广东省增城市2021-2022学年高三年级下册联合考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义在R上的奇函数/⑺满足/（—3—x）+〃x—3）=0,若/（1）=1,/（2）=-2,则

/（1）+/（2）+/（3）++/（2020）=（）

A.-1B.0C.1D.2

2.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距

离.已知平面a,B,2两两互相垂直，点Aea,点A到/，/的距离都是3,点尸是a上的动点，满足尸到夕的

距离与尸到点A的距离相等，则点尸的轨迹上的点到£的距离的最小值是（）

A.3-73B.3C.D.-

22

3.如图所示，正方体的棱长为1,线段315上有两个动点E、F且E尸=巫，则下列结论中错误的

2

是（）

A.AC±BEB.EF〃平面

C.三棱锥A-5E尸的体积为定值D.异面直线所成的角为定值

4.已知/为抛物线炉=4丁的准线，抛物线上的点M至I"的距离为d,点P的坐标为（4,1）,贝!）|阴+d的最小值是

（）

A.V17B.4C.2D.1+历

5.已知a=log3、/5,b=ln3,C=2-°99,则的大小关系为（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

6.已知复数z满足z•i=z+i,则=在复平面上对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

8.以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1;②在回归分析中，可用相关指数

心的值判断拟合效果，R2越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1,则

2%+1,2々+1,2退+1,♦,2%+1的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据（石,%）,（乙,%），，（%，为）），其线

性回归方程夕=%+6,贝!1"（九。，阳）满足线性回归方程9=%+是“天=生士气一丛，％=—^~，；

的充要条件；其中真命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

9.已知抛物线C:y2=2p%（p>0）的焦点为尸，过点方的直线/与抛物线。交于A,6两点（设点A位于第一象限）,

过点A,3分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点A，Bi，抛物线。的准线交X轴于点K,若黑=2,则

I4KI

直线/的斜率为

A.1B.72C.2A/2D.

10.已知函数/（x）=cos2x+sin2（x+?］，则/（x）的最小值为（）

A1亚u1「10n1

A•1-|-----B・C.X-------D.1------

2224

11.已知函数/（X）=X2—3X+5,g（x）=ox—lnx,若对Vxe（O,e）,羽e（O,e）且石w々，使得

/（x）=g（xja=l,2）,则实数。的取值范围是（）

（16）F1r11「6「6A

A.一,—B.—,64C.0,—,一,D.一

e）\_eJIe」|_e）Le

12.设x/R,则<27”是“|%|<3"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛

1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场.则目前（五）班已

经参加比赛的场次为.

14.在数列｛4｝中，已知q=L%y,+i=2"(〃eN*),则数列｛4｝的的前2〃+1项和为S2〃+i=.

229

15.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线二-2-=l(a>0)的一条渐近线方程为y=—X,则。=.

a~43

16.已知/Xx)是定义在R上的偶函数，其导函数为/'(x).若%>0时，fXx)<2x,则不等式

/(2x)-于(x-1)>3X2+2X-1的解集是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=ln3r)-a,(a>0).

(1)若函数//(x)=e"(x)在(0,+s)上单调递增，求实数a的值;

(2)定义：若直线/：y=Ax+人与曲线C：/(x,y)=0、C2：力(羽丁)=0都相切，我们称直线/为曲线G、02的公

切线，证明：曲线/(x)=ln(ax)—a,(a>0)与g(x)=ae;(a>0)总存在公切线.

18.(12分)设函数/(x)=|x+l|+|x—24+1.

(1)当4=1时，解不等式/(x)K6；

⑵设a<—g,且当2aWx<—1时，不等式〃x)<2x+6有解，求实数。的取值范围.

19.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若岛=A(sinC+百cosC).

(1)求角3的大小；

TF

(2)若A=1，。为AABC外一点，DB=2,CD=1,求四边形AB0C面积的最大值.

1k

20.(12分)已知函数/'(x)=(x——)lnx,g(x)=x——.

XX

(1)证明：函数/(尤)的极小值点为1;

17

(2)若函数y=/(x)—g(x)在［1,+8)有两个零点，证明：1W左<木.

8

21.(12分)已知在多面体ABCDE尸中，平面CDPE，平面ABCD,且四边形ECDF为正方形，且。C//AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,点尸，。分别是BE,AD的中点.

