2019-2020学年人教A版天津市部分区高二第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知空间向量软二(1,-1,0),b=(m,1,-1),若a_Lb则实数加()

A.-2B.-1C.1D.2

1

2.在复平面内，与复数(/是虚数单位)对应的点位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

设则“卜-/|</”是的()

3.xCR,“0VxV2”

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为:

“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的

一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为()

A.20里B.10里C.5里D.2.5里

5.若抛物线/=2px(0>0)的准线经过双曲线号__2^一=］的一个焦点，则°=()

A.2B.10C.V7D.277

1nx

6.已知函数f(x)=F，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)=()

X

11-lnxl-21nx

B.—C・a-D.

Xxx

7.正方体48必-48GN,点£厂分别是能，48的中点，则炉与以所成角的余弦值为

)

1

A.0B.1C.1D.

543

1

8.曲线万在点(1,1)处的切线方程为()

y=x

A.x-2八1=0B.x-y=0C.A+/-2=0D.2x-y-1=0

22

9.设双曲线c：彳91(a〉b〉0)的右焦点为F,点、Q在C的一条渐近线x+x为y=0上,

a"

0为坐标原点，若|相=|阴且的面积为2&,则C的方程为()

x22122

A.B.xy

--y=14~21

10.若函数f(x)=2x-/sin2x+asinx在区间(-8,+oo)上单调递增，则实数a的取值

范围是()

A.(-1,0]B.[0,1)C.(-1,1)D.[-1,1]

二、填空题

11.一是虚数单位，则|芸的值为.

12.已知函数F(x)/(x)为尸(x)的导函数，则f(1)的值为.

13.已知实数a为函数2(x)=xJ3x?的极小值点，则a=.

14.已知'7x6号2],X2-必+1W0”是假命题，则实数加的取值范围为.

22

15.设a>0,b>Q,a-26=1,则(a+4)(b+1)的最小值为

ab

三、解答题

16.已知函数f(x)=A?-a^+b(a,6GR).

(I)若曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程为Jt+y-1=0,求a,6的值；

(II)若a>0,求r(x)的单调区间.

17.如图，在四棱锥P-ABCD*,A4JL平面ABCD,ADA.CD,AD//BG,BG=4,PA=AD=CD

=2,点F为。C的中点.

(I)证明：2厉〃平面PAB；

(II)求直线阳与平面所成角的正弦值.

18.设数列｛aj的前〃项和为S,且等比数列满足6=a-1,&=a,+备，(〃

GN*).

(I)求｛d｝和｛扇的通项公式；

(II)求数列｛a£｝的前"项和.

22

19.已知椭圆C：2;7+^?l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为Y2.

ab4

(I)求。的方程；

(II)设直线/:y=kx交C于A,8两点，点/I在第一象限，4CL*轴，垂足为悬连结

加并延长交C于点M求证：点4在以AV为直径的圆上.

20.已知函数/(x)=cosA+^sinx-1.

(I)若(0,n),求,(x)的极值；

(II)证明：当x£[0,n]时，2sinx-mosx2x.

参考答案

一、选择题

1.已知空间向量Z=(l,-1,o),b=(m,1,-1),若W_LE，则实数()

A.-2B.-1C.1D.2

解：•.•空间向量；=(1,-1,o),b=(m,1,-1),若

・•・[•^=/77-1+0=0,求得实数777=1,

故选：C.

2.在复平面内，与复数；1(一是虚数单位)对应的点位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解.T+i(l+i)(l-i)-2-2211

二复数击■在复平面内对应的点的坐标为：(4，-微)，

位于第四象限.

故选：D.

3.设xGR,则是“0V*V2”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解:|x—V，；解之得:0VxV1,

所以是“0VxV2”的充分不必要条件，

故选：A.

4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：

“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的

一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为()

A.20里B.10里C.5里D.2.5里

解：根据题意，设第一天走金里路，由题意得｛a〃｝是首项为公比为[的等比数列,

(./、a,(1-^7)

则有S=ai(If)=------^—=315,

]_q1」

2

解可得曷=160,

则3»=aiX(/=160X^-=5;

32

故选：C.

