的一点，且AP2＝AB•PB，如果AB＝2，那么AP＝．9．（3分）计算（﹣）﹣（﹣2）＝．10．（3分）如图，AD∥BE∥CF，，DE＝5．11．（3分）如图，AD∥BC，AC与BD相交于点E，AC＝7cm，则CE＝．12．（3分）如图，在△ABC中，点D为AB上的点，AB＝5，，∠ACD＝∠B．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为点D，若AD＝2，则C△ACD：C△ABC＝．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，垂足为点D，AD与BE相交于点G，则GE的长为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，正方形DEFG的顶点D、G在△ABC的边BC上，则这个正方形的边长是．16．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且，则△BEC的面积与四边形AECD的面积之比为．17．（3分）定义：如图1，对于线段AB的内分点C和外分点D，如果满足，在△ABC中，点D在AB上，连接CE，射线CD、CB与射线AM交于点F、G，若A、B、D、E是调和点列，且AD＝2，则的值是．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交CD于点G，则的值为．三、解答题（19、20、21题每题6分，22、23、24题每题8分，25题10分，共19．（6分）如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E．（1）若，AB＝4，求AE的长；（2）联结BD，设，，用、表示．20．（6分）如图，AD∥BC，AB、CD交于点E，．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形AFED的面积为16，求△ACD的面积．21．（6分）如图，D是△ABC内一点，且∠ADC＝∠BDA＝120°，BD＝3，，求∠ABC的度数．22．（8分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD边上一点，点G在边DC上，且∠BEF＝∠A．（1）求证：AB•CG＝CF•AE；（2）若AB＝AD＝3，，求CF的长．23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为点D，E是AC的中点（1）求证：FD2＝FC•FB；（2）求证：＝．24．（8分）如图1，在直角坐标平面内，直线l1：y＝﹣4x+8交x轴于点A，交y轴于点B，线段AB的中点记作点M．（1）求点A、点B、点M的坐标；（2）如图2，过点M的直线l2的截距为5，交x轴于点C，点E、F是直线l2上的动点（点E在点M上方，点F在点M下方），且总满足ME＝MF，当△EAF是直角三角形时25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7，点D是边CA延长线上的一点，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F（1）当点E是BD中点时，求AD的长；（2）设CE＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式及定义域；（3）当△BGE与△BAF相似时，求线段AF的长．

参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共12分）1．【分析】由已知条件，设x＝4k，则y＝5k，则可直接求得（x+y）：（x﹣y）的值．【解答】解：设x＝4k，则y＝5k，（x+y）：（x﹣y）＝（2k+5k）：（4k﹣7k）＝﹣9．故选：B．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．2．【分析】根据两个相似多边形的面积比为9：4，面积之比等于相似比的平方．【解答】解：根据题意得：＝．故选C．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．3．【分析】由与的方向相反，且，，即可求得与的关系，继而可求得答案．【解答】解：∵与的方向相反，且，＝2，∴用表示＝﹣．故选：B．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，解题的关键是注意与的方向相反，及符号相反．4．【分析】由题意得出选项A、B、C的比例式中能得到DE∥BC，选项B的比例式中不能得到DE∥BC，即可得出答案．【解答】解：如图，∵＝，∴DE∥BC；∵＝，∴DE∥BC；∵＝，∴DE∥BC，当＝时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能判定DE∥BC，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理的逆定理是解题的关键．5．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵AD∥BC∴＝，故A正确；∵CD∥BE，AB＝CD，∴△CDF∽△EBC∴＝，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴＝，故D正确．∴C错误．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．【分析】通过证明△CDE∽△CBD，可得∠CDE＝∠B，∠CED＝∠CDB，通过△ACD∽△DCE，可得AD2＝AE•AC，∠CDE＝∠A＝∠B，可得CB＝AC，由等腰三角形的性质可得BD＝AD，即可证．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵CD2＝CE•CB，∴，∴△CDE∽△CBD，∴∠CDE＝∠B，∠CED＝∠CDB，又∵∠ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝，∴AD2＝AE•AC，∠CDE＝∠A，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC，又∵CD平分∠ACB，∴BD＝AD，∴＝5，无法证明△ADE与△ABC相似，故选项B不成立，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共36分）7．【分析】首先设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位．【解答】解：设A，B两地的实际距离为xcm，根据题意得：，解得：x＝140000，∵140000cm＝1400m，∴A，B两地的实际距离是1400m．故答案为：1400．【点评】此题考查了比例尺的性质．比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．8．