七年级数学下册压轴题攻略(苏科版)专题07同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方压轴题八种模型全攻略(原卷版+解析)

专题07同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一同底数幂相乘】 1【考点二同底数幂乘法的逆用】 1【考点三已知代数式的值，求式子的值】 2【考点四新定义关于同底数幂的运算】 2【考点五幂的乘方运算】 3【考点六幂的乘方的逆用】 3【考点七积的乘方运算】 4【考点八积的乘方的逆用】 4【过关检测】 5【典型例题】【考点一同底数幂相乘】例题：(2023·江苏南京·七年级期末）计算的结果是___________．【变式训练】1．(2023·湖南郴州·七年级期末）计算：______．2．(2023·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．【考点二同底数幂乘法的逆用】例题：(2023·山西太原·八年级阶段练习）已知，，则的值为______．【变式训练】1．(2023·福建泉州·八年级期中）若，，则＝________．2．(2023·上海市闵行区梅陇中学七年级期中）已知，求_____．【考点三已知代数式的值，求式子的值】例题：(2023·四川雅安·七年级期中）已知，则的值是__________．【变式训练】1．(2023·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期末）若，则m的值是________.2．(2023·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）若a+b+c=3，求的值．【考点四新定义关于同底数幂的运算】例题：(2023·福建·泉州市第六中学八年级期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：____________，____________．(2)记，，．求证：．【变式训练】1．(2023·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．(2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：=_________

．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）2．(2023·福建·厦门市杏南中学八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：______，______，______；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：设，则，即∴，即，∴．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．．【考点五幂的乘方运算】例题：(2023·上海金山·七年级期末）计算：___________．【变式训练】1．(2023·上海市天山第二中学七年级期中）计算：．2．(2023·上海市民办立达中学七年级期中）计算：【考点六幂的乘方的逆用】例题：(2023·福建省福州第十六中学八年级期中）若，，则______．【变式训练】1．(2023·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）若，，则___________2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）若，，则___________．【考点七积的乘方运算】例题：(2023·吉林长春·八年级期中）计算：．【变式训练】1．(2023·上海杨浦·七年级期中）计算：．2．(2023·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）计算(1)；(2)；【考点八积的乘方的逆用】例题：(2023·河北·邯郸市邯山区扬帆初中学校八年级期中）计算：(1)已知，求n的值；(2)已知n是正整数，且，求的值．【变式训练】1．(2023·广西贵港·七年级期中）（1）算一算，再选“<、>或=”填空：①_________；②_________．（2）想一想：____________．（3）利用上述结论，求．2．(2023·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求的值；(2)如果，求的值；(3)若，用含的代数式表示．【过关检测】一、选择题1．(2023·重庆巴蜀中学八年级阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．2．(2023·四川广元·八年级期中）下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，则中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·河北·邯郸市邯山区扬帆初中学校八年级期中）已知，则等于（

）A．36 B．72 C．108 D．244．(2023·上海市静安区教育学院附属学校七年级期中）已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（