5.若抛物线J=2px(p>0)=i的一个焦点,则p=()

A.2B.10C.77D.2A/7

解：抛物线/=2px(p>0)的准线为*=-m

22

双曲线一—匚=1的焦点为(有，0),(-折，0),

43

由题意可得谭=-A

解得。=2

故选：D.

Inx

6.已知函数f(x)=2，f(x)为f(x)的导函数，则f(X)=()

A

lnx11-lnxl-21nx

A.3B.C.3D.3

XXXX

lnx

解：根据题意，函数f(x)

一2，

X

22

其导数f(x)=Qi也,•x-lnx*(x)，x-2x*lnxl-21nx

44-3;

故选：D.

1.正方体4脑-48G4,点£,厂分别是明，48的中点，则用与以所成角的余弦值为

()

A.0B.—C.—D.—

543

解：如图，分别以直线48,AD,>44为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的

棱长为2,则:

F(1,1,2),E(2,0,1),D(0,2,0),4(0,0,2),

.-.EF=(-1,1,1),西=(0,-2,2),

—、EF'DA?

cos<EF，DA,>=二=「；一1=0.

1lEFllDAj

1

8.曲线_万在点（1,1）处的切线方程为（）

y=x

A.x-2yH=0B.x-y=0C.A+y-2=0D.2x-y-1=0

i.-L1

解：由_5,得/=lx2=方.

y-xy2x3x

,•vLi亏

ii

曲线_万在点（1,1）处的切线方程为y-1=3（x-l）,

y=x2

即x-2y+1=0.

故选：4

22

9.设双曲线C：与-勺l（a>b>0）的右焦点为£点户在C的一条渐近线x+后y=0上,

azbz

0为坐标原点，若|%|=|明且△底的面积为2加，则C的方程为（）

c.

63

22

解：双曲线C：25-9=1（@〉1）>0）的右焦点为80为坐标原点，点。在C的一条渐

近线xW^y=O上，

渐近线的斜率为：-返，tanNPOF=叵,所以cosN。炉=£,sinNW=返，

2233

0为坐标原点，若|明=|阴，△处的面积为2&,所以£c2sin（兀-2/P0F）=2&

解得c=加，£=*，c=a+t）,

解得b=&,a=2,

22

所以双曲线方程为：^_y_=1.

42

故选：B.

10.若函数f（x）=2x-/sin2x+asinx在区间（-8,+8）上单调递增，则实数a的取值

范围是（）

A.（-1,0]B.[0,1）C.（-1,1）D.[-1,1]

解：f（x）=2-cos2x+acosx,依题意，2-cos2x+acosx》0对任意xGR恒成立，

**.2COS2X-acosx-3W0对任意xGR都成立，

令t=cosx,te[-1,1],则2F-at-3W0对£W[T,1]恒成立，

./2+a-340钿徨

,解得-1WaW1.

l2-a-3<0

故选：D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11./是虚数单位，则|善|的值为_邛」.

解.|2+i|_|2+i|一122+/_而_715

〔TTLliTTJ1分（_；）2一丁一〒，

故答案为：逗.

12.已知函数式（x）=x%2,/（x）为F（x）的导函数，则f（1）的值为28.

解：根据题意，函数，（x）=寸3,

其导数产（x）=2Jx,则f（1）=2e2,

故答案为：21

13.已知实数a为函数2(x)=r-3必的极小值点，则a=2.

解：f(x)=3，-6x=3x(x-2),

.♦.xVO或x>2时，f(x)>0,函数单调递增，0VxV2时，f(x)<0,函数单调

递减

".x=2是f(x)的极小值点;

又a为f(x)的极小值点；

：.a=2.

故答案为：2

14.已知2],x2-/nx+1W0”是假命题，则实数m的取值范围为m<2.

解：[y,2],X2-M1这0”是假命题，.•.对任意的xG[/,2],

>0恒成立，

/./77<A+—,对任意的xG弓，2]恒成立，

>21x*2=2,当且仅当■即时等号成立,

xVxx

故答案为：m<2.

22

15.设a>0,b>0,a-26=1,则Q+4)(b+D的最2、值为4+2遥.

ab

解：Va>0,6>0,a-26=1,

则，2+4)(b2+l)=a2b2+a2+4b2+4,

abab

=2b).+4ab+4

ab

=amj4--a-b--+--5,

ab

5、L

+4>4+2日

ab

当且仅当必=点时取等号，此时取得最小值4+2娓.

