2018-2019学年广东省深圳市坪山区八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市坪山区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把

答案按要求填涂到答题卡相应的位置上.）

1.（3分）（2018•天津）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（)

O

)

A.B.xWlC.x>lD.

3.（3分）（2019春•坪山区期末）如果。>江下列各式中正确的是（）

ab

A.ac>bcB.a-3>Z?-3C.-2a>-2bD.—<T—

22

4.（3分）（2017•宁德一模）不等式组/一1>°的解集在数轴上表示为（）

（4%<8

5.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，△ABC中，AB=AC=IO,平分NBAC交BC

于点。，点E为AC的中点，连接OE,则。E的长为（）

6.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，△£>£■/="是由△ABC经过平移得到的，若NC=80°,

ZA=33°,则（）

A.33°B.80°C.57°D.67°

7.（3分）（2019春•坪山区期末）一个多边形的每一个内角都等于135°,则它的边数是（)

A.6B.8C.10D.12

8.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，在平行四边形ABC。中，CELAB,E为垂足.如

果NA=115°,则()

C.30°D.25°

9.（3分）（2019春•坪山区期末）一次环保知识竞赛共有25道题，每一题答对得4分，答

错或不答都扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少要

答对多少道题？如果设小明答对了x道题，根据题意列式得（）

A.4A--1X(25-x)>85B.4x+lX(25-x)W85

C.4x-IX(25-x)、85D.4x+lX(25-x)>85

10.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，已知△ABC,按以下步骤作图：①分别以B、C

1

为圆心，以大于的长为半径作弧两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D,

连接CD若/B=30°,N4=65°,则N4CD的度数为（）

11.（3分）（2018•郑州一模）如图，已知一次函数Ck,6为常数，且上#0）的图

象与x轴交于点A（3,0）,若正比例函数y=〃?x（〃?为常数，且mWO）的图象与一次函

数的图象相交于点P,且点尸的横坐标为1,则关于x的不等式（4-根）x+6<0的解集

为（）

A.x<\B.x>\C.x<3D.x>3

12.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,8。交于点

AE平分/8AO交BC于点E,且NA£»C=60°,AB=%C,连接OE,下列结论：①N

CA£）=30°；@SABCD=AB'AC-,③。B=AB：@OE=其中成立的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题：（每小题3分，共12分，请把答案写在答题卡相应的位置上,）

13.（3分）（2020•五华县模拟）分解因式：3）2-12=.

14.（3分）（2019春•坪山区期末）分式压导的值为0.则x的值为.

15.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，NAOP=NBOP,PC//OA,PD1OA,若/40B

=45°,PC=6,则尸。的长为.

,B

DA

16.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，NBAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点Q,

DELAB,DFLAC,垂足分别为E、F,AB=6,AC=3,则8E=.

三、解答题：（本大题共7题，其中第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20小题

8分，第21小题8分，第22小题9分，第23小题9分，共52分，）

X—5

17.（6分）（2019•淄博）解不等式——+l>x-3.

2

18.（6分）（2008•武汉）先化简，再求值：^一1）+比U，其中x=2.

19.（6分）（2019春•坪山区期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的

平面直角坐标系，AABC的顶点都在格点上，请解答下列问题

（1）画出将aABC向左平移4个单位长度后得到的图形△AiBiCi,并写出点Ci的坐标；

（2）画出将aABC关于原点。对称的图形282c2,并写出点C2的坐标.

20.（8分）（2019秋•邺城县期末）已知，如图，NC=90°,NB=30°,AO是AABC的

角平分线.

（1）求证：BD=2CD：

（2）若CO=2,求△48。的面积.

21.（8分）（2019春•坪山区期末）某工厂准备购买4、8两种零件，已知A种零件的单价

比B种零件的单价多20元，而用800元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件

的数量相等

（1）求A、8两种零件的单价；

（2）根据需要，工厂准备购买A、8两种零件共200件，工厂购买两种零件的总费用不

超过14700元，求工厂最多购买A种零件多少件？

22.（9分）（2019•滨江区一模）如图1,点C、。是线段A8同侧两点，且AC=BO,ZCAB

=ZDBA,连接BC,AC交于点E.

