滚动训练八-师说提分宝典-2021-2022学年高三一轮复习数学导学（新教材新高考）

滚动训练（八）考试范围：集合与逻辑复数不等式数列函数与导数立体几何三角函数与平面向量解析几何考试时间：120分钟；分值：150分第I卷（选择题）一、单选题(共40分)1．(本题5分)已知非零向量，则“”是“”的（）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．(本题5分)若函数的定义域为，函数的定义域为，则使的实数的取值范围是（）A． B．，C． D．，3．(本题5分)欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．(本题5分)给定两个长度均为2的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示.若，其中，，则的最大值是（）A． B． C．2 D．5．(本题5分)已知函数，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（）A．成等差数列 B．成等比数列C．成等差数列 D．成等比数列6．(本题5分)在正三棱锥中，，为的中点，与底面所成角为，则正三棱锥外接球的直径为（）A． B． C． D．7．(本题5分)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（）A． B． C． D．8．(本题5分)已知P是双曲线C：－＝1上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为，，若恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（）①双曲线的方程为－y2＝1；②双曲线的离心率为；③函数y＝loga(x＋1＋)(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点；④直线x－y＝0与双曲线C有两个交点．A．①② B．①③C．②③ D．②④二、多选题(共20分)9．(本题5分)设是公差为的等差数列的前项和，则下列命题正确的是（）A．若，则数列有最大项B．若数列有最大项，则C．若数列是递增数列，则对任意，均有D．若对任意，均有，则数列是递增数列10．(本题5分)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是（）A． B．C． D．11．(本题5分)已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（）A． B．C． D．12．(本题5分)若，，则（）A． B．C． D．第II卷（非选择题）三、填空题(共20分)13．(本题5分)设向量，若，则m=_________.14．(本题5分)已知空间中的一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，则__.15．(本题5分)数列是首项和公差都为1的等差数列，其前n项和为，若是数列的前n项和，则______16．(本题5分)如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________四、解答题(共70分)17．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．（1）若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若，向量，求的最小值及对应的θ值．18．(本题12分)已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．19．(本题12分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少?（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大?20．(本题12分)已知函数.（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于的不等式.21．(本题12分)已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点．（1）求椭圆的方程．（2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．22．(本题12分)已知椭圆C1：(a>b>0)和圆C2：x2＋y2＝r2(r>0)，F1，F2分别为椭圆C1的左、右焦点，点B(0，)在椭圆C1上，当直线BF1与圆C2相切时，r＝．（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线l：y＝kx＋m(k>0，m>0)与x轴交于点Q，且与椭圆C1和圆C2都相切，切点分别为M，N，记△F1F2M和△QF2N的面积分别为S1和S2，求的最小值．参考答案1．B【分析】取特殊情况，可判断充分性不成立；由，可得，可判断必要性，即得解【详解】若，只要保证向量与垂直即可，则不一定等于，故充分性不成立；若，则，，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：B2．B【分析】由根式和分式函数的定义域结合一元二次不等式的解法求出集合，再由交集运算的结果求出参数的取值范围.【详解】要使函数有意义，则，即，解得或，即或．要使函数有意义，则，即，所以，即，所以．要使，则，即，所以．故选：B3．B【分析】根据欧拉公式，化简复数得的，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，可得，所以复数表示的复数在复平面内对应的点为位于第二象限．故选：B.4．A【分析】建立空间直角坐标系，得到，，.设，则，根据，解得，然后由，利用正弦函数的性质求解.【详解】解：建立如图所示的坐标系，则，，即，.设，则.，，，.，（此时有，是个锐角）..可取到.有最大值，故选：.5．C【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，根据函数解析式化简，再根据双曲线的方程特点判断.【详解】对A，若成等差数列，则，即，整理可得，则当时，的轨迹为圆，时，的轨迹不存在，故A错误；对B，若成等比数列，则，即，整理可得，方程不能表示双曲线，故B错误；对C，若成等差数列，则，即，整理可得，当且时，方程化为，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确；对D，若成等比数列，则，即，整理可得，当，且时，由得，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错误.故选：C.6．B【分析】设为正三角形的中心，可得就是直线与底面所成的角，求出高，设正三棱锥外接球的球心为，则点直线上，设（作出线段上，如果求得是负值，说明在延长线上），由勾股定理求得值，从而可得外接球半径、直径．