【分析】设AP＝x，则PB＝2﹣x，根据AP2＝AB•PB列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．【解答】解：设AP＝x，则PB＝2﹣x，由题意，x2＝3（2﹣x），解得x＝﹣7或﹣故答案为：﹣4．【点评】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念．学会利用参数构建方程解决问题．9．【分析】根据平面向量的加法运算律进行计算即可．【解答】解：（﹣）﹣（）＝（﹣）﹣（7﹣1），＝﹣．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握平面向量的加法运算定律的应用．10．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得：EF＝10，∴DF＝DE+EF＝5+10＝15，故答案为：15．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．11．【分析】由＝，且＝，得＝，由AD∥BC，证明△ADE∽△CBE，则＝＝，所以＝，即可求得CE＝cm，于是得到问题的答案．【解答】解：∵＝，且＝，∴＝，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝＝，∵AC＝7cm，∴＝，解得CE＝，故答案为：cm．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、高相等的两个三角形的面积比等于底边长的比等知识，证明△ADE∽△CBE是解题的关键．12．【分析】由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC，得＝＝，则AC＝＝，于是得＝，则BC＝2，于是得到问题的答案．【解答】证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∵AD＝3，AB＝5，∴AC＝＝＝，∴＝，∴BC＝8，故答案为：2．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解题的关键．13．【分析】通过证明△ACD∽△CBD，可得，可求CD的长，由勾股定理可求AC的长，通过证明△ACD∽△ADC，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB；∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD＝2，BD＝3，∴AB＝2，CD＝，∴AC＝＝＝，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△ADC，∴C△ACD：C△ABC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．14．【分析】由等腰三角形的性质得BD＝CD＝5，再由勾股定理得AD＝12，然后证点G为△ABC的重心，得DG＝4，GE＝BG，进而由勾股定理求出BG的长，即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2，∴AD＝＝＝12，∵BE是AC边上的中线，∴点G为△ABC的重心，∴DG＝AD＝4BG，∴BG＝＝＝，∴GE＝BG＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及重心定理等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．15．【分析】由∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，根据勾股定理求得BC＝5，由正方形的性质得DE＝DG＝GF，∠EDG＝∠FGD＝90°，则∠BDE＝∠FGC＝∠A＝90°，可证明△DBE∽△ABC，得＝，则DB＝DG，再证明△GFC∽△ABC，得＝，则GC＝DG，于是得DG+DG+DG＝5，求得DG＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，∴BC＝＝＝5，∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝DG＝GF，∠EDG＝∠FGD＝90°，∴∠BDE＝∠FGC＝∠A＝90°，∵∠BDE＝∠A，∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC，∴＝，∴DB＝•DE＝DG，∵∠FGC＝∠A，∠C＝∠C，∴△GFC∽△ABC，∴＝，∴GC＝•GF＝DG，∵DB+DG+GC＝BC＝5，∴DG+DG+，解得DG＝，∴正方形DEFG的边长是，故答案为：．【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DBE∽△ABC及△GFC∽△ABC是解题的关键．16．【分析】连接AC，则△AEC与△BEC的面积的比等于1：3，再根据BC＝3AD的△ABC与△ACD的面积的比等于3：1，设△ACE的面积为a，则可以表示出△BEC与四边形AECD的面积，再求出比值即可．【解答】解：如图，连接AC，∵＝，∴S△BEC＝2a，∴S△ABC＝a+3a＝4a，∵BC＝4AD，∴S△ABC＝3S△ACD＝4a，∴S△ACD＝a，∴四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACD＝a+a＝a，∴△BEC的面积：四边形AECD的面积＝8a：a＝8：7．故答案为：9：4．【点评】利用等腰三角形边长的关系得到面积的关系从而得到三角形与四边形的面积的比是解决本题的主要思路．17．【分析】先求出DB＝1，通过证明△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，可得＝，＝1，即可求解．【解答】解：∵A、B、D、E是调和点列，∴，∴＝，∴DB＝1（负值舍去），∴AB＝2，DE＝4，∵AG∥CE，∴△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，∴＝，＝1，∴AF＝CE，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．18．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝y，FG＝AG﹣AF＝，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，设BE＝3x，则EC＝2x，∵四边形ABCD矩形，∴AD＝BC＝4x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝6x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴＝＝，∴＝＝＝，∴EH＝，AF＝，∴CH＝EH﹣EC＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴＝，∴＝＝，设AG＝10y，则GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝×2＝y，∴FG＝AG﹣AF＝，∴AF：FG＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．