(1)求证：AE=BE；

(2)如图2,△ABF与△A8D关于直线AB对称，连接EF.

①判断四边形AC8尸的形状，并说明理由；

②若ND4B=30°,AE=5,DE=3,求线段EF的长.

23.(9分)(2019春•坪山区期末)如图1,在平面直角坐标系中，直线厂-g+b与x轴、

y轴相交于A、8两点，动点、C(m,0)在线段OA上，将线段C8绕着点C顺时针旋转

90°得到CD,此时点。恰好落在直线A3上，过点。作轴于点E.

(1)求机和Z?的数量关系；

(2)当帆=1时，如图2,将△88沿x轴正方向平移得CD',当直线B'C

经过点。时，求点8'的坐标及△3CC平移的距离；

(3)在(2)的条件下，直线AB上是否存在一点P,以尸、C、。为顶点的三角形是等

腰直角三角形？若存在，写出满足条件的尸点坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2备用图

2018-2019学年广东省深圳市坪山区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把

答案按要求填涂到答题卡相应的位置上.）

1.（3分）（2018•天津）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）

【考点】R5：中心对称图形.

【专题】1：常规题型.

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：4、是中心对称图形，故本选项正确；

8、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

。、不是中心对称图形，故本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合.

X

2.（3分）（2016•东西湖区模拟）使分式——有意义的x的取值范围是（）

x-1

A.在1B.xWlC.x>\D.xWl

【考点】62：分式有意义的条件.

【分析】分母不为零，分式有意义，依此求解.

【解答】解：由题意得x-IWO,

解得xW1.

故选：D.

【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义=分母为零；

（2）分式有意义=分母不为零；

（3）分式值为零=分子为零且分母不为零.

3.（3分）（2019春•坪山区期末）如果〃>近下列各式中正确的是（)

ab

A.ac>bcB.a-3>/?-3C.-2a>-2bD.—<T—

22

【考点】C2：不等式的性质.

【专题】512：整式.

【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不等式两边都乘以c,c的正负情况不确定，所以ac>6c不一定成

立，故本选项错误；

B、不等式的两边都减去3可得a-3>b-3,故本选项正确；

C、不等式的两边都乘以-2可得-2〃<-26故本选项错误;

D、匕不等式两边都除以2可得:〉3故本选项错误.

22

故选：B.

【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或

式子），不等号的方向不变.

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

4.（3分）（2017•宁德一模）不等式组仔一1>°的解集在数轴上表示为（）

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式x-l>0,得：x>l,

解不等式4XW8,得：xW2,

则不等式组的解集为1VxW2,

故选：C.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，ZiABC中，AB=AC=IO,AO平分NBAC交BC

于点。，点E为AC的中点，连接OE,则OE的长为（）

【考点】KH：等腰三角形的性质；KP：直角三角形斜边上的中线.

【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC,根据直角三角形斜边上的中线的性质即可

求得结论.

【解答】解：；AB=AC=10,AD平分NK4C,

J.BDLDC,

为AC的中点，

.1.DE=1/lC=1xl0=5,

故选：D.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位

线是解决问题的关键.

6.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，△£）£■尸是由△ABC经过平移得到的，若NC=80°,

/A=33°,则（）

A.33°B.80°C.57°D.67°

【考点】K7：三角形内角和定理；Q2：平移的性质.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据平移的性质，得对应角即可得NED尸的度数.

【解答】解：在△ABC中，NA=33°,

二由平移中对应角相等，得/EOF=NA=33°.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平移的性质，解题时，注意运用平移中的对应角相等.

7.（3分）（2019春•坪山区期末）一个多边形的每一个内角都等于135°,则它的边数是（）

A.6B.8C.10D.12

【考点】L3：多边形内角与外角.

【专题】1：常规题型.

【分析】先求出每一个外角的度数，再用360。除即可求出边数.

【解答】解：：多边形的每一个内角都等于135°,

多边形的每一个外角都等于180°735°=45°,

边数〃=360°4-45°=8.

故选：B.

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个内角的度数是关键.

8.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，在平行四边形ABC。中，CELAB,E为垂足.如

果NA=115°,则（）

A.55°B.35°C.30°D.25°

【考点】L5：平行四边形的性质.