(1)求证：PQ//平面EEC。；

(2)求平面AEE与平面PC。所成的锐二面角的余弦值.

22.(10分)已知椭圆C：=_+(_=1(。〉6〉0)过点,过坐标原点。作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交

于M,N两点.

(1)证明：当1+9〃取得最小值时，椭圆C的离心率为巫.

2

(2)若椭圆C的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

首先判断出/(%)是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.

【详解】

由已知/(九)为奇函数，得/(-x)=—/(x)，

而/(-3-%)+/(%-3)=0,

所以“X—3)=〃x+3),

所以/(%)=/(%+6),即/(%)的周期为6.

由于/(1)=1,/(2)=-2,/(0)=0,

所以/(3)=/(―3)=-/(3)n〃3)=0,

/(4)=/(-2)=-/(2)=2,

/(5)=/(T=-"I，

/(6)=/(0)=0.

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=0,

X2020=6x336+4,

所以〃1)+〃2)+〃3)++/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

2.D

【解析】

建立平面直角坐标系，将问题转化为点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值，利用P到x轴的距离等于P到点A的

距离得到P点轨迹方程，得到6y=(%-3)2+929,进而得到所求最小值.

如图，原题等价于在直角坐标系中，点4(3,3),P是第一象限内的动点，满足尸到x轴的距离等于点p到点4的

距离，求点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值.

设P(x,y),则y=J(x_34+(y_3)2，化简得：(了—37—6y+9=0,

93

则6y=(%—3)+929,解得：y>-9

3

即点p的轨迹上的点到£的距离的最小值是万.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得

最值.

3.D

【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D.根

据列举特殊情况可证真假.

【详解】

A.因为AC，3。,AC，。。1,BD=D,所以AC,平面台力已与，

又因为BEu平面瓦，所以故正确；

B.因为，旦/AD3,所以EF//DB,且石尸仁平面ABC。，D5u平面ABC。，

所以。//平面ABCD,故正确；

C.因为5-£尸=；*E7^5与=¥为定值，A到平面BOD1用的距离为/,=gAC=等，

所以匕/=:为定值'故正确;

D.当4GBR=E,ACoBD=G,取P为耳，如下图所示:

因为BF//EG,所以异面直线AE,3歹所成角为/AEG,

A/2

2_3，

且/A厂—AG

tan/AEG--

GE

当ACJBR=F,ACoBD=G,取E为2,如下图所示:

Bi

fi

因为D]F//GB,D】F=GB,所以四边形是平行四边形，所以5E//0G,

显

.cAG9A/3

r匚卜I日右吉妞A77RZ7由出右4/.EV-口tanNAEG—-,------------------

J

由此可知：异面直线AE,5尸所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度

较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

4.B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当RM，尸共线时+d取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点厂(0/)，准线y=-l,

过M作MN上1交1于前N,连接FM

|!二

由抛物线定义|刖凶=|阿I=d,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\>PF=7^=4,

当且仅当RM,尸三点共线时，取“=”号，

.•.|上0+4的最小值为4.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

5.A

【解析】

根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.

【详解】

因为logs0<log36=g，

所以a<L

2

因为3>e,

所以b=ln3>lne=l,

因为0>-0.99>-1,y=2"为增函数，

所以!<c=2』99<1

2

所以Z?>c>a,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.

6.A

【解析】

设z=a+4(a,beR),由z-i=z+i得：(a+4)i=a+(b+l)i,由复数相等可得的值，进而求出I，即可得解.

【详解】

设z=a+bi(a,beR),由z-i=z+i得：(a+bi)i-a+(b+l)i,即成一b=a+(b+l)i,

1

—b=a2ii-1111

由复数相等可得：,「解之得：।,则•，所以2=彳+彳，，在复平面对应的点的坐标为q=),

a=b+l,1222222

'b=—

[2

在第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查共朝复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.

7.B

【解析】

人每天走的路程构成公比为g的等比数列，设此人第一天走的路程为％,计算4=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为4的等比数列，设此人第一天走的路程为%,

2

%1”

则1解得="从而可得%=192x—=96,%=192x-=24，故4=96-24=72.