）A． B．C． D．5．(2023·吉林·八年级阶段练习）已知，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．二、填空题6．(2023·广西桂林·八年级期中）计算__________．7．(2023·浙江·杭州绿城育华学校模拟预测）计算：______．8．(2023·上海普陀·七年级期中）已知，那么的值是______．9．(2023·广东·广州市第十六中学八年级阶段练习）已知，，则的值是________．10．(2023·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．三、解答题11．(2023·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校八年级期中）计算：(1)；(2)；(3)．12．(2023·全国·八年级专题练习）计算：（1）；（2）（P为正整数）；（3）（n为正整数）．13．(2023·江苏盐城·七年级阶段练习）（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．14．(2023·江苏·江阴市华士实验中学七年级阶段练习）已知n为正整数，且，，(1)求的值；(2)的值；15．(2023·江苏·七年级专题练习）材料：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算：，，；（2）观察（1）中的三个数，猜测：（且，，），并加以证明这个结论；（3）已知：，求和的值（且）．专题07同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一同底数幂相乘】 1【考点二同底数幂乘法的逆用】 2【考点三已知代数式的值，求式子的值】 3【考点四新定义关于同底数幂的运算】 3【考点五幂的乘方运算】 6【考点六幂的乘方的逆用】 7【考点七积的乘方运算】 7【考点八积的乘方的逆用】 8【过关检测】 11【典型例题】【考点一同底数幂相乘】例题：(2023·江苏南京·七年级期末）计算的结果是___________．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：原式＝故答案为：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．【变式训练】1．(2023·湖南郴州·七年级期末）计算：______．【答案】【分析】根据同底数幂相乘法则计算，即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘法则是解题的关键．2．(2023·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．【考点二同底数幂乘法的逆用】例题：(2023·山西太原·八年级阶段练习）已知，，则的值为______．【答案】45【分析】利用同底数幂的相乘法则的逆运算计算即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：45【点睛】本题考查同底数的幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握同底数幂的相乘法则的逆运算．【变式训练】1．(2023·福建泉州·八年级期中）若，，则＝________．【答案】【分析】根据同底数幂的逆运算可进行求解．【详解】解：∵，，∴；故答案为12．【点睛】本题主要考查同底数幂的逆运算，熟练掌握同底数幂的运算是解题的关键．2．(2023·上海市闵行区梅陇中学七年级期中）已知，求_____．【答案】6【分析】根据同底数幂乘法的逆运用，即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运用，熟练掌握同底数幂乘法的逆运用法则是解题的关键．【考点三已知代数式的值，求式子的值】例题：(2023·四川雅安·七年级期中）已知，则的值是__________．【答案】【分析】由可得；然后根据同底数幂的乘法法则代入计算即可【详解】解：由可得：∴故答案为：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、代数式的值；熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．【变式训练】1．(2023·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期末）若，则m的值是________.【答案】4【分析】根据同底数幂乘法法则进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴1+2m+3m＝21解得m＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决此题的关键．2．(2023·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）若a+b+c=3，求的值．【答案】1024【分析】首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将a+b+c=3代入进行计算即可．【详解】解：，∵a+b+c=3，∴原式=1024．【点睛】本题主要考查的是同底数的乘法，将a+b+c=3整体代入是解题的关键．【考点四新定义关于同底数幂的运算】例题：(2023·福建·泉州市第六中学八年级期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：____________，____________．(2)记，，．求证：．【答案】(1)3；4(2)见解析【分析】（1）根据示例要求，直接可求解；（2）根据同底数幂相乘的逆用可求解．（1）解：∵=27，，∴，．故答案为：3；4．（2）解：因为，，，∴，，；∵又∵，∴．【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律．【变式训练】1．(2023·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．(2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：=_________