【分析】由AD〃BC得到180°-NA,而NA=115°,由此可以求出又CE

-LAB,所以在三角形BCE中利用三角形内角和即可求出NBCE.

【解答】'：AD//BC,

.•./B=180°-ZA=65°,

又CELAB,

：.ZBCE=90°-65°=25°.

故选：D.

【点评】此题主要考查平行四边形的性质和直角三角形的性质.

（3分）（2019春•坪山区期末）一次环保知识竞赛共有25道题，每一题答对得4分，答

错或不答都扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少要

答对多少道题？如果设小明答对了x道题，根据题意列式得（）

A.4x-IX(25-x)>85B.4x+lX(25-x)W85

C.4x-IX（25-x）285D.4x+lX（25-x）>85

【考点】C8：由实际问题抽象出一元一次不等式.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题.

【解答】解：由题意可得，

4x-IX（25-x）285,

故选：C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列

出相应的不等式.

10.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，已知△ABC,按以下步骤作图：①分别以8、C

1

为圆心，以大于aBC的长为半径作弧两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D,

连接CD若/8=30°,NA=65°,则NACO的度数为（）

A.65°B.60°C.55°D.45°

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图一基本作图.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】由作法可知，为垂直平分线，DC=CD,由等腰三角形性质可知N8C0=N

8=30。，再由三角形内角和即可求出NACO度数.

【解答】解：由作法可知，MN为垂直平分线，

：.BD=CD,

AZBCD=ZB=30°,

VZA=65°,

AZACB=180°-ZA-ZB=85°,

：.ZACD=ZACB-ZBCD=S50-30°=55°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出NDC8=NO3C=

30。是解题关键.

11.（3分）（2018•郑州一模）如图,已知一次函数y=fcv+6（k,b为常数,且ZW0）的图

象与x轴交于点A（3,0）,若正比例函数y=〃?x（〃?为常数，且〃?#0）的图象与一次函

数的图象相交于点P,且点P的横坐标为1,则关于x的不等式（&-m）x+6<0的解集

C.x<3D.x>3

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式.

【专题】31：数形结合.

【分析】写出直线>=，以在直线>=代+6上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：当x>l时，kx+b<inx,

所以关于x的不等式（&-，”）x+b<0的解集为x>l.

故选:B.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函

数〉=自+〃的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线），=丘+匕在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

12.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,BD交于点O,

AE平分/54O交BC于点E,且NAZ）C=60°,AB=^BC,连接OE,下列结论：①N

CA£)=30°；©SABCD^AB-AC；③OB=AB：④OE=%C.其中成立的有()

C.①③④D.②③④

【考点】L5：平行四边形的性质.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】由。ABC。中，NAOC=60°,易得△ABE是等边三角形，又由AB=4BC,证

得①NC4Q=30°；继而证得AC.LAB,得②3co=AB・AC；可得OE是三角形的中

位线，证得④OE=^C.

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

.,.NA2C=/ADC=60°,ZBAD=12O°,

平分NBA。，

:.NBAE=NEAD=60°

.♦.△A8E是等边三角形，

：.AE=AB=BE,

1

*：AB=”C,

1

：.AE=郎C,

：.ZBAC=90°,

：.ZCAD=30°,故①正确；

VAC±AB,

•\S^ABCD=AB*AC,故②正确，

*：AB=0B=*BD,

■:BD>BC,

；・ABWOB,故③错误；

\'ZCAD=30°,ZAEB=60°,AD//BC,

・・・NE4c=N4CE=30°,

：.AE=CE,

：.BE=CE9

•：OA=OC,

：.OE=^AB=^BC,故④正确.

故选：B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与

性质.注意证得△ABE是等边三角形，0E是△4BC的中位线是关键.

二、填空题：（每小题3分，共12分，请把答案写在答题卡相应的位置上，）

13.(3分)(2020•五华县模拟)分解因式：3V2-12=3(y+2)(y-2).

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】512：整式.

【分析】先提公因式，在利用平方差公式因式分解.

【解答】解：3y2-12

=3(y2-4)

=3(y+2)(y-2),

故答案为：3(y+2)(y-2).

【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式因式分解的一般步骤是

解题的关键.

