部编《函数的零点与方程的解》教学设计

《4.5.1函数的零点与方程的解》教学设计内容与内容解析内容函数零点的概念和函数零点存在性定理。内容解析为了突出函数应用的广泛性，加强函数与其他学科知识的联系性，本节在函数应用(一)的基础上，进一步从两方面展开函数应用，安排了函数的在学科内外的应用。本小节是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，为了建立求方程近似解的理论依据，研究从函数特征判断方程实数解的存在性。因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。教科书按照“函数零点的概念——函数零点存在定理——应用函数零点存在定理和函数性质判定方程的解”的路径展开，这样可以帮助学生能够更好地从函数的观点认识方程。教科书先通过一个“思考”，从研究不能用公式求解的方程(如lnx+2x-6=0)出发，在二次函数零点的基础上，直接引出一般函数零点的概念；再通过二次函数零点存在的特征，导出一般函数零点存在定理，并用例1说明函数零点存在定理的应用.这种从特殊到一般的抽象概括过程，易于学生接受。与上一版教科书相比，本版教科书将零点概念前移，将原来“方程的根与函数的零点”的顺序调整为“函数的零点与方程的解”，并给出“函数零点存在定理”的名称，同时调整了例题要求。这种处理加强了该内容作为数学内部应用的定位，突出了函数的核心地位，并将重心放在应用函数性质研究方程的解上。在本小节内容教学中，既要体现指数函数和对数函数的应用，又要体现函数性质的应用；既要利用函数的局部性质分析其整体性质，注重用函数特征来判定方程解的存在，又要体现用函数观点研究方程解的基本方法，突出函数零点与方程解的有机联系。通过函数的应用，突出数学运算素养。基于此分析，将本小节的教学重点定为函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用。二、目标和目标解析（1）通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（2）通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．（3）在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。在“导出定理”环节，实际上，是一个数形结合、将形转化为数的过程。其中，“函数图象与x轴的关系”不仅是“有公共点”，更重要的是“穿过”x轴.在“图象连续不断”的条件下，把“图象穿过x轴”（形）用“函数的取值规律”（数)来表达，就是“两侧端点的函数值异号”，即。在以往的学习中，学生很少接触这样的刻画方法，因此对于学生而言有难度。四、教学策略分析在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台．在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣。五、教学过程设计（一）引入我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实根就是相应二次函数的零点.（二）零点的定义问题：怎样定义函数的零点呢？函数的零点：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．（三）方程、函数、图象的关系问题1判断下列方程根的个数，并求解。（1）QUOTE（2）QUOTE问题2分别作出下列函数的图形，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？QUOTE（2）QUOTE结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，也就是其图象与轴交点的横坐标。设计意图：问题1与问题2旨在让学生观察分析得到方程的根就是对应函数与x轴的交点的横坐标，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。教学过程中教师初步提出零点的概念，让学生理解零点是连接函数与方程的结点。问题3对于方程与函数是否也有类似的结论呢？设计意图：从问题1、2到问题3，由特殊到一般，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供了思考、创造、表现和成功的舞台．教学过程中，教师利用几何画板动态演示，让学生从动态的角度体会方程的根与函数的零点之间的关系，引出函数零点的定义．同时也能培养学生的归纳概括能力．方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．练习：求下面函数的零点．（1）（2）（3）QUOTE设计意图：此环节的设置，是因为我在以前的教学过程中发现，学生经常将零点写成坐标点的形式，通过学生对这一环节的解决，加上老师及时进行点评和纠正，让学生从错误中加深对零点定义的理解．通过此环节，可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标。合作探究，揭示定理问题：你学过哪些初等函数？它们的零点情况是怎样的？一次函数有1个零点；二次函数的零点个数由判别式决定，时，两个零点，时，一个零点，时，没有零点；反比例函数、指数函数没有零点；对数函数有一个零点；幂函数的零点个数由决定，时，无零点，时，有一个零点。问题：满足什么条件的函数有零点？以二次函数为例，发现在零点-1和3附近，（1）图象连续不断；（2）图象穿过轴，即，有零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．设计意图：有特殊到一般，有具体到抽象，揭示出零点存在性定理。（五）概念深化 函数y=f(x)在区间[a,b]上连续可不可以不要？函数y=f(x)在区间上连续且f(a)f(b)>0,则f(x)在（a,b）一定无零点吗？函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且在（a,b）有零点，一定有f(a)f(b)<0吗？函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0，则f(x)一定只有一个零点吗？什么条件下只有一个零点？函数y=f(x)在区间[a,b]上连续能改成在（a,b）上连续吗？师生活动：学生分组讨论，加深定理的理解。设计意图：强化定理的理解。（六）定理应用例1.已知函数，此函数是否有零点？有几个？试确定零点所在的区间？解：的定义域为，且连续不断由零点存在性定理知，函数在区间（2,3）内至少有一个零点。又函数在上是增函数，只有一个零点，零点在区间（2,3）内师生活动：学生先自主探究，然后老师点评。设计意图:学生在探索交流过程中，可能出现把函数化归成两个初等函数的图象，通过图象交点个数解决原函数零点的个数，也可能利用绘制原函数的图像及单调性求解零点个数。教师选择有代表性的探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，以及分析出现上述多种可能结果的原因，达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，突破了难点。例2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064则函数f(x)有零点的区间个数至少是()A.1个B.2个C.3个D.4个设计意图：立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力，使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点。（七）课堂小结1.零点的定义2.函数的零点与相应方程的实根，及