三、解答题（19、20、21题每题6分，22、23、24题每题8分，25题10分，共19．【分析】（1）根据平行四边形的性质即可得出结果；（2）根据（1）的结论AE＝得出，再根据平面向量三角形运算法则求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD，AB＝CD＝4，∴＝，∴AE＝＝；（2）如图，由（1）知，AE＝，∵，∴＝，又∵，∴＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平面向量，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得＝，可得结论；（2）通过证明△ACD∽△FCE，可得＝，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴，又∵，∴，∴EF∥BC；（2）解：∵，∴，∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD，∴△ACD∽△FCE，∴＝，∵四边形AFED的面积为16，∴S△ACD＝25．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键．21．【分析】首先由∠ADC＝∠BDA＝∠BDC，得到∠ADC＝∠BDA＝∠BDC＝120°，对应边成比例夹角相等，证得△ABD∽△BCD，进而得到∠ABC＝60°．【解答】解：∵AD＝2，BD＝3，∴CD：BD＝BD：AD，∵∠ADC＝∠BDA＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝120°∴△ABD∽△BCD，∴∠ABD＝∠DCB，∵∠ADC＝∠BDA＝∠BDC＝120°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝60°．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．【分析】（1）由等腰梯形的性质得∠A＝∠D＝∠GCF，∠DEG＝∠F，而∠BEF＝∠A，则∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠A＝180°AEB﹣∠BEF＝∠DEG＝∠F，所以△ABE∽△CFG，得＝，则AB•CG＝CF•AE；（2）由AB＝AD＝3，AE＝，得DE＝AD﹣AE＝，再由∠A＝∠D，∠ABE＝∠DEG，证明△ABE∽△DEG，则＝，求得DG＝，而AB＝DC＝3，所以CG＝CD﹣DG＝，由AB•CG＝CF•AE，得CF＝＝．【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A＝∠D，∠DEG＝∠F，∵∠BEF＝∠A，∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠A＝180°AEB﹣∠BEF＝∠DEG，∴∠ABE＝∠F，∵∠A＝∠D，∠D＝∠GCF，∴∠A＝∠GCF，∴△ABE∽△CFG，∴＝，∴AB•CG＝CF•AE．（2）解：∵AB＝AD＝3，AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，∵∠A＝∠D，∠ABE＝∠DEG，∴△ABE∽△DEG，∴＝，∴DG＝＝＝，∵AB＝DC＝3，∴CG＝CD﹣DG＝6﹣＝，∵AB•CG＝CF•AE，∴CF＝＝＝，∴CF的长是．【点评】此题重点考查等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABE∽△CFG及△ABE∽△DEG是解题的关键．23．【分析】（1）由∠ADC＝90°，E是AC的中点，得DE＝CE＝AE＝AC，则∠FDC＝∠ACD，因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，则∠FDC＝∠B，而∠F＝∠F，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△FCD∽△FDB，得＝，则FD2＝FC•FB；（2）由△FCD∽△FDB，得＝，则＝，再由∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADC∽△CDB，得＝，则CD2＝AD•BD，所以＝＝．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝CE＝AE＝AC，∴∠FDC＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，∴∠FDC＝∠B，∵∠F＝∠F，∴△FCD∽△FDB，∴＝，∴FD5＝FC•FB．（2）由（1）得△FCD∽△FDB，∴＝，∴＝，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝AD•BD，∴＝＝．【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FCD∽△FDB及△ADC∽△CDB是解题的关键．24．【分析】（1）对于y＝﹣4x+8，当x＝0时，y＝2，令y＝﹣4x+8＝0，则x＝2，即可求解；（2）当AE是斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当AF为斜边时，同理可解．【解答】解：（1）对于y＝﹣4x+8，当x＝8时，令y＝﹣4x+8＝8，则x＝2，故点A、B的坐标分别为：（2、（3；由点A、B的坐标得，4），（2）设直线l2的表达式为：y＝k（x﹣3）+4＝kx+4﹣k，即8﹣k＝5，则k＝﹣1，故直线l7的表达式为：y＝﹣x+5，设点E（m，﹣m+5），∵ME＝MF，即点M是EF的中点，由中点坐标公式的，点F（4﹣m，由点A、E、F坐标知2＝（m﹣2）3+（m﹣5）2，AF4＝m2+（2m﹣5）2，EF2＝（7m﹣2）2+（m﹣3）2，由题意知，∠AEF不可能是直角．当AE是斜边时，则（m﹣2）3+（m﹣5）2＝m6+（2m﹣6）5+（2m﹣2）3+（m﹣1）2，解得：m＝6（舍去）或，则点F的坐标为：（，3）；当AF为斜边时，则（4m﹣2）2+（m﹣2）2+（m﹣2）6+（m﹣5）2＝m2+（2m﹣6）7，解得：m＝，则点F的坐标为：（，6﹣，6+）；综上，点F的坐标为：（，3﹣，6+）．【点评】本题为一次函数综合题，涉及到一次函数的图象和性质、中点坐标公式的运用、勾股定理的运用等，分类求解是本题解题的关键．25．【分析】（1）由直线AE是BD的垂直平分线，可得AD＝AB＝＝＝5；（2）取AB中点O，连接OC、OE，由∠BCA＝∠BEA＝90°，可得点A、C、B、E四点共圆，故∠BCE＝∠BAF，∠CBE+∠CAE＝180°，而BF∥CD，有∠BFA+∠CAE＝180°，∠CBE＝∠BF