14.(3分)(2019春•坪山区期末)分式比金的值为0.则x的值为5.

%+5-----

【考点】63：分式的值为零的条件.

【专题】513：分式.

【分析】分式的值为0的条件是：(1)分子为0;(2)分母不为0.两个条件需同时具备，

缺一不可.据此可以解答本题.

【解答】解：由题意可得仅|-5=0且X+5W0,

解得x=5.

故答案是：5.

【点评】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所

以常以这个知识点来命题.

15.(3分)(2019春•坪山区期末)如图，NAOP=NBOP,PC//OA,PD1.OA,若NA08

=45°,PC=6,则PD的长为3心•

【考点】JA：平行线的性质；KF：角平分线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；552：三角形；554：等腰三角形与直角三角

形.

【分析】过户作PELO8,根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直

角三角形，得出尸石=3或，根据角平分线的性质即可证得PO=PE=3&.

【解答】解：过户作

:NAOP=NBOP,ZAOB=45°,

.*.N4OP=NBOP=22.5°,

'：PC//OA,

；.NOPC=NAOP=22.5°,

/.ZPC£=45°,

...△PCE是等腰直角三角形，

：.PE=苧PC=孝x6=3V2,

VZAOP=ZBOP,PD10A,PEVOB,

:.PD=PE=3y/i,

故答案为3V2.

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质,

求得NPCE=45°是解题的关键.

16.（3分）（2019春•坪山区期末）如图，NZMC的平分线与BC的垂直平分线相交于点Q,

DELAB,DFLAC,垂足分别为E、F,AB=6,AC=3,则BE=1.5.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；KG：线段垂直平分线

的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线：553：图形的全等.

【分析】由AO是NBAC的平分线，DELAB,DFA.AC,得出DF=DE,NF=NDEA

=90°,ZDAF^ZDAE,由A4S证得△AOF丝△△£>£；得出AE=AR由。G是8c的垂

直平分线得出CD=BD,由证得RtACDF公RtABDE,得出BE=CF,则AB=AE+BE

=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,即可得出结果.

【解答】解：・.・AO是N84C的平分线，DEVAB,DF±ACf

:・DF=DE,NF=N£>E4=90°,ZDAF=ZDAE,

(ZDAF=ZDAE

在△4£>/和△AOE中，,4F=4DEA，

VAD=AD

：./\ADF^/\ADE(AAS),

：.AE=AF,

・・・OG是8c的垂直平分线，

:.CD=BD,

在RtZXCD尸和中，幽=吗,

、DF=DE

：.RtACDF^RtABD£(HL),

：.BE=CF,

：.AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,

；AB=6,AC=3,

：.BE=\.5,

故答案为：1.5.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、垂直平分线等知识，熟

练掌握角平分线定义与垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键.

三、解答题：(本大题共7题，其中第17题6分，第18题6分，第19题6分，第2()小题

8分，第21小题8分，第22小题9分，第23小题9分，共52分，)

x—5

17.(6分)(2019•淄博)解不等式石一+l>x-3.

【考点】C6：解一元一次不等式.

【分析】将已知不等式两边同乘以2,然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不

等式的解集.

x—5

【解答】解：—+l>x-3

去分母得，x-5+2>2x-6,

移项得，x-2x>-6+5-2,

合并同类项得，-x>-3,

解得x<3.

【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数

或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不

变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

18.（6分）（2008•武汉）先化简，再求值：（&咨—1）+尤U，其中x=2.

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题.

【分析】先把分式化简，再将x的值代入求解.

【解答】解：原式=『.鬲『=磊；

当x=2时，

原式=）

【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键.分式先

化简再求值的问题，难度不大.

19.（6分）（2019春•坪山区期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的

平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题

（1）画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△481。，并写出点。的坐标；

（2）画出将△ABC关于原点。对称的图形282c2,并写出点C2的坐标.

“

【考点】Q4：作图-平移变换；R8：作图-旋转变换.

【专题】13：作图题.

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点Ai、Bi、。的坐标，然后描点即可；

（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写点A、B、C的对应点A2、m、C2的坐标，然

后描点即可得到△4282C2.

