北师大版八年级数学下册专题01与角平分线有关辅助线的四种做法(原卷版+解析)

专题01与角平分线有关辅助线的四种做法【基础知识点】1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段：2. 在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：3. 构造等腰三角形：类型一、作垂线、分两边例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．【变式训练1】如图所示，，是的中点，平分．（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．【变式训练2】如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（

）A． B． C． D．4【变式训练3】四边形中，，连接．（1）如图1，若平分，求证：．（2）如图2，若，，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．类型二、截线段、构全等例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【变式训练1】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；②如图2，若，求的大小．【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．类型三、角平分线+垂直=等腰例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.【变式训练1】已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.【变式训练2】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．【变式训练3】如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.类型四、角平分线+垂直=等腰例.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【变式训练1】如图，已知，平分，，则（）A.105° B.120° C.130° D.150°【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．【变式训练3】如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.课后训练1．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．2.如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60º，∠BDC=95º，则∠BED的度数是（）A.35° B.70° C.110° D.130°3．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=AD．5．如图，在中，，，，分别平分,，，交于点O．(1)求的度数；(2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由．6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．专题01与角平分线有关辅助线的四种做法【基础知识点】1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段：2. 在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：3. 构造等腰三角形：类型一、作垂线、分两边例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．【答案】5【详解】过D作，，交延长线于F，∵AD平分，，，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【变式训练1】如图所示，，是的中点，平分．（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）8cm.【详解】（1）证明：过点E分别作于F，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD．∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF．在Rt△AEB和Rt△AEF中，，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线，，，，∵∠C=90°∴

，，.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【变式训练2】如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（

）A． B． C． D．4【答案】D【详解】做分别关于的轴对称图形延长交于点，连接，如图：∵是的对称三角形∴

∵∴又∵∴∴∴四边形是正方形设，在中：即：解得：（舍）∴的长为4．【变式训练3】四边形中，，连接．（1）如图1，若平分，求证：．（2）如图2，若，，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，平分，，在与中（HL）即（2）如图，过点作交的延长线于点，过点作，，即（3）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，，四边形是矩形在与中，四边形是正方形设在中在中，类型二、截线段、构全等例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【变式训练1】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；②如图2，若，求的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，，，，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在与中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，∴∠ABD＝∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC＝∠ANB＝90°，∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP＝BD，连接AP．∵CD＝AD＋BD，∴AD＝PD，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．类型三、角平分线+垂直=等腰例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.【答案】详见解析【详解】延长BO，AE并交于F，∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE，∴AE=EF，∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，∴∠2=∠OAF，∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠FOA=90°，∴在△OBD和△OAF中，∴△OBD≌△OAF，∴BD=AF，∵AE=EF，∴BD=2AE．【变式训练1】已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.【答案】见解析.【详解】如图，延长CD交AB于点F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，又AD＝AD∴△ADC≌△ADF(ASA)，∴CD=DF，AC=AF，∵点E是BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE=BF，∵BF=AB-AF=AB-AC，∴DE=(AB-AC)．【变式训练2】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．【答案】【详解】解：延长CG交AB于点E．AG平分，于，，，，∵，为的中点，．故答案为.【变式训练3】如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明：（1）连接DF，∵OF⊥AD，∴∠AEF＝∠AEO＝90°，∵AD平分∠FAO，∴∠FAE＝∠OAE，在△FAE和△OAE中，∴△FAE≌△OAE（ASA），∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，∵AD⊥OF，∴FE＝OE，∴DF＝DO，∴∠DFO＝∠DOF，∵∠AFO＝∠AOF，∴∠AFD＝∠AOB＝90°，∵∠AOB＝90°，AO＝BO，∴∠B＝45°，∴∠FDB＝∠AFO−∠B＝90°−45°＝45°＝∠B，∴BF＝DF，∴OD＝BF；（2）解：在AD上截AM＝OF，连接OM，∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，∴∠OAM＝22.5°，∵OD＝DF，∴∠DFO＝∠DOF，∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，在△AMO和△OFB中，∴△AMO≌△OFB（SAS），∴MO＝BF＝OD，∵OF⊥AD，∴DE＝ME，∴AD−OF＝DM＝2DE．类型四、角平分线+垂直=等腰例.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【答案】12【详解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB∴EB=EG同理可得DF=DC∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案为：12．【变式训练1】如图，已知，平分，，则（）A.105° B.120° C.130° D.150°【答案】B【详解】∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝180−∠CDE＝30°，又∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝30°；∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝180°−60°＝120°．故选B．【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．【答案】13【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵MNlBC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴MO=MB，NO=NC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【变式训练3】如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．课后训练1．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．【答案】【详解】解析：连接，过点作于点，于点，，，，，，，，，．设，则，．．设，则，，，在中，由勾股定理得解得．．2.如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60º，∠BDC=95º，则∠BED的度数是（）A.35° B.70° C.110° D.130°【答案】C【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=95°−60°=35°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABD=70°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠ABC=180°，∴∠BED=180°−70°=110°．故选C．3．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．【答案】证明过程见详解【详解】解：如图所示，过点作的延长线于，∵平分，，∴，为公共边，∴，∴，∵，∵，∴，∴在，中，，∴，∴，∴．3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．【答案】见解析【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE与△