．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）【答案】(1)2；4；6(2)(3)【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，；（3）由特殊到一般，得出结论：．（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64∴，故答案为：2，4，6；（2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．【点睛】本题是开放性的题目，借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．2．(2023·福建·厦门市杏南中学八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：______，______，______；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：设，则，即∴，即，∴．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．．【答案】(1)2，2，4；(2)见解析．【分析】（1）根据题中规定的新运算结合有理数的乘方求解即可；（2）设，，根据同底数幂的乘法可得，然后结合题中规定的新运算即可证明．【详解】（1）解：∵，，，∴，，，故答案为：2，2，4；（2）解：设，，则，∴，，，∴．【点睛】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．【考点五幂的乘方运算】例题：(2023·上海金山·七年级期末）计算：___________．【答案】【分析】先计算幂的乘方，然后根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法，熟知幂的乘方指数相乘，同底数幂乘法指数相加是解题的关键．【变式训练】1．(2023·上海市天山第二中学七年级期中）计算：．【答案】【分析】先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可．【详解】解：【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题关键是对相应的运算法则的掌握．2．(2023·上海市民办立达中学七年级期中）计算：【答案】【分析】先计算同底数幂的乘法与幂的乘方运算，再合并同类项即可．【详解】解：．【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，合并同类项，掌握“幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．【考点六幂的乘方的逆用】例题：(2023·福建省福州第十六中学八年级期中）若，，则______．【答案】45【分析】利用同底数幂乘法和幂的乘方公式对进行变形成含和的形式，再代入计算即可．【详解】∵，，∴．故答案为：45．【点睛】考查了同底数幂乘法和幂的乘方，解题关键是利用同底数幂乘法和幂的乘方公式对进行变形成含和的形式．【变式训练】1．(2023·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）若，，则___________【答案】135【分析】根据幂的运算法则把变形为，然后把，代入计算即可．【详解】解：，，，故答案为：135．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）若，，则___________．【答案】36【分析】根据逆用同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可求解．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．【考点七积的乘方运算】例题：(2023·吉林长春·八年级期中）计算：．【答案】【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则以及合并同类项法则解答即可．【详解】解：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方和同底数幂的乘法的法则计算．【变式训练】1．(2023·上海杨浦·七年级期中）计算：．【答案】【分析】先算积的乘方，同底数幂的乘法，再算加减法即可求解．【详解】解：原式===．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握积的乘方，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则是关键．2．(2023·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期中）计算(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）由积的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案；（2）由同底数幂乘法，幂的乘方进行化简，然后合并同类项，即可求出答案．【详解】（1）解：；（2）解：；【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．【考点八积的乘方的逆用】例题：(2023·河北·邯郸市邯山区扬帆初中学校八年级期中）计算：(1)已知，求n的值；(2)已知n是正整数，且，求的值．【答案】(1)3；(2)4．【分析】（1）由，得到一元一次方程，即可求解；（2）把变形为，再把代入计算即可．【详解】（1）解：，，解得.（2）解：，当时，原式．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键．【变式训练】1．(2023·广西贵港·七年级期中）（1）算一算，再选“<、>或=”填空：①_________；②_________．（2）想一想：____________．（3）利用上述结论，求．【答案】（1）①=，②=；（2）；（3）8【分析】先计算（1）找到计算规律，然后按照计算规律计算（2）（3）即可【详解】解：（1）①②故答案为：①=，②=（2），故答案为：（3）．【点睛】本题考查规律探究、积的乘方等于乘方的积，根据初步计算积的乘方发现计算规律是解题关键．2．(2023·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求的值；(2)如果，求的值；(3)若，用含的代数式表示．【答案】(1)2(2)3(3)y【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算，得出关于x的等式，进而即可得出结果；（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果；（3）由，可得，把变形为y，代入即可．（1）∴x+3=5，∴x=2；（2）∴∴x+1=4，∴x=3；（3）．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．【过关检测】一、选择题1．(2023·重庆巴蜀中学八年级阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．【详解】解：故选：A．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．2．(2023·四川广元·八年级期中）下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，则中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方，同底数幂的运算，即可计算得出选项．【详解】解：（1），原计算错误，不符合题意；（2），原计算错误，不符合题意；（3），原计算正确，符合题意；（4）若，，则，原计算正确，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方，同底数幂的运算，解题的关键是能熟记法则的内容．3．(2023·河北·邯郸市邯山区扬帆初中学校八年级期中）已知，则等于（

）A．36 B．72 C．108 D．24【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值进行运算．【详解】解：，当时，原式；故选：B．【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．4．(2023·上海市静安区教育学院附属学校七年级期中）已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案．【详解】解：若为奇数，为偶数，则A．，该选项运算错误，不符合题意；B．，该选项运算错误，不符合题意；C．，该选项运算错误，不符合题意；D．，该选项运算正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．5．(2023·吉林·八年级阶段练习）已知，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂的乘方的逆运算，可得，，，即可求解．【详解】解∶，，，∵，∴．故答案为：A【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．二、填空题6．(2023·广西桂林·八年级期中）计算__________．【答案】【分析】根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变，指数相加是解题的关键．7．(2023·浙江·杭州绿城育华学校模拟预测）计算：______．【答案】【分析】利用积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的乘法法则进行运算求值即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．8．(2023·上海普陀·七年级期中）已知，那么的值是______．【答案】【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，之后根据，即可得出答案．【详解】解：，，．故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂乘法，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．9．(2023·广东·广州市第十六中学八年级阶段练习）已知，，则的值是________．【答案】5【分析】根据，可得，再根据同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方运算的逆运用，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴．故答案为：5【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方运算的逆运用．熟练掌握运算法则是解题关键．10．(2023·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．【答案】①②③【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．【详解】解：∵，，．∴，，，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正确；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；④b＝a+1，因此④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③三个，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系．三、解答题11．(2023·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校八年级期中）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可（2）计算各项的幂的乘方即可（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可【详解】（1）（2）（3）【点睛】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解决问题的关键．12．(2023·全国·八年级专题练习）计算：（1）；（2）（P为正整数）；（3）（n为正整数）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先根据乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；（2）先根据乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可；（3）先把32化为的形式，利用乘方的符号法则化简，再利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．【