学易试题君之单元测试君2023-2024学年高一下数学期末达标检测试题含解析

学易试题君之单元测试君2023-2024学年高一下数学期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A． B． C． D．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．3．已知函数,若存在，且，使成立，则以下对实数的推述正确的是（）A． B． C． D．4．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则a和m的值不可以是下列四个选项中的哪组（）A．a=810,m=17 B．a=450,m=14C．a=720,m=16 D．a=360,m=125．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．在中，角的对边分别为，若，则形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影为A．1 B． C． D．8．已知圆，直线，点在直线上．若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是A． B． C． D．9．对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知，满足，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)______12．若关于x的不等式的解集是，则_________.13．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为_____.14．已知等比数列的前项和为，，则的值是__________.15．已知，则的值为________．16．某单位共有200名职工参加了50公里徒步活动，其中青年职工与老年职工的人数比为，中年职工有24人，现采取分层抽样的方法抽取50人参加对本次活动满意度的调查，那么应抽取老年职工的人数为________人.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（且）.（1）若，求的值；（2）若没有实数根，求的取值范围.18．已知.（1）当时，求数列前n项和；（用和n表示）；（2）求.19．已知向量是夹角为的单位向量，，（1）求；（2）当m为何值时，与平行？20．已知直线l：(a-2)y=(3a-1)x-1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点；（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线l的方程．21．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，S6＝.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.2、B【解析】

由平行线间的距离公式求出圆的直径，然后设出圆心，由点到两条切线的距离都等于半径，求出,即可求得圆的方程.【详解】因为两条直线与平行,所以它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以.设圆心坐标为,则点到两条切线的距离都等于半径,所以,,解得,故圆心为,所以圆的标准方程为.故选：.【点睛】本题主要考查求解圆的方程,同时又进一步考查了直线与圆的位置关系,圆的切线性质等.本题也注重考查审题能力,分析问题和解决问题的能力.难度较易.3、A【解析】

先根据的图象性质，推得函数的单调区间，再依据条件分析求解．【详解】解：是把的图象中轴下方的部分对称到轴上方，函数在上递减；在上递增．函数的图象可由的图象向右平移1个单位而得，在，上递减，在，上递增，若存在，，，，使成立，故选：．【点睛】本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移．图象可由的图象向左、向右平移个单位得到，属于基础题.4、B【解析】

根据分层抽样的规律，计算a和m的关系为：8+a【详解】某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,样本中的中年人为6人，则老年人为：180×6540=22+6+代入选项计算，B不符合故答案为B【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.5、D【解析】

由线面平行的判定定理即可判断A；由线面垂直的判定定理可判断B；由面面垂直的性质可判断C；由空间中垂直于同一条直线的两平面平行可判断D.【详解】对于A选项，加上条件“”结论才成立；对于B选项，加上条件“直线和相交”结论才成立；对于C选项，加上条件“”结论才成立.故选：D【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及线面平行的判定、线面垂直的判定、面面垂直的性质，属于基础题.6、D【解析】

由，利用正弦定理化简可得sin2A＝sin2B，由此可得结论．【详解】∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝，∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形故选D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.7、D【解析】

先由题中条件，求出向量的数量积，再由向量数量积的几何意义，即可求出投影.【详解】因为，，所以，所以，故向量在向量方向上的投影为.故选D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.8、B【解析】

根据条件若存在圆C上的点Q,使得为坐标原点),等价即可,求出不等式的解集即可得到的范围【详解】圆O外有一点P,圆上有一动点Q,在PQ与圆相切时取得最大值.

如果OP变长,那么可以获得的最大值将变小.可以得知,当,且PQ与圆相切时,,

而当时,Q在圆上任意移动,存在恒成立.

因此满足,就能保证一定存在点Q,使得,否则,这样的点Q是不存在的，

点在直线上,,即

,

,

计算得出,,

的取值范围是，

故选B.考点：正弦定理、直线与圆的位置关系.9、A【解析】

时，恒成立.时，原不等式等价于.由的最小值是2，可得，即.选A.10、A【解析】

根据对数的化简公式得到,由指数的运算公式得到=，由对数的性质得到>0,，进而得到结果.【详解】已知,=,>0,进而得到.故答案为A.【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①④⑤【解析】为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方体ABCD－A1B1C1D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l(即AC1)的垂面．对比图①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBlDl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．对比图③，由MP与面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．综合得本题的答案为①④⑤．解法2如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面MNP．在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面MNP．在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面MNP．在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．至此，得①④⑤为本题答案．12、－14【解析】

由不等式的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出的值，从而可得结果.【详解】不等式的解集是，所以对应方程的实数根为和，且，由根与系数的关系得，解得，，故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.13、1.【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．【详解】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是，，，在中满足的最大值是点，代入得最大值等于1．故答案为：1．【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14、1【解析】

根据等比数列前项和公式，由可得，通过化简可得，代入的值即可得结果.【详解】∵，∴，显然，∴，∴，∴，∴，故答案为1．【点睛】本题主要考查等比数列的前项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题．15、【解析】

由题意利用诱导公式求得的值，可得要求式子的值．【详解】，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．16、4【解析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.【详解】青年职工与老年职工的人数比为，中年职工有24人，故老年职工为，故应抽取老年职工的人数为.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样的相关计算，意在考查学生的计算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）由可构造方程求得结果；（2）根据一元二次方程无实根可知，解不等式求得结果.【详解】（1）（2）由题意知：无实数根，解得：或的取值范围为【点睛】本题考查根据函数值求解参数值、根据一元二次方程无实根求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解问题，属于基础题.18、（1）时，时，；（2）；【解析】

（1）当时，求出，再利用错位相减法，求出的前项和；（2）求出的表达式，对，的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当时，可得，当时，得到，所以，当时，所以，两边同乘得上式减去下式得，所以所以综上所述，时，；时，.（2）由（1）可知当时，则；当时，则若，若，所以综上所述.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.19、（1）1；（2）﹣6【解析】

（1）利用单位向量的定义，直接运算即可；（2）利用，有，得出，然后列方程求解即可【详解】解：（1）；（2）当，则存在实数使，所以不共线，得，【点睛】本题考查向量平行的定义，注意列方程运算即可，属于简单题20、（1）15，【解析】

（1）直线l方程可整理为：a3x-y+-x+2y-1=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；

（2）由题意可得a的范围，分别令【详解】（1）直线l方程可整理为：a3x-y联立3x-y=0-x+2y-1=0，解得x=∴直线恒过定