2022-2023学年四川省内江市重点中学高三（上）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省内江市重点中学高三(上)期末数学试卷

(文科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知全集〃={x|-6<x<2},集合4={x|/+2刀一3<0},则CiM=()

A.(-6,2)B.(-3,2)C.(-6,-3)U(1,2)D.(-6,-3]U[1,2)

2.已知z(l+i)=7+5K则5=()

A.6-iB.6+iC.3-2iD.12-i

3.素数对(p,p+2)称为挛生素数，将素数17拆分成n个互不相等的素数之和，其中任选2个

数构成素数对，则为挛生素数的概率为()

A4BlC.；D.l

4.仇章算术少是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日增等尺，

三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致

意思是：“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、

第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？”()

A.28B.32C.35D.42

5.设另是两个向量，则"d=是a\a\=|山,且,〃族”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积为()

A.167rB.207rC.247rD.327r

7.某程序框图如图所示，则输出的S=()

C.85D.260

8.已知直线，1的斜率为-C，直线%的倾斜角为直线k的倾斜角的一半，则直线力的斜率为

()

A.一?B.-孕C.CD.不存在

32

9.我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，

隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数f(x)=

卢丝的图象可能为()

2—cosx

10.函数f(x)=sin(3X+(P)(3＞0,|^|＜方的图象如图所y

示，将函数/(x)的图象向右平移3个单位长度，得到函数g(x)的

图象，贝★)/、，/,

A.g(x)=sin2xI\^/

B.g(%)=cos2x

C.g(x)=sin(2x+刍

D.g(%)=cos(2x+y)

11.设Q=0.2°3,b=log34,c=log45,贝1()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

12.已知函数f(%)的定义域为R,且满足f(1-x)+/(x-l)=0,f(x+8)=/(x),/(l)=1,

f(3)=-l,f(x)=3D'2,给出下列结论：

(|x+o|-1,2<x<4

①a=-1>b=-3；

②f(2023)=1；

③当x6[-4,6]时,/(%)<0的解集为(-2,0)U(2,4)；

④若函数/'(%)的图象与直线y=mx-m在y轴右侧有3个交点，则实数m的取值范围是

(一：,-}n(16-

其中正确结论的个数为()

A.4B.3C.2D.1

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

(x+yS4

13.若实数x,y满足y〈3x,则2x+3y的取值范围是____.

(y>0

14.已知定点A(4,—2)和曲线/+y2=4上的动点B,则线段4B的中点P的轨迹方程为

15.数列｛aj满足即=€N*,其前般项和为S”.若又＜M恒成立，则M的最小

值为.

16.设函数y=/(x)在区间(a,b)上的导函数为/'(x),广。)在区间(a,b)上的导函数为/"(x),

若在区间(a,b)上f"(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间(a<)上为“凸函数”；已知/(%)=

白/一一82在(1,3)上为“凸函数”，则实数m的取值范围是_______.

126z

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

△ABC中，sin27l-sin2B-sin2c=sinBsinC.

⑴求4

(2)若BC=3,求△力BC周长的最大值.

18.(本小题12.0分)

热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y(单位：万元)，得

到以下数据：

月份工678910

旅游收入y1012111220

(1)根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若

可以，求出y关于x之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；

(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填

写2x2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关

联”？

喜欢不喜欢总计

男100

女60

总计110

参考数据：3.162,

注：r与K2的计算结果精确到0.001.参考公式：相关系数「=

J邓8—京)2£之1仇一9)2,

n(ad-bc)2

线性回归方程:y="/其中b=咚:渭，a=y-bx'K2

P(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P(K2>ko)0.0100.0050.001

kq6.6357.87910.828

19.(本小题12.0分)

(文科)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ZBCD为平行四边形,48力£>=45。,4。=1，AB=C，

△P40是正三角形，平面P40平面PBD.

(1)求证：PA1BD-.

(2)求三棱锥P-BCD的体积.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C的方程为捻+'=l(a>b>0),右焦点为尸(，五,0)，且离心率为?.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+y2=匕2。>0)相切.证明：M,N,F三

点共线的充要条件是|MN|=<3.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=^x2—alnxQaGR).

(1)若a=2,求函数f(x)在(1,/(l))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在(1,+8)上为增函数，求a的取值范围；

(3)若a羊0,讨论方程/Xx)=0的解的个数，并说明理由.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点0为

(jy一，十乙sina

极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程是pcos8-2psi?i。+4=0.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)已知P(—4,0),设直线I和曲线C交于Z,B两点，线段48的中点为Q,求|PQ|的值.

23.(本小题12.0分)

已知a,b,c均为正数，且a2+F+4c2=3,证明:

(1)Q4-b4-2c<3；

(2)若匕=2c,+3.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：1.,A={x\x2+2x—3<0}={x|—3<x<1},

全集U={x|-6<x<2},

QuA=(-6,-3]U[1,2).

