2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（含解析）

2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.集合4={-2,-1,0,1,2},B={2k\k&A},则4nB=()

A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2)

2.已知(2+i)W=5+5i,则|z|=()

A.V-5B.C.S—D.5n

3.设向量1=(2,x+1),b=(x-2,-1)>若五1B，则％=()

A.5B.2C.1D.0

不等式工＞一=的解集为（）

4.Xx-1

A.(0,+8)B.Q+8)C.(0,1)D.(0,i)

5.抛物线y2=2Px过点（1,4石），求焦点（）

A.噌⑼B.(?,0)C.(l，0)D.(|,0)

6.长方体的对角线长为1,表面积为1,有一面为正方形，则其体积为（）

A.CB.CC.CD.C

1082796

7.已知函数f(%)=x3+ax2+%+b在x=1处取得极小值1,则b=()

A.-1B.0C.1D.2

8.已知函数/'（%）=sin（27i%一丁则（）

A.（-4,金上单调递增B.（Y品上单调递增

C.扁上单调递减D.扁,热上单调递增

9.若Iowa?+2x+1)=4,且x>0,则x=()

A.2B.3C.4D.5

10.5人为等差数列的前n项和，59=81,a2=3,则％。=（）

A.2B.11C.15D.19

11.。为原点，「在圆。。-2）2+（＞-1）2=1上，0P与圆C相切，则|0P|=()

A.2B.2y/~lC.<73D.V^4

12.在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为（）

11C15

A.6-7_3-6-

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

13.曲线y=2lnx+/在。1)处切线方程为.

14.若双曲线C焦点在x轴上，渐近线为y=±?x，则C离心率为.

15.已知sin26=—若今<9<兴则tan。=.

16.已知函数/(x)=2*+2-x,则/(x)在区间［一另］的最大值为.

17.在△ABC中，A=2B,a=6,b=4,则cosB=.

18.f(x)为R上奇函数，f(x+4)=f(x),f(l)+f(2)+/(3)+f(4)+f(5)=6,f(—3)

三、解答题(本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题15.0分)

在直三棱柱ABC-ZliBiG中，AB=AC=1,/.CAB=120°.

(1)求直三棱柱ABC-的体积；

(2)求直三棱柱ABC-aB1G的表面积.

20.(本小题15.0分)

已知｛斯｝为等比数列，其前n项和为Sn,S3=21,$6=189.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若勾=(一l)%n,求｛%｝的前n项和

21.(本小题15.0分)

盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3,从中随机取2个球.

(1)求取到2个标有数字1的球的概率；

(2)设X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量X的分布列及数学期望.

22.(本小题15.0分)

已知椭圆l(a>b>0)的离心率为学，直线y=竣。于4B两点，|48|=3，W

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右焦点分别为瓦、F2,过&斜率为1的直线交C于G、H两点，求AF2GH的周长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为集合4={-2,-1,0,1,2},B={2k\keA},

所以B={-4,-2,0,2,4},则ACB={-2,0,2).

故选：D.

由题意得到B={-4,-2,0,2,4},利用集合的交集运算即可求解.

本题考查了集合的交集运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由(2+加=5+53

露=攀

2+i

_(5+5i)(2-0

=(2+0(2-t)

_15+5i

=5

=3+i,

则z=3—i,|z|=V32+(-1)2=<lo-

故选:B.

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共规复数即复数的模的概念得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：•.•向量Z=(2,x+1),K=alh.

a.-b=0>可得2(x-2)+(x+1)x(―1)=0,

x-5.

故选：A.

利用向量垂直的性质直接求解.

本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】C

【解析】解：工〉工，

XX-L

11—1

则广/1=『＞°，解得。＜X＜1，

故原不等式的解集为(0,1).

故选：C.

根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解.

本题主要考查不等式的解法，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：抛物线必=2Px过点C，

则3=2p,解得p=|,

故该抛物线的焦点为《,0).

故选：C.

根据已知条件，先求出p,再结合抛物线焦点的性质，即可求解.

本题主要考查抛物线的性质，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：不妨设长方体底面为正方形，边长为a,高为b,

则底面的对角线为Va?+a?=V-2a,

•••长方体的对角线长为1,表面积为1，

4ab+2a2=1

.（，7a）2+b2=1

•••长方体体积为a2b=詈.

故选：B.

根据己知条件，结合长方体表面积、体积公式，即可求解.

本题主要考查长方体表面积、体积公式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：/(%)=%3+ax2+%+b,

则，(％)=3/+2ax+1,

2

,・•函数f(%)=/+ax+%+/?在％=1处取得极小值1,

•,・£曹+±+"；1，解得｛厂；2,

13+2Q+1=03=1

故/(%)=x3—2x2+%+1,

/'(%)=3x2—4%+1,

令f'(%)=0，解得％=或%=1，

/(X)在(-8,》，在(1,+8)上单调递增，在©,1)上单调递减，

故/(X)在X=1处取得极小值，

故b=l,符合题意.

故选：C.

根据已知条件，对/Q)求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题.

8.【答案】4

【解析】解：/(x)=sin(27rx-1),

令-5+2k兀<2?rx—WJ+2k兀，keZ,解得一嘉+kWxW：+k,k&Z,

乙nzZUZU

当k=0时，-豕

故/(K)在(一9,《)上单调递增.

故选：A.

根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解.

本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题.

9.【答案】B

2

【解析】解：；log2(x+2x+1)=4,

x2+2%+1=16,且x>0,解得x=3.

故选:B.

根据对数式和指数式的互化可得出/+2x-15=0,然后根据x>0解出x的值即可.