【解答】解：（1）如图，△AIBICI为所作，点C1的坐标为（-1,2）；

(2)如图，4A282c2为所作，点C2的坐标为(-3,-2).

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转

角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，

找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了平移变换.

20.(8分)(2019秋•邺城县期末)已知，如图，NC=90°,ZB=30°,40是△48C的

角平分线.

(1)求证：BD=2CD；

(2)若CQ=2,求的面积.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】(1)过力作于E,依据角平分线的性质，即可得到。E=C。，再根据

含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；

(2)依据AZ)=B£>=2c£)=4,即可得到RtZ\AC£>中，AC=7AB2-C"=26,再根据

△AB。的面积=1XBOX4C进行计算即可.

【解答】解：(1)如图，过。作。于E,

VZC=90°,4。是△ABC的角平分线，

：.DE=CD,

又；NB=30°,

，为△4犯中，DE=%D,

：.BD=2DE=2CD；

(2)VZC=90°,ZB=30°,AD是△A5C的角平分线,

・・・NA4Q=N8=30°，

：.AD=BD=2CD=4f

：.RtZXACO中,AC=y/AB2-CD2=2亚

11

AABD的面积为-XBDXAC=4X4X2V3=4A/3.

22

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，利用角平分线的的性

质是解决问题的关键.

21.（8分）（2019春•坪山区期末）某工厂准备购买A、8两种零件，已知4种零件的单价

比B种零件的单价多20元，而用800元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件

的数量相等

（1）求4、8两种零件的单价；

（2）根据需要，工厂准备购买4、B两种零件共200件，工厂购买两种零件的总费用不

超过14700元，求工厂最多购买A种零件多少件？

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）设4种零件的单价是x元，则B种零件的单价是（x-20）元，根据“用

800元购买A种零件的数量和用600元购买8种零件的数量相等”列出方程并解答：

（2）设购买A种零件。件，则购买8种零件（200-a）件，根据“购买两种零件的总费

用不超过14700元”列出不等式并解答.

【解答】解：（1）设A种零件的单价是x元，则8种零件的单价是（x-20）元，

依题意得：-

解得K=80.

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意.

则x-20=80-20=60（元）

答：A种零件的单价是80元，则3种零件的单价是60元;

（2）设购买A种零件〃件，则购买B种零件（200-a）件，

依题意得：80a+60（200-a）04700.

解得aW135

答：工厂最多购买A种零件135件.

【点评】考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量

关系是解决问题的关键.

22.（9分）（2019•滨江区一模）如图1,点C、。是线段A8同侧两点，且AC=B。，NCAB

=NDBA,连接BC,交于点E.

（1）求证：AE=BE；

（2）如图2,ZXAB尸与△43。关于直线AB对称，连接EF.

①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；

②若ND4B=30°,AE=5,DE=3,求线段£尸的长.

【考点】KY：三角形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）利用SAS证△ABC丝△54。可得.

（2）①根据题意知：AC=BD=BF,并由内错角相等可得4c〃8凡所以由一组对边平

行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；

②如图2,作辅助线，证明△AO尸是等边三角形，得AQ=AF=3+5=8,根据等腰三角

形三线合一得AM=£>M=4,最后利用勾股定理可得和EF的长.

【解答】（1）证明：在AABC和△8AO中，

AC=BD

；“AB=乙DBA,

.AB=BA

/XABC^/XBAD(SAS),

：.ZCBA^ZDAB,

：.AE=BE-,

(2)解：①四边形ACB尸为平行四边形；

理由是：由对称得：△DABdfAB,

NABD=ZABF=ZCAB,BD=BF,

：.AC//BF,

；AC=B£)=B尸，

/.四边形ACBF为平行四边形；

②如图2,过F作FM_LA。于M,连接。F,

,：/\DAB^/\FAB,

：.ZFAB=ZDAB=30°,AD=AF,

...△AQF是等边三角形，

：.AD=AF=3+5=S,

'CFMLAD,

：.AM=DM=4,

"：DE=3,

：.ME=\,

中，由勾股定理得：FM=>JAF2-AM2=V82-42=4V3,

【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质

和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键.