故选：D.

计算出集合B,由补集的定义即可得出答案.

本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】B

7+5i_(7+5i)(l-i)_12-2t

【解析】解：因为z6-i,

1+i-(l+i)(l-i)-2

所以z=6+i.

故选:B.

根据复数的四则运算和共班复数的概念即可求解.

本题主要考查复数的四则运算和共轨复数的概念，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：17=2+3+5+7其中为挛生素数的情况有2种，分别是{(3,5),(5,7)},总方法数

为戏

21

所以满足条件的所占比例为*=5.

c4°

故选：B.

由己知结合古典概率公式即可求解.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为{a“},

设其每日增加的尺数为d,其前n项和为工,

所以，｛父熬发;叫翁言广;解得，《二，

+。4+。6=15(3%+9d=15=2

所以，她前七日共织布S7=7al+21d=14+21=35尺.

故选：C.

该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为｛。工，进而得［的：&：。3=；再解方程，并计算

前7项和即可.

本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：若苴=3,则“闷=|瓦,且苴〃日成立,即充分性成立,

若G=-%，满足“同=|瓦，且4/片成立，但d=3不成立，即必要性不成立，

即”=即是“同=向，且五〃升'的充分不必要条件,

故选：A.

根据向量相等的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及向量相等的定义

是解决本题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：正四棱锥P-4BCD的外接球的球心在它的高P01上,

记为0,P0=A0=R,P0i=3,00i=3-R,

在孔△401。中，/?2=3+(3-/?)2得/?=2,

，球的表面积S=167r

故选：A.

画出图形，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高POi上，记为0,求出P。］,。。「解出球

的半径，求出球的表面积

本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是利用直角三角形列方程式求解球的半径，是

基础题

7.【答案】C

【解析】解：模拟程序框图的运行过程知，

S=2,k=l,进入循环；

k=2,S=3x2+2=8：

k=3,5=3x8+3=27；

k=4,S=3x27+4=85,

退出循环，输出S=85.

故选：C.

模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出S的值.

本题考查了程序框图的运行问题，是基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由直线%的斜率为一「，设其倾斜角为％,则tan%=—C，

由直线，2的倾斜角为直线。的倾斜角的一半，设直线，2的倾斜角为。2,则2%=。1，tan%=

tan292=­22=(y/~3tan02+l)(tan%-=0>解得t即出=—或由倾

斜角的取值范围为［0,兀)，则

故直线，2的斜率为

故选：C.

根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.

本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关

键，属于常考题.

判断函数的奇偶性和对称性，结合当0<x<1时的函数符号进行排除即可.

【解答】

解：/(一乃=共符=器全=/(乃，则函数/(X)是偶函数，图象关于y轴对称，排除8,C,

当0<x<1时，/(x)>0,排除Q.

故选：A.

10.【答案】A

【解析】解：根据函数的图象：

41234

整理得T=71,

故3=2;

当工=号时，fG)=sin(y+<p)=o，

所以与+W=kn(k6Z),

整理得8=/czr-y(fceZ),

当k=0时，@=*

故/(x)=sin(2x+今，

将函数f(x)的图象向右平移看个单位，

得到g(x)=sin2x.

故选:A.

直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的平移变换的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的关系式的求法，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解:因为a=0.20-3<1,b=log34>1,c=log45>1,

22

因为国3-lg5<(答些产=lxilg15<&贝63=lg4,

2

又br-lna4.Icoq—"4lg5_(Ig4)-lg3lg50

乂b-C-10g34-10g45-----―油7…->0，

所以b>c>a.

故选：D.

由已知结合指数与对数函数的单调性先确定a,b,c的范围，然后结合对数的运算性质比较b,c的

大小即可判断.

本题主要考查了对数函数及指数函数的单调性及对数的运算性质的应用，属于基础题.

12.【答案】C

【解析】解：因为f(l-#)+/(%-1)=0,所以f(—x)=—/(x),

所以函数/(x)为奇函数，/(0)=0.因为+8)=f(x),所以f(x)的周期为8,

又/(I)=-(1+a)2+1=1,所以a+1=0,所以a=-1,/(3)=|3+b|-1=-1,

所以。=一3,故①正确；

因为，f(2023)=f(253x8-l)=f(-l)=_f(l)=_l,故②错误;

易知"X)=2'作出函数f(x)在I%］上的图象，

根据函数/(x)为奇函数，及其周期为8,得到函数/。)在R上的图象，如图所示，

由f(x)的图象知，当％W［—4,6］时,f(x)V0的解集为(一2,0)U(2,4),故③正确;

由题意，知直线y=mx-m=m(x-1)恒过点(1,0),与函数f(%)的图象在y轴右侧有3个交点根

据图象，

可知当m>0时，应有7nx5-7n<l,即znV且同时满足mx-m=f(x),xW[8,10]无解，

即当％G[8,10]时,/(%)=(10—x)(x—8),(10—x)(x—8)=mx—m无解,所以4<0,解得16—

<m<164-6yl~~7，

所以

4

当?n<0时，应有mx3-m>—1,即m>—且同时满足?n%—m=/(%),工€[6,8]无解，

即当％E[6,8]时,/(x)=(x—6)(x—8),(%—5)(%—8)=mt-m无解,所以dV0,

解得—12-2>T35<m<-12+2<35，所以一gVm<-12+2V^5，

综上，16—6V7<771<3或一；<nt<—12+2V35>④)错误.

