2024届浙江省宁波市二模模拟考试数学试题

2024年宁波二模模拟考试数学试题

一、单选题(每题5分，共40分)

1.已知点集八=｛&刈%€乙丫€2｝,S=｛(a,b)eA|lW5,1(645｝.设非空点集T=A,若对S中任意一点尸，在T中

存在一点。(。与尸不重合)，使得线段尸。上除了点R。外没有A中的点，则T中的元素个数最小值是()

A.1B.2C.3D.4

2.已知复数z的实部大于等于1,则,+1+i的最小值为()

Z

A.V2B.V3C.叵iD.叵^

22

3.已知实数。、b,满足〃=log56+log3625,3。+4。=5七则关于。、。下列判断正确的是()

A.a<b<2B.b<a<2C.2<a<bD.2<b<a

A111/、

4.1-------------------------H...H------------------------=()

sin45°sin46°sin46°sin47°sin89°sin90°')

17

A.—FB.45s讥1。C.一工D.90s讥1。

sinl°sinl°

5.如图，己知椭圆C1和双曲线c?具有相同的焦点E(-c,o),8(c,o),42、c、r>是它们的公共点，且都在圆/+

上，直线A3与X轴交于点尸，直线CP与双曲线C?交于点。，记直线AC、AQ的斜率分别为8、k2,若椭圆G的离

4

C.-D.4

3

6.已知向量a,b,工满足a+6+C=0，(a-6)•(a-c)=0,\b-c\=9,则|a|+16|+|©的最大值是()

A.15B.—C.3+—D3isVio

224

7.等差数列也｝的通项是a“=3〃-l,等比数列也｝满足伉=%,%=%,其中q>pNl,且〃、P、”匀为正整数.有

关数列也｝,有如下四个命题：

①存在p、q,使得数列｛年｝的所有项均在数列｛4｝中；

②存在？、q,使得数列｛〃｝仅有有限项(至少1项)不在数列｛%｝中；

③存在。、q,使得数列也｝的某一项的值为2023；

④存在p、q,使得数列｛2｝的前若干项的和为2023.

其中正确的命题个数是（）个

A.0B.1C.2D.3

8.我们规定具有下述性质的正整数上为“奇妙数”：若将1,2,•,%中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个

互不相同的红色的数占,多,,%满足尤1+尤2++尤8〈尤9，或者存在1。个互不相同的蓝色的数%，%，•,，%）满足

%+必++/＜加.则最小的“奇妙数”为（）

A.396B.397C.408D.409

二、多选题（每题6分，共18分）

9.如图，是边长为5的正方形，半圆面平面A8CD点尸为半圆弧4。上一动点（点尸与点A,。不重

合）.下列说法正确的是（）

A.三棱锥尸一A3。的四个面都是直角三角形

B.三棱锥「一48。体积的最大值为1号25

C.异面直线物与的距离为定值

D.当直线PB与平面ABC。所成角最大时，平面出8截四棱锥尸一48CD外接球的截面面积为251一点』

10.函数/（》）=七-|sinx|在（0,+8）上有两个零点内69＜£）,下列说法正确的是（

5兀3兀csinor+sinB

A.尸eT5TB.tan£-cr=--------———

：1+尸

C.tan,+)=D.f（x）在（0,2兀）上有2个极值点占,马（为＜々）且马-士=兀

1-B

11.平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线「丁=2球（？＞0）,焦点为尸，准线为/,顶点为A,则下列说法正确的有:

().

A.抛物线上两点P、G与顶点A为正三角形三顶点，PG与「的对称轴交于N,则AN=6p.

B.过「上两点Q、Q'的切线交于T,作7X，/,直线QQ'与r的对称轴交于N',则TK=2FN'.

c.过「焦点F作三条弦xr,yy',zz',则/2="为二

3△XYZ'%%为'

D.任意作一条直线厂与抛物线相交于氏R（设R在R上方），在直线/'取两点T,T'使得|RT|=|RT'|（设T在R上

方，T'在R下方），分别过T,T'作『的切线，切点为S,S',直线SS'和RR'交于则"为RR'中点.

