2023-2024学年福建省高考模拟卷数学试题含解析

2023-2024学年福建省高考卷数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

、5

1.二项式-X2的展开式中，常数项为（)

7

A.-80B.80C.-160D.160

2.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）

2222C

3.已知椭圆G的方程\+==1,双曲线C的方程为与-4=1,G和的离心率之积为火，则

a2b2a2b-2

C2的渐近线方程为（）

A.x±V2y=0B.72x±y=0C.x+2y=0D.2x±y=0

函数y=21

4.在［-6,6］的图像大致为

-2X+2T

5.若向量a=(1,5)]=(一2,1),则q・(a+2Z?)=()

A.30B.31C.32D.33

)

7.已知定义在R上的函数/(x)满足/(%)=/(—%),且在(0,+8)上是增函数，不等式〃改+2)<〃-1)对于

恒成立，则。的取值范围是

A.-力B.C.4°D.[0,1]

8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦

九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的

值为2,则输出的u值为()

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2n+2D.9x2n-2

9.己知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,准线为I,氤M,N分别在抛物线C上，且“歹+3人下=0,直线

交/于点P,NN'±l,垂足为N',若尸的面积为246,则P至心的距离为（）

A.12B.10C.8D.6

10.已知函数“X）是R上的偶函数，且当xe[O,a）时，函数/（X）是单调递减函数，则/（1,25）,

f（log53）的大小关系是（）

A.flog311</(log53)</(log25)B.flog311</(log25)</(log53)

、(、

c./(log53)</10g31|</(log25)

D./(log25)</log3-</(log53)

\3J

x-y>Q

11.已知X,y满足约束条件<x+y<2,则z=2x+y的最大值为

y>0

A.1B.2C.3D.4

22

12.已知双曲线C:^-与=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为《，K,点尸是C的右支上一点，连接尸耳与y轴交

于点M,若闺O|=2|OM|（。为坐标原点），PFXLPF„则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=+3xB.y=+s/3xC.y=±2xD.y=+42x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y+1..0,

13.已知实数x,V满足约束条件「x-y-3,,0,则z=2x+y的最大值为.

x>0

14.满足线性的约束条件的目标函数Z=2x-y的最大值为

x+y<2

21的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数

15.已知二项式%2

16.已知（l+2x）”的展开式中含有/的项的系数是60,则展开式中各项系数和为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，已知椭圆E的右焦点为工（1,0）,P,。为椭圆上的两个动点，PQ8周长的最大值为8.

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)直线/经过心，交椭圆E于点A,3,直线机与直线/的倾斜角互补，且交椭圆E于点"，N,\MNf^4\AB\,

求证：直线僧与直线/的交点T在定直线上.

18.(12分)平面直角坐标系中，曲线C：(x-If+>2=1.直线/经过点尸(私0),且倾斜角为以。为极点,

X轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)写出曲线。的极坐标方程与直线/的参数方程；

(2)若直线/与曲线。相交于A,B两点,且12AH尸理=1,求实数机的值.

19.(12分)已知函数〃x)=alnx+L

X

(1)讨论/(X)的零点个数；

(2)证明：当0<a<1时，

20.(12分)如图，椭圆C:二+4=1(。〉6〉0)的左、右顶点分别为4,4,上、下顶点分别为⑸，与，且用(0,1),

ab

44耳为等边三角形，过点(1，。)的直线与椭圆。在丁轴右侧的部分交于"、N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求四边形为MNg面积的取值范围.

21.(12分)在某外国语学校举行的IffiWCN(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩

分布在[40』00],分数在80以上(含80)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到

成绩的频率分布直方图如图所示.

(I)求。的值,并计算所抽取样本的平均值1(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(H)填写下面的2x2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.

女生男生总计

获奖5

不获奖

总计200

附表及公式:

j)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

甘土匠2n(ad-bc)2

其中K---------------------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

x=l+2cos。

22.(10分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程是c.为参数)，以原点。为极点，x轴正

y=2sma

半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕COS6+(=应.

(I)求曲线C的普通方程与直线/的直角坐标方程;

(II)已知直线/与曲线C交于A,B两点,与X轴交于点尸，求4H

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

求出二项式的展开式的通式，再令X的次数为零，可得结果.