故选：c.

由f(l)=1,/⑶=—1解出a,b的值可判断①；由周期和奇偶函数的性质计算/(2023)=—1可

判断②；作出函数f(x)在［0,4］上的图象，根据图象可判断③；讨论当m>0和m<0,方程mx-

m=f(x)的解的个数可判断④.

本题考查了分段函数的应用，考查了学生的数形结合思想以及运算转化能力，属于中档题.

13.【答案】［0,11］

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立解得4(1，3)，

令z=2x+3y,作出直线2x+3y=0,

由图可知，当直线2x+3y=0过。时，z有最小值为0,

平移直线直线2x+3y过4时，z有最大值为2xl+3x3=ll.

2x+3y的取值范围是［0,11］.

故答案为：［0,11］.

由约束条件作出可行域，令z=2x+3y,数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得

答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.

14.【答案】(X-2)2+(y+I)2=1

【解析】解：设线段48中点为P(x,y),B(m,n),

2n

则^^=x,7^=y,即m=2x-4,n=2y+2,

因为点B为圆上/+y2=4的点，

所以m2+n2=%

所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,化筒得：(x-2y+(y+1产=1.

故答案为：(x-2)2+(y+I)2=1.

设出P(x,y),B(m,n),表达出m=2x—4,n=2y+2,结合m?+足=%代入即可求出轨迹方

程.

本题主要考查轨迹方程的求解，考查转化能力，属于基础题.

15.【答案】J

O

【解析】解：an=(2n+l)(2n+3)=2(2n+l-2n+3)'

可得其前n项和又+…+焉一2^3)

由，，>0>可得Sn<，，

2n+3n6

Sn<M恒成立，可得M>即M的最小值为1

’66

故答案为：

6

求得弓=“7%”育=1(焉一熹)，由裂项相消求和可得其前几项和Sn，再由不等式的性质

和不等式恒成立思想，可得M的最小值.

本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查不等式恒成立问题解法，考查化筒运算能力，属

于基础题.

16.【答案】［2,+8)

【解析】解：T/(X)=*--1/一5%2,

f'(x)="/—y%2-3x,f"(x)=x2-mx-3,

若/(%)=方4_£4_32在(1,3)为“凸函数”，

则Vx6(1,3),，“(%)=x2—mx—3<0,

即Vxe(1,3),m>—=x-->

XX

o3

设g。)=%-7则g'(%)=i+>o,

g(x)=x在区间(1,3)单调递增，

当x£(1,3)时，g(x)<g(3)=2<m,

.,.实数m的取值范围是[2,+8).

故答案为：[2,+8).

求出f'(x)和尸(乃，结合题意可得Vxe(1,3),/(x)=x2-mx-3<0,将参数m分离，构造函

数求解，即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

17.【答案】解：(1)设AABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,

因为siMa—sin2B-sin2C=sinBsinC,

由正弦定理可得a?-/一c2=加,

即为+c2—a2——be,

由余弦定理可得cos4=止*=_匹=

2bc2bc2

由。V4<7T,可得4=

(2)由题意可得a=3,

又B+C=g,可设-凡。=*+6，

DOOOO

由正弦定理可得泉=焉=肃=2口,

可得b=zCsin©—。)，c=2qsind+8),

oo

则小ABC周长为a+b+c=3+2V_3[sin(^—0)4-sin吟+0)]

=3+2V-3(|cos0—三sin。+；cos8+—sin。)，

=3+2V_3cos0>

当0=0,即B=C建时，△ABC的周长取得最大值3+2门.

【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角恒等变换和三角函数的性质,

考查化简运算能力，属于中档题.

(1)运用正弦定理得到-02-0?=bC,再利用余弦定理可得所求角；

(2)可设B=c=l+e,运用正弦定理和三角恒等变换，将周长转化为关于。

OOOO

的函数，结合余弦函数的性质，可得周长的最大值.

18.【答案】解：(1)由已知得J=6+7+?9+10=8,

-10+12+11+12+20„

y=----------§----------=13,

2

S?=1(Xi-x)=10，2乙(%-y)2=64,%-祖％一分=20,

所以r七0.791.