三、填空题（每题5分，共15分）

12.现要将一边长为101的正方体A8CD-4耳G0,分割成两部分，要求如下：（1）分割截面交正方体各棱&A,BB},

CG，DR于点、P,Q,R,S（可与顶点重合）；（2）线段AP,BQ,CR,OS的长度均为非负整数，且线段AP,BQ,

CR,OS的每一组取值对应一种分割方式，则有种不同的分割方式.（用数字作答）

13.正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条

数都相等，这样的多面体就叫做正多面体.己知正12面体的每个面均为正五边形，棱长为1,则它的体积为

14.已知函数,=9-双的图象上存在四个点4&,%）,过A,的切线为虱i=l,2,3,4,其中/"4），且4,心左。围成的图

形是正方形.贝I。的取值范围为

四、解答题

15.（13分）设a,#e（0,兀），满足。+，＜兀.

（1）证明：若a＞0,则当xe（0,l）时，asin（ax+/3）＞/3sin（/3x+a）.

⑵若存在尤e（0,1）满足sin（cr）-sin（«x+尸）=sin（6）♦sin（6元+a）,证明a=£.

16.（15分）近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算

机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲

率等于2万与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表

示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体

在每个顶点有3个面角，每个面角是TT所以正方体在各顶点的曲率为2万-3xT^T=1TT,故其总曲率为4乃.

⑴求四棱锥的总曲率；

（2）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数

为D,棱数为乙面数为则有：O-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.

17.(15分)设整数a”%，，“2oi91两足1=a1<^2—"<—^2019=99.

f-(^1+々2++.2019)-(4“3+々2&4+〃3〃5++〃2017a2019).

(1)求/的最小值力.

(2)求使旦成立的数组(4％,,%019)的个数•(可用组合数表示)

22

18.(17分)设C为椭圆二+幺=1的左焦点，直线、=辰+1与椭圆交于A,B两点.

84

(1)求|CA|+|CB|的最大值；

(2)若直线>=履+1与x轴、>轴分别交于M,N,且以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在椭圆内部

(包括在边界上)，求实数k的取值范围.

19.(17分)X-t乘积数组是由白俄罗斯LilianaW.Willanovski提出的概念，在量子力学、曲面几何等领域有重要应用。

求最小的实数2,使得小t乘积数组概念如下：对任意的正整数“，可以将其表示成t个正整数之积，即，7=尤/x“

且满足对任意的ie{1,2…t},均有％是素数或者为,则称(xi,X2...xt)为n的；l-t乘积数组.记A(n,2,t)为{a[a=x；,

(xi,X2...xt)为n的二-t乘积数组}

(1)直接写出A{22024,高,2023}中各元素的和；

(2)若对任意正整数n,均存在/l-t乘积数组，求2的最小值。

参考答案:

1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.707504

1315+7日

,-4

14.120,+8)

15.(1)f^x)=asin(ax+/7)-/?sin(；0x+a),

则fr(%)=&cos(ax+P)-B2cos+a),----2分

由于二>p，xe(0,l),

故6ZX+力_(/+夕)=(6/_尸)1_屹_尸)=(6/_2)(%_1)vO,

即ax+P<px+a,

又兀£(0,1),a,pG(0,7t),a+/3<7t,故0<a%+/?<<分+a<兀，

由于V=cos，在彳£(0,兀)上单调递减，故cos(crx+⑶>cos("x+a),

所以/'(x)=a2cos(ax+/3)-伊cos("x+a)>。恒成立，

所以/(x)=asin(ax+月)一月sin("x+a)在%£(0,1)上单调递增，----6分

设g(%)=^^，%£(0,兀)，

%

、xcosx-sinx

则niIg(%)二——1-------，

令/z(x)=xcos尤一sinx,XG(0,K),

贝!!”(九)=cosx-xsinx-cosx=-xsin尤v0在兀£(0,兀)上恒成立,

故/z(x)=xcos九一sin%在工£(。,7i)上单调递减，

故〃(x)</i(O)=O,故g[x)<0,

所以g(x)=出产在尤e(0㈤上单调递减，

,cc,,sinasinB

由于2>/J,。,4£(0,兀)，故----<—T—

ap

即/(0)=asm/3-/3sina>0,

故了(%)>/(。)>。，即asin(a%+4)>(3sin(y0x+a)；----10分

(2)存在x£(。」)满足sin(a)•sin(a九+力)=sin(/7)-sin(/?x+a),

sin(ax+Q)sin/?