1--

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8.C

【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断，

②根据相关指数R2的值的性质进行判断，

③根据方差关系进行判断，

④根据点（不，%）满足回归直线方程，但点（七,%）不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，

可进行判断.

【详解】

①若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确；

②用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,炉越大,模型的拟合效果越好，故②错误；

x

③若统计数据为,马，尤3，…，n的方差为1,则2%+1,2X2+1,2%+1,…，2xn+1的方差为2-=4，故③正确；

④因为点（%,%）满足回归直线方程，但点（％,%）不一定就是这一组数据的中心点，即9=石+/2一+%,

%="+”°不一定成立,而回归直线必过样本中心点，所以当丁=受+々=%="%

时,点（天,阳）必满足线性回归方程夕=晟+&;因此“（后,%）满足线性回归方程9=晟+&”是

=,%=%+彳；%。，，必要不充分条件.故④错误;所以正确的命题有①③.

故选：C.

【点睛】

本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程,

注意理解每一个量的定义，属于基础题.

9.C

【解析】

根据抛物线定义，可得|AF|=|AA]|,\BF\=ABBX\,

I4K|_|AP|=2,所以黑=匿=2,

又A4t〃尸K〃即，所以

\BtK\\BF\I4KII叫I

设|BB,\=m(m>0),贝！11AA|=2m,贝!!cosAAFx=cosABAA^—一〔":=——1

，IAB|2m+m3

所以sinZAEx=¥，所以直线/的斜率人tanZA网=2点.故选C.

10.C

【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.

【详解】

1—cosI2xH—

由于，/、2.•271l+cos2xI2

J(x)=cosx+sinXH----------------十

422

1cos2xsin2x

=l+---------+------

22

-4sinf2x+?

故其最小值为：l-受.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查利用降塞扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.

ll.D

【解析】

先求出/（九）的值域，再利用导数讨论函数g（x）在区间（0,e）上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范

围即可.

【详解】

因为8(%)=融一加"故g<x)=ax1,

当aWO时，g'(x)<0,故g(x)在区间(O,e)上单调递减；

当a2,时，g'(x)>0,故g(x)在区间(O,e)上单调递增；

当力时，令/(力=0,解得x=:,

故g(x)在区间单调递减，在区间上单调递增.

又g[l=l+/〃a,g(e)=f—l,且当x趋近于零时，g(x)趋近于正无穷；

对函数/(X),当xe(O,e)时，/(x)e?力｝

根据题意，对Vxe(0,e),三石,々e(0,e)且玉w/，使得/(x)=g(%.)(，=1,2)成立，

只需小。<一拓(户5，

即可得1+山a<U,«—125，

4e

「6八

解得。e-,e4.

萍)

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综

合困难题.

12.B

【解析】

先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可

【详解】

解不等式炉<27可得％<3,

解绝对值不等式|x|<3可得-3<x<3,

由于｛x[—3<x<3｝为｛x|x<3｝的子集,

据此可知“d<27”是"Ix|<3"的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.

【详解】

画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场.

【点睛】

本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

14.2"+2-3

【解析】

由已知数列递推式可得数列｛%｝的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到$2”,

再由S2“+i=S2“+的“+l求解.

【详解】

解：由4=1,%.%+]=2"(〃eN*),

得an-l,an=2"1(n..2),

：..=2("..2),

*

则数列｛4｝的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列.

n-1

2方，〃为奇数

a=1,

n一,〃为偶数

+•••+)+(%+〃4+•••+)

S2rl—(%+

=(l+2+22+...+2n-1)+(2+22+...+2n)

1-?n

=3(1+2+2?+...+2〃T)=3•丁/■=3.2〃-3.

•••S2,M=邑.+电=3・2"-3+2"=2"+2-3.

故答案为：2*2-3.

【点睛】

本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题.

15.3

【解析】

22

双曲线的焦点在x轴上，渐近线为y=±—X,结合渐近线方程为y=-x可求a.

a3

【详解】

2222

因为双曲线A-匕=13>0)的渐近线为y=土一x,且一条渐近线方程为y=—x,

a~4a3

所以a=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考

查数学运算的核心素养.

【解析】

构造g(x)=/(x)-x2,先利用定义判断gQ)的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化

/(2x)—/(x—1)>3必+2%—1为g(2x)>g(x—1),结合奇偶性，单调性求解不等式即可.