故答案为：4+2遥.

三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知函数尸(x)-a^b(a,b£R).

(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为A+y-1=0,求百，6的值;

(II)若自>0,求尸(%)的单调区间.

解：(/)Vf(x)=x-ax+b9

/.f(x)=3^-lax,

由题意可得，f(1)=1->b=0,f(1)=3-2a=-1,

解可得，a=2,6=1,

(II)若a>0,ff(x)=3x-2ax=3x,

3

当xG(等，400),(-8,0)时，fJ)>0,函数单调递增，

当xG(0,等)时，f(x)<0,函数单调递减，

综上，式(X)的单调增区间.侍，g),(-8,0),减区间(O,冷).

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，.平面ABCD,ADA.CD,AD//BG,BC=4,PA=AD^CD

=2,点£为%的中点.

(I)证明：度〃平面PAB-,

(II)求直线阳与平面"缈所成角的正弦值.

解：(I)证明：\•在四棱锥0-48必中，PAL平面ABCD,ADA.CD,AD//BC,

...以力为原点，过点4作仇?的平行线为x轴，为y轴，4P为z轴，建立空间直角系，

'：BC=4,PA=AD=CD=2,点£■为%的中点.

：.D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,-2,0),/(0,0,0),£

(1,1,D,

DE=G，T,1),AP=(。，。，2),AB=(2,-2,0),

设平面外8的法向量房=(x,y,z),

n*AP=2z=0„,-，八、

则<{__,,取x=1,得门=(1,1,0),

,n*AB=2x-2y=0

vDE-n=0»DPI平面PAB,:.DE〃①函PAB.

(II)解：pg=(2,-2,-2),pc=⑵2,-2),丽=(0,2,-2),

设平面/W的法向量［=(x,y,z),

n*PC=2x+2y-2z=0.〜一小，,、

则—►，取7=1,得门=(°，1，1)，

n*PD=2y-2z=0

设直线用与平面月面所成角的平面角为。，

则sin6回日|_4=逅

|PB|-|nrV12-V2-3-

返

直线用与平面W所成角的正弦值为V

Z

小

芳y

18.设数列｛a.｝的前"项和为£,JLS„=rf,等比数列｛4｝满足6=&-1,仇=24+备，(〃

WN*).

(I)求｛aj和｛扇的通项公式；

(II)求数列｛a£｝的前〃项和.

2

解：(I)S„=n,可得曷=£=1,〃，2时，an=S„-S„.^=rf-(n-1)=2n-1,对"

=1也成立，

则a„=2n-1,"GN*;

等比数列｛4｝的公比设为q,满足打=4-1,4=a+as,

可得&=3-1=2,6,^=7+9=16,解得6=k2,

则4=2";

(II)a也=(2/7-1)•2",

贝”数列】｛a“4｝的前"项和5=1•2+3«2?+5・23+--.+(2〃-1)•2",

2%=1・22+3»23+5«24+-+(2"-1)•2"',

相减可得-7；=2+2(22+23+-+2n)-(2/7-1)•2"'

=2+2.(2/7-1)•2"',

1-2

化简可得T„=6+(2n-3)•2"'.

22

19.已知椭圆C：会且fl(a〉b〉O)的长轴长为4,离心率为Y2.

a2b,2O4

(I)求C的方程；

(II)设直线/:y=版交C于4,8两点，点/在第一象限，4Ux轴，垂足为M连结

储并延长交C于点祇求证：点4在以町为直径的圆上.

【解答】解(I)由题意得：2a=4,e=£=返，d,解得：丁=4,4=2,

a2

22

所以椭圆C的方程：2_廿。=1；

42

22k

(II)联立与椭圆的方程：(1+2Ar2)4=4,所以由题意：A(J--7,,一—,

M1+2kz4i+2k'

,-2-2k,2

B(/-''),:.M(广方,0),

V1+2kzV1+2k9JVl+2kz

k92

，%»=三，直线掰的方程：x=Wy+7-^,代入到椭圆中整理得：

2kVl+2k2

4+2k22.88k2„.