即~~T^------7=~一在%£(0,1)上有根，

sin(px+6z)sina

由(1)可得sin附=2与朝2=2等号成立的条件均为a=§

sm(〃x+a)asinaa

故若存在尤£(0,1)满足sin(a)•sin(ax+/7)=sin(0•sin(/?x+a),则有a=f3.——13分

16.(1)四棱锥有5个顶点,4个三角形面,1个凸四边形面，故其总曲率为

2万><5-4><万一2万=4万.----5分

(2)设多面体有M个面，给组成多面体的多边形编号,分别为1,2,…,/号.

设第i号(IViWM)多边形有L;条边.

则多面体共有L=.+4；+4条棱.——7分

由题意，多面体共有。=2-M+L=2-M+I+,：+兄个顶点.——9分

i号多边形的内角之和为"4-2万，故所有多边形的内角之和为万(4+4++LM)-2TTM,——11分

故多面体的总曲率为2加0-[万(£1+£2++〃)-2力W]

=2万(2_加+4+4；+L"[乃(1+濯++L”)-2万M]=4万

所以满足题目要求的多面体的总曲率为4万.一一15分

17.

(1)由题意，/=(q+。；++a浙§)—(%。3+。2。4+。3。5++。2017。2019)，

20172

可得2/=4；+4；+域018+域019+Z("i+2一生)，①----3分

z=l

由于％,。及4+2-4(1=1，2,,2016)均为非负整数，故有a；之如而之出，

且(4+2-4JN4+2-4(i=L2,,2016),

201622016

于是+4+Z(〃i+2-卬)♦.%+“2+£("i+2-"i)="2017+“2018，------6分

z=li=l

由①，②得2/N。2017+。2018+(。2019—a2017)+。2018+。2019'

结合〃2019=99及%oi8—“2017>°，

可知刈7+(99—a2。”)2+域。u+991=(%oi7—49y+7400N7400,-一③一一8分

另一方面，令%=。2==。1920=1，4920+21="1920+2&=左(左=12,49),%019=99,

此时验证，知上述所有不等式均取到等号，从而了的最小值为=7400.——9分

(2)取等时%M7=4oi8=49,且②中的不等式均取等，

即%=%=1,6+2一aif{°，DC=1,2,,2016).

因此1=a1<a?W…<a2oi9=99,且对每个网10后49),%,。2丁，。2018中至少有两项等于％.易验证，知这也是③取等

的充分条件.----11分

对每个网1必*9),设％,“2,，4018等于女的项数为1+4，

则成为正整数，且(1+勺)+(1+%)+…+(1+%9)=2018,

即〃1+〃2++〃49=1969,——13分

该方程的正整数解(4,%，，羯9)的组数为C：；68，

且每组解唯一对应一个使④取等的数组(4,019)，

故使/=为成立的数组)19)有C黑个.一一15分

18.

22_

(1)二+二=1的半长轴a=2五,半短轴6=2,

84

半焦距c=-Ja2-b1=V8-4=2,

离心率6=9=变，----3分

a2

设A(XQJ,3(孙卫)，

联立可得0+2-6=。,

所以占+%=-,----5分

J.।乙K

|CA|-a+exx=2y/2+^xt,\CB\=2y/2+^x2,

贝»CA|+|C卸=4&+变(%+%)=4夜一^^〈4夜+1；——7分

21+2k

(2)依题意可知"(-1，。)，N(0,l),

所以圆的方程为［x+：］x+y(y-l)=0①，垂直平分线为y=与］+〈②,

——9分

VKJk\2kJ2

联立①②消去y,"-卜，

2

即卜+1得*

------11分

4

11

解得一+—

2k2

1111

对应％=一+—%=------十一，

2k222k2

两个交点的坐标为