【详解】

解：二项式[亍—展开式的通式为&=c(5](-x2)r=(-l)rC；25-r£^+2r,

5—r

令一一—+2r=0,解得r=1,

2

则常数项为(—l)y2’=—80.

故选：A.

【点睛】

本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.

2、D

【解析】

三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1,求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1

即可解决.

【详解】

「2「2厂3「1

由题意，三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1；基本事件总数有

=150种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有尺种情况；若为第二

种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有C；C；尺种，故甲、乙两人在同一个单位的概率

曳=色，乙两人不在同一个单位的概率为p=i—二=9.

150252525

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、

乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.

3、A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合G和02的离心率之积为走，即可得的关系，进而得双曲线的离心率

2

方程.

【详解】

2222

椭圆G的方程吞+2=1，双曲线的方程为十-£=1，

则椭圆离心率G=5—3，双曲线的离心率4=力〜△，

aa

由G和G的离心率之积为—，

一2

，〃庐+庐&

gn2―1a2

ele2------------x------------=—

aa2

解得2=±交，

a2

所以渐近线方程为y=±-x，

2

化简可得x±0y=O,

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

4、B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.

【详解】

设丁=y(x)=2-,则/(-X)=2(r)3=一"二=一/⑴，所以/(X)是奇函数，图象关于原点成中心对称,

2%+2r2T+2、2X+2~X

7x43

排除选项C.又/(4)=：4〉0,排除选项口；/(6)=；「7,排除选项A,故选B.

24+2-426+1-6

【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易，注重了基础知识、基

本计算能力的考查.

5,C

【解析】

先求出a+2b，再与a相乘即可求出答案.

【详解】

因为a+2〃=(1,5)+(-4,2)=(―3,7),所以。•(a+2份=—3+5x7=32.

故选:C.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，考查了学生的计算能力,属于基础题.

6、A

【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算x=1时的函数值可排除三个选项.

【详解】

x>0时，函数为减函数，排除B,T<x<0时，函数也是减函数，排除D,又x=l时，y=l—ln2>0,排除C,

只有A可满足.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过

特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项.

7、A

【解析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(-8,0)上是减函数，由此可将不等式化为-1W公+2W1；利用分

离变量法3可得1求得-三3的最大值和--1的最小值即可得到结果.

XXXx

【详解】

/(%)=/(-%)f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称

又/(X)在(0,+8)上是增函数f(x)在(-8,0)上是减函数

/(ta+2).'.|ar+2|<l,即-

31

—1W4U+2W1对于xG［L4恒成立二—二VaV——在［1,2］上恒成立

JCJC

3「3一

.-.--<«<-1,即。的取值范围为：一彳,—1

2L2

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

8、C

【解析】

由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的左，v的值，当左=-1时，不满足条件左.0,跳出循环，输出v

的值.

【详解】

解：初始值丫=10,尤=2,程序运行过程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

V=10X22+9X2+8>k=I,

v=10x23+9x2~+8x2+7>k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6,k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5.k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=l,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=G,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-L,

跳出循环，输出v的值为

1098765432

^^V=10X2+9X2+8X2+7X2+6X2+5X2+4X2+3X2+2X2+1x2+0®

2V=10x2"+9x21°+8x29+7x2'+6x2’+5x26+4x2,+3x2,+2x23+1x22+0②

①一^得

-v=-10x2n+lx210+lx29+lx28+lx27+lx26+lx25+lx24+lx23+lx22+lx2

1-2

v=9x2n+2.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到左，v的值是解题的关键，属于基础题.

9、D

【解析】

作"腿」/,垂足为V,过点N作NG'M”,垂足为G,设|NF|=m（加＞0）,贝!=结合图形可

n\MG\=2m,\MN\^4m,从而可求出NWG=60°,进而可求得|VP|=6w,加川=百根，由AMZV'P的面

积Sz^N7=g.|MM'HN'P|=24月即可求出机，再结合产为线段的中点，即可求出/至U/的距离•

【详解】

如图所示，

作垂足为AT,-^|A^F|=m(m>0),由MR+3NB=0，^\MF\=3m.,=\NN'\=m.

过点N作NG_LMM',垂足为G,则\M'G\=m,|MG\=2m,

所以在小AMZVG中，|MG|=2〃z,|M2V|=4m,所以85/6削=坐1=(，

11\MN\2

।।MMr

所以