V10x642XT104

因为|r|«0.791e[0.75,1],

说明y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与％的关系，

设线性回归方程为y=6%+a，

-20

,b=五=2，a=y—hx=13-16=—3，

则y关于X线性回归方程为y=2%-3；

(2)由题可得2x2列联表,

喜欢不喜欢总计

男7030100

女4060100

总计11090200

200x(70x60-40x30)2

K2»18.182>10.828,

100x100x110x90

••.有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”.

【解析】(1)利用相关系数的公式计算出|r|工0.791e[0.75,1],得到y与x的线性相关关系很强,

可用线性回归模型拟合y与x的关系，从而求出瓦初得到线性回归方程;

(2)完善列联表，计算卡方，与10.828比较后得到结论.

本题考查独立性检验相关知识，属于中档题.

19.【答案】证明：(1)由4BAD=45。，AD=1,AB=A/_2>

利用余弦定理，可得：

BD=yJAD2+AB2-2xADxABxcos^BAD

=71+2-2X1Xyj~2X45°=1，

AD2+BD2=AB2,ADLBD,

又由平面PAD_L平面PBC,可得BD_L平面PAO,

又P4u平面PAD,故P4J.BD.

解：(2)由(1)知BD1平面PAD,又BDu平面力BCD,

故平面PAD1平面ABCD.取AD的中点E,连结PE,

由于△PAD是正三角形，故PE1HD.

可知PEJ■平面4BCD,即PE为三棱锥P-BCD的高.

在正△24。中，AD=1,故PE=?.

三棱锥P-BCC的体积：

V=gxS^BCDxPE=gx'xlxlx三=卷

【解析】(1)利用余弦定理，可得BD=1,由勾股定理得AD1BD,由平面PAC_L平面PBD,可得

8。J_平面PAD,由此能证明P4_LBD.

(2)BD1平面P4D,从而平面PAD_L平面4BCD.取4D的中点E,连结PE,则PE为三棱锥P-BCO的

高.由此能出三棱锥P-BCD的体积.

本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中

档题.

20.【答案】解：(1)由题意，椭圆半焦距c=。，且e=£=华，所以a=C，

a3

又心=a2—c2=1,

2

所以椭圆方程为：y+y=l；

(2)证明:由⑴得，曲线为%2+y2=1(%>0),

当直线MN的斜率不存在时，直线MN：%=1,不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设MQi，%),/V(x2,y2).

充分性的证明：设直线MN：y=/ex+b(kb<0)即k%—y+b=0,

由直线MN与曲线/+y2=I。〉。）相切可得「=一1,所以炉=人+1,

y=kx+b,

联

+2_］可得(1+3/c2)%2+6kbx+3b2—3=0,

x2-

3

A=3612b2-4(1+3/c2)(3h2-3)>0,即炉<14-3k2,

所以”】+&二一寻'“】•无2=寓'

所以|MN|=CT启7g+打)2-4X1•XLCTP•J(-偌)2-4•会,

l+3k'

化简得3(1—l)2=0,所以k=±1,

所以C=：。或仁=A,

所以直线MN：y=丫一，至或y=-尤+，1,

所以直线MN过点尸（，克,0），即M，N,F三点共线，充分性成立.

必要性的证明：当M、NF三点共线，可设直线MN：y=k（%—，②即依—y—=0,

\yT2k\1

由直线MN与曲线/+丫2=1。>0）相切，可得了下工=1,解得卜=±1,

联立,2=1（：一¥），整理可得4x2-6Cx+3=0，

[%2+3y2=3

=

显然/>0成立，且X]+X2=V%1,%2*，

所以|MN|=J12+（±1）2.J（%+冷）2-J|-4-^=<3）

所以必要性成立；

所以M,N,尸三点共线的充要条件是|MN|=「.

【解析】（1）由题意可得c的值，再由离心率可得a的值，进而求出b的值，求出椭圆的方程;

（2）分充分性和必要性两种情况讨论，可证得三点共线的充要条件.

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，充要条件的证明方法，属于中档题.

21.【答案】解：(l)a=2时，/(%)=^x2-2lnx,

"f'(x)=x~~'

Afc=f(l)=-l,

又f(l)=

•••函数f(x)在(1)(1))处的切线方程为：

2%+2y-3=0,

(2)函数/'(X)在(1,+8)上为增函数，

则/'(x)=x->。在％e(1,+8)恒成立，

即a<M在xg(1,+8)恒成立，

故a<1,

经检验，符合题意，

•1•a<1；

(3)f(x)=%-2

①a<0时，/'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

.•./■(X)在(0,+8)是增函数，

取血—1,冷=e)，

由/⑴>0,y(el)<o，

得a<0时，方程<乃=0有唯一解,

②a>0时，1(x)=x-?=^Ta)^ra))

・・•/0)在(0,后)递减，在(二,+8)递增