23.（9分）（2019春•坪山区期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线产-3+b与x轴、

y轴相交于A、8两点，动点C（tn,0）在线段。4上，将线段CB绕着点C顺时针旋转

90°得到CZ）,此时点。恰好落在直线AB上，过点。作轴于点E.

(1)求〃?和人的数量关系；

(2)当,"=1时，如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B'CD',当直线8'C

经过点。时，求点夕的坐标及△BCO平移的距离：

(3)在(2)的条件下，直线AB上是否存在一点P,以P、C、。为顶点的三角形是等

腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】FI：一次函数综合题.

【专题】533：一次函数及其应用；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；

558：平移、旋转与对称.

【分析】(1)易证△BOC丝△CED,可得BO=CE=b,DE=OC=m,可得点。坐标，

代入解析式可求m和b的数量关系；

(2)首先求出点。的坐标，再求出直线B'C的解析式，求出点C'的坐标即可解决

问题；

(3)分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可求点尸坐标.

【解答】解：(1)直线与y轴相交于8点，

：.B(0,b)

：.OB=b,

•:点C（加，0）

**•OC=m

ZBCO+ZECD=90°,ZBCO+ZOBC=90°,

：.ZOBC=ZECD.

在△03。和△ECO中，

（ZOBC=NECD

\BC=CD

（匕BOC=乙DEC=90°

.♦.△OBC也△EC£>(AAS)

:.BO=CE=b,DE—OC—ttit

点D(b+m,tn)

1

m=-(b+m)+b

:,b=3m

(2)•:m=l,

:・b=3,点C(1,0),点D(4,1)

,直线AB解析式为：y=—^x+3

设直线3C解析式为：y=ax+3,且过(1,0)

：.0=a+3

*.a--3

・,・直线BC的解析式为y=-3x+3,

设直线8'C的解析式为y=-3x+c,把。(4,1)代入得到c=13,

・・・直线8,C的解析式为y=-3x+13,

当y=3时，x=学

当y=0时，工=竽

・CC'~—

10

，△BCD平移的距离是三个单位.

(3)当NPC£>=90°,PC=C。时，点P与点8重合,

...点P(0,3)

"：BC=CD,ZBCD=90°,ZCPD=90°

：.BP=PD

点尸是80的中点，且点8（0,3）,点。（4,1）

.•.点P（2,2）

综上所述，点尸为（0,3）或（2,2）时，以P、C、。为顶点的三角形是等腰直角三角

形.

【点评】本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、

待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思

想思考问题，学会用平移性质解决问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

2.分式有意义的条件

（1）分式有意义的条件是分母不等于零.

（2）分式无意义的条件是分母等于零.

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号.

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号.

3.分式的值为零的条件

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

注意：“分母不为零”这个条件不能少.

4.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

5.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整，

要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间：工作量问题：工作效率

=工作量工作时间

等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能

力.

6.不等式的性质

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不

变，即：

若a>b,那么a土机>6土机；

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

若a>b,且，*>0,那么或一>一；

mm

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

ab

若a>b,且m<0,那么am<bm或一<一；

mm

（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不

变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才

改变.

【规律方法】

1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一

定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母

是否大于0进行分类讨论.

2.不等式的传递性：若a>b,b>c,则〃>c.

7.在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，

若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为x>a,其验证方法可以先将。代入原不等式，则两边相等，其

次在x>a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.

8.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；

④合并同类项；⑤化系数为1.

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向，其他

都不会改变不等号方向.

注意：符号和分别比和各多了一层相等的含义，它们是不等号与

等号合写形式.

9.由实际问题抽象出一元一次不等式

用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、

是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号.

因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系.

10.一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

11.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找：大大小小找不到.

12.一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=fcr+方的值大于（或小于）0的自变量x的取值范

围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=fcv+8在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

（2）用画函数图象的方法解不等式区+6>0（或<0）

对应一次函数）'=h+6,它与x轴交点为（-辛,0）.

当2>0时，不等式"+b>0的解为：X〉不等式fcx+bVO的解为：xV—'；

ftrC

当上<0,不等式丘+匕>0的解为：x<-p不等式fcv+〃<0的解为：X>-^.

KK

13.一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前

面范围内的前提下求出最值.

（3）用函数图象解决实际问题

从己知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

14.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.