本题考查了指数式和对数式的互化，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：设等差数列的公差为d,则：片禽黑=81,解得｛建2^

:.a10=%+9d=1+18=19.

故选：D.

可设公差为d,根据59=81,。2=3即可建立关于%,d的方程组，然后解出%,d的值，然后即

可求出的0的值.

本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了计算能力，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解：。为原点，「在圆。(*-2)2+(7—1)2=1上，OP与圆C相切，

则|OP|=V|OC|2-|PC|2=V5-1=2.

故选：A.

由题意利用勾股定理即可求解.

本题考查了圆的切线长问题，属于基础题.

12.【答案】D

【解析】解：在2、3,5、6中任选2个不同数字，基本事件总数冗=废=6,

其乘积能被3整除a的基本事件有5个，分别为：(2,3),(2,6),(3,5),(3,6),(5,6),

则其乘积能被3整除的概率为

O

故选：D.

根据古典概型的概率公式即可求解.

本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.

13.【答案】y=4%-3

【解析】解：由y=2/nx+/可得y'=：+2x,x>0,

曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=4,

所以所求切线方程为y-1=4(%-1)即y=4x-3.

故答案为：y=4x—3.

利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.

本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：因为双曲线C焦点在x轴上，一条渐近线方程为y=?x，所以5=年

所以双曲线C的离心率为e=；=J1+(92=|.

故答案为：|.

先根据渐近线方程求得,再由e=?=J1+(今2求解.

本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

15.【答案】一3-2/7

【解析】解：•・•J<6V*，且si?i2e=2sin0cos9=一<<0,・,・sin。>0,cosO<0,

443

.<9<当，tCLTlO<-1,

24

1

•・•sin23=2sin9cos9=-

...__Zs_i_nO__co_s_O_____2_t_a_n_0____一1

sin20+cos20tan20+l3'

解得tan。=—3—2A/~^或—3+272(舍).

故答案为：一3—242.

利用二倍角公式得到sin。>0,cosd<0,贝哈<8(号,tan9<-1,利用“1”的代换即可求解.

24

本题考查了三角函数的求值问题，属于中档题.

16.【答案】号

【解析】解：•••f(x)=2才+

f(x)=2xln2-2rm2=ln2(2x-2-x),

令/(x)=o,贝h=o,

.•."X)在H，0)单调递减,在(0币单调递增，

(得)=干，八。)=2,6)=

则/。)在区间(一j的最大值为日I

故答案为：E1.

求导后得到f(x)在［—:,0)单调递减，在(0,点单调递增，由/(一:)=手，/(0)=2,/■(；)=*

比较大小即可求解.

本题考查了利用导数求函数的最值问题，属于中档题.

17.【答案】2

【解析】解：在中，4=28,a=6,6=4,

则^7=~^~R9即6=.t~~p=-T-Z9解得cosB=p

sinAstnBsin2B72sinBcosBsinB4

故答案为：

根据己知条件，结合正弦定理，即可求解.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

18.【答案】6

【解析】解:/(x+4)=/(x),

则函数f(x)的周期为4,

“X)为R上奇函数，

-0)=/(4)=0,

令x=-2,

则/(—2+4)=f(2)=/(-2)=一/2),解得/(2)=0,

令x=-3,

则/(1)=/(-3)=-〃3),

/(1)=/(5)=/(-3),

所以/(I)+/(2)+f(3)+f(4)+”5)=-〃3)+/(2)+7(3)+/(4)+3)=/(-3)=6.

故答案为：6.

根据已知条件，结合奇函数的性质，以及函数的周期性，即可求解.

本题主要考查奇函数的性质，以及函数的周期性，属于基础题.

19.【答案】解：(1)AB=AC=1,AA1=<2,/.CAB=120°,

则直三棱柱48c-&B1C1的体积为SAABC=xgxABxACxsin^CAB=x|x1x

dV~3y/-6

1X—=—；

(2)AB=AC=1,4CAB=120°.

HIWC2=AC2+AB2-248•AC•cosZ.CAB=3,解得BC=y/~3,

故直三棱柱ZBC-4B1G的表面积为2x；xlxlx/+qx(l+l+O)=2，2+<6+

【解析】(1)根据已知条件，结合棱柱的体积公式，即可求求解；

(2)根据已知条件，结合余弦定理，求出BC,再结合棱柱的表面积，即可求解.

本题主要考查棱柱体积、表面积的求解，考查转化能力，属于中档题.

20.【答案】解：⑴♦♦•｛£!“｝为等比数列，其前n项和为治,53=21,56=189.

：•S6H2s3,・••q芋1,

0(l-q3)_

则不一

两式作商得l+q3=9,即q3=8,

♦aq)=189

ki-q

得q=2,%=3,

则an=3x2“T,(nGN).

nn

(2)­••bn=(-l)an=(-l)-3x2吁1,

小、r计bn(-l)rt-3x2n-1_

•••an>2时，2-y=-2,

T--=n--n2

bn-i(-l)-3x2

即｛%｝是公比为一2的等比数列，首项比=-3,

则〃=-3匕啜=-3[1?2力=t+(_2产

1一(一，)3

【解析】(1)利用等比数列的前n项和公式，建立方程组进行求解即可.

(2)求出出工的通项公式，得到｛匕｝是等比数列，利用等比数列的前n项和公式进行求解即可.

本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算，利用方程组法建立方程求出首项和公比

是解决本题的关键，是中档题.

21.【答案】解：(1)取到2个标有数字1的球的概率P=3=/

(2)由题意可知，X所有可能的取值为2,3,4,5,

P(X=2)=学=gP(X=3)=券=P(X=4)券P(X=5)=曜=

J673k7

、ciC4C43C46

故X的分布列为:

X2345

1111

P

633