【详解】解：设为正三角形的中心，连接，，在上，是棱锥的高，，在正三角形中，，是中点，则，，在中，就是直线与底面所成的角，则，所以，设正三棱锥外接球的球心为，则点直线上，连接，设，则，即，解得，所以可以确定球心在线段的延长线上，所以正三棱锥外接球的半径，则直径为.故选：B．7．C【分析】联立OA与抛物线方程得A点坐标，由是的垂心得﹒【详解】抛物线的焦点的坐标为，设所在的直线方程为所在的直线方程为，由得∴点的坐标为，∵是的垂心，∴，∴∴﹒故选：C﹒8．B【分析】设的坐标，代入双曲线的方程整理，结合不等式恒成立即均值不等式可得的值，进而求出双曲线的方程，可得双曲线的离心率和焦点坐标，可判断①，②，③的真假，再由直线和双曲线的位置关系判断④即可．【详解】设，可得，所以，由题意可知，，可得，，即若恒成立，且实数的最大值为1，由，当且仅当时取等号，所以可得，可得双曲线的方程为：，故①正确；离心率，故②错误；由双曲线的方程可得焦点坐标为，，函数的图象恒过定点，，即函数的图象恒过双曲线的一个焦点，故③正确；双曲线的渐近线为y＝±x，而直线x－y＝0的斜率为1＞，所以直线x－y＝0与双曲线C没有交点，故④错误．综上，正确的是①③，故选：B.9．ABD【分析】由题意，分、分别讨论对应的函数性质可判断A，B；若数列是递增数列，则，若数列是递减数列，则分析可判断C，D.【详解】因为，若，对应二次函数开口向下，由二次函数的性质可知，数列有最大项，正确；若，二次函数开口向上，无最大项故若数列有最大项，有，B正确；若数列是递增数列，则，若，则，故不一定对任意，均有，C错误；若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有故若对任意，均有，有数列是递增数列，D正确．故选：ABD10．AB【分析】分别讨论焦点在x轴上和在y轴上求出方程，再根据抛物线定义即可求出.【详解】若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为，由点A在抛物线上，得，即，得，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为，由点A在抛物线上，得，即，得，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为．综上，点A到此抛物线的焦点的距离或.故选：AB.11．AC【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再由两角差的余弦公式以及积化和差公式逐一判断即可.【详解】解：因为，，其中，为锐角，所以：，故A正确；因为，所以，故B错误；可得，故C正确；可得，所以，故D错误．故选：AC．12．AC【分析】利用换底公式结合作商法可判断AD选项的正误；利用作商法结合指数函数的单调性可判断B选项的正误；利用幂函数的单调性可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，因为，，则，，，，所以，，A对；对于B选项，，则，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，所以，，D错.故选：AC.13．【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，化简求得的值.【详解】，，由得：，解得.故答案为：14．【分析】通过线面角的定义可得，在求解即可.【详解】∵棱，，与平面所成的角相等，∴平面就是与正方体的12条棱的夹角均为的平面.则，设棱长为2，，，，，故答案为：.15．##【分析】首先写出等差数列前n项和，则有，再应用裂项相消法求.【详解】由题意：，故，于是，∴.故答案为：.16．【分析】过作平面平面，得到在与平面的交线上，连接，证得平面平面，得到点在上，设正方体的棱长为，且，得到，，设与所成角为，利用向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】过作平面平面，因为点是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，同理可证平面，所以平面平面，则平面即为，点在线段上，设正方体的棱长为，且，则，，可得，设与所成角为，则，当时，取得最小值，最小值为，当或时，取得最大值，最大值为．故答案为．17．（1）；（2）的最小值为，此时.【分析】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值及对应的θ值.【详解】（1）设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意知，所以，所以，所以当时，最小，最小值为.（2）由题意得，，则＝=1－cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－cos2θ－sin2θ＝,因为，所以，所以当，即时，取得最大值1，取得最小值.所以的最小值为，此时.18．证明见解析；．【分析】由条件可得，得到是等差数列，求出通项公式，再利用迭代法可得的通项公式．【详解】证明：由题知，得，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，，当时，也符合题意，所以，又所以.19．（1）312m3（2）PO1=2m【分析】（1）根据柱体和锥体的体积公式分别求出棱柱和棱锥的体积，即可得出答案；（2）连接，设仓库的容积为，，根据柱体和锥体的体积公式分别求出棱柱和棱锥的体积，从而得出容器的体积，再利用导数即可求出答案.（1）解：因为PO1=2m，则，则，，所以仓库的容积是；（2）解：连接，设仓库的容积为，，则，，则，，，故，则当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即当时，仓库的容积最大.20．（1）在R上是增函数，证明见解析；（2）.【分析】（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数的单调性及对数函数的单调性即解.【详解】（1），则函数是奇函数，则当时，设，则，，，即，，则，即，则在，上是增函数，是上的奇函数，在上是增函数.（2）在上是增函数，不等式等价为不等式，即.即不等式的解集为.21．（1）；（2）存在；或.【分析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.（1）设，因为直线的斜率为，，所以，可得，又因为，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得的面积为，当轴时，不合题意，设，，直线的方程为，联立消去得：，由可得或，，，所以，点到直线的距离，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直线：或使得的面积为.22．（1）（2）【分析】（1）根据圆的切线性质，结合代入法进行求解即可；（2）将直线方程和椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.（1）因为点B(0，)在椭圆C1上，所以，因为F1(－c，0)，所以直线B