【详解】

令g(x)=/(尤)—一，则g(x)是R上的偶函数，

g'(x)=/'(x)—2x<0,则g(x)在(0,+8)上递减，于是在(—8,0)上递增.

由/(2%)-于(x—1)〉3/+2x—1得/(2x)—(2x)2>f(x-1)-(%-1)2,

即g(2x)>g(x-l),

于是g(|2x|)>g(|x-l|),

则|2x|<|x-l|,

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)。=1；(2)见解析.

【解析】

(1)求出导数，问题转化为/z(x)..O在(0,+8)上恒成立，利用导数求出°(x)=ln(奴)+!-。的最小值即可求解；

x

(2)分别设切点横坐标为玉,马,利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足

X,——1

<西有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.

X2

)—a-1=ae^-ax2e

【详解】

(1)h(x)=ex[ln(ax)-tz],x>0,

/.〃(x)=ex\\n(ax)+--a]

x

函数/z(x)在(0,+8)上单调递增等价于h(%)..0在(0,+8)上恒成立.

令0(%)=ln(奴)+工一1,得0(元)一~y,

xxxx

所以夕(均在(0,1)单调递减，在(1,y)单调递增，则夕(%)*=。⑴.

因为">0,则”(%)..0在(0,+8)上恒成立等价于0(%)..。在(0,+8)上恒成立；

又^(-)=0,

a

^(-)=。⑴=o，

a

所以2=1,即4=1.

a

(2)设/(%)=111(依)一々,(0>0)的切点横坐标为工=占，则/'(芯)=,

王

切线方程为y-ln(aX])+a=°(x-Xi)...①

西

设g(x)=ae*,(a〉O)的切点横坐标为x=l2，则g'®)=口源,

x

切线方程为y-ae-=ae*(x-x2)...②

一、1

ae2——

若存在玉,々，使①②成为同一条直线，则曲线/(%)与g(%)存在公切线，由①②得王消

X2X2

皿叫)一〃-1=ae-ax2e

去再得一%2—a_1—ae"—

1_^(%-1)-1_2^+1

—2—e%2

ax2+1x2+1

2^+1x2ex+ex+\

令t(x)=ex贝疗⑴=>0

x+1(X+1)2

所以，函数y=«x)在区间(0,+s)上单调递增,

Z(l)-Z(2)<0Bx0e(l,2),使得f(x0)=0

XG(X0,+GO)时总有t(x)>t(x0)=0

又.—+oo时，t(x)+00

=e"(xT)T在(0,+s)上总有解

ax+1

综上，函数/'(幻=ln(ax)-a,(a>0)与g(%)=ae*,(a〉0)总存在公切线.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.

18.(1)[—2,3]；(2)f-2,--1.

【解析】

(1)通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果;

(2)将不等式整理为-a-3Wx,根据能成立思想可知-a-34Xmax，由此构造不等式求得结果.

【详解】

(1)当a=l时，可化为++V5,

2x-l,x>2

|x+l|+|x-2|=<3,-1<x<2

1—2x,x<—1

x>2-l<x<2x<—1_

，由<，解得2<%<3；由<解得—由<〈，解得—2<x<—1.

2x-l<53<5[l-2x<5

综上所述：所以原不等式的解集为［-2,3］.

(2)2a<x<—1,/(x)<2x+6,—x—1+x—2a+l〈2x+6,-a-3<尤，

/(%)42%+6有解，；.一。一3<—1,即a>—2,

又2〃<—1,ci<—

29

实数a的取值范围是，2,-；］.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分

离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.

19.(1)B=-(2)速+2

34

【解析】

I—TC

(1)根据正弦定理化简等式可得tan3=百，即Buy；

(2)根据题意，利用余弦定理可得5。2=5一4cos。，再表示出SAB比=sin。，表示出四边形臬-。，进而可得最

值.

【详解】

(1)=/?(sinC+A/3COSC),由正弦定理得：^3sinA=sinB(sinC+A/3COSC)

在AABC中，sinA=sin+C),则g'sinlB+C)=sin_BsinC+HsinBcosC,

即\/3cosBsinC=sinBsinC,

sinCw0,/.y/3cos3=sin3,即tanB=A/3

jr

Beg,i),；.B=3.

(2)在ABCD中，BD=2,CD=1..BC2=12+22-2xlx2xcosZ)=5-4cosD

77=(小5呜=岁一岛OSD

又A=1,则AABC为等边三角形，5ABe

又SBDC=；xBDxDCxsinD=sinD,

71

SABCD=~~~+sinD—y/3cosD=+2sin(£>-y)-

二当。=包时，四边形ABC。的面积取最大值，最大值为％8+2.

64

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题.

20.(1)见解析(2)见解析

【解析】

⑴利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数y=/(x)—g(x)在［L+8)有两个零点，即方程(尤2—/=—左

在区间［1,+8)有两解，令M%)=(尤2-l)lnx-f通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.

【详解】

解：(1)证明：因为/(力=11+51LX+。—1(%>0)

X

当(0,1)时，lux/0,1H———<Q,

/1(x)<0,

\X/X

所以/(x)在区间(0,1)递减；

当xe(1,+co)时,ln_x>0,1H——>0,1——>0,

XX

所以尸(x)>0,所以/(%)在区间(l,w)递增；

且广⑴=0,所以函数/(%)的极小值点为1

(2)函数y=/(%)-g(x)在口,+<»)有两个零点，

即方程(炉一1)1狙；—9=_上在区间］,+8)有两解,

令/z(x)=(九2-l^lnx-x2,贝()/z'(%)=2xlnx-x-—

x

令0(x)=/f(x)(x21),则夕<%)=21nx+^-+l>0,

x

所以在［L+8)单调递增，

又勿⑴=—2<0,/z,(2)=41n2-1>0

故存在唯一的阴£(1,2),=2mlnm-m-—=0,即——［,

7m22m

所以/z(x)在(1,加)单调递减，在区间(办+6)单调递增，

222

且/z(l)=/z(e)=-1,/z(x)min=h(喻=(加2=(m-1V—H——|-m=-—(m+^y)又因为

122TYlJ21ZTZJ

17

.(1,2)，所以Mx*/一/，

o

方程关于X的方程(尤2-1)Inx-/=—左在［1,+8)有两个零点，

17

由f(x)的图象可知，—，<A(x)min<-k<h(l)=-1,

即14左<u.

8

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性，确定函数的极值,利用二次求导，零点存在性定理确定参数范围，属于难题.

21.(1)证明见解析；⑵1?7

【解析】

(1)构造直线夕。所在平面由面面平行推证线面平行；

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的

余弦值.

【详解】

(1)过点PHLBC交BC于H点,连接Q”,如下图所示：

因为平面CD在，平面ABC。，且交线为CD,

又四边形COEE为正方形，故可得CELCD,

故可得CE_L平面ABC。，又CBu平面ABC。，

故可得CELCB.

在三角形CBE中，因为P为班中点，PH±CB,CE±CB,

故可得PH〃CE,H为CB中点;

又因为四边形ABC。为等腰梯形，”,。是。3,4。的中点，

故可得HQ〃CD；

4HcHQ=H,CDcCE=C,

且P〃,〃Qu平面P〃Q,CD,CEu平面DFEC,

故面PHQ〃面EEOC,

又因为PQu平面「〃Q,

故PQ//面庄C£>.即证.

(2)连接AE,AC,作DM,AB交AB于M点，

由(1)可知CEL平面ABC。，又因为DF//CE,故可得D-，平面ABC。,

则。尸，尸，。C；

又因为AB〃CD,DM±AB,故可得£>MJ_DC

即DM，DC,。/两两垂直，

则分别以DM，DC,DF为x,y,匚轴建立空间直角坐标系。-型，

则DM=y/AD2-AM2=V52-22=V21,

£)(0,0,0),F(0,0,2),£(0,、2,2),

A(0T,—2,0),P3,1,C(0,2,0)

F

7

设面AEE的法向量为加=(羽y,z),则在=(0,2,0),AF=(-421,2,2),

m-FE=02y=0

则=>

m•AF=0-J'21x+2y+2z—0

可取m=(2,0,J^T),

设平面PDC的法向量为〃=(x,y,z),则。。=(0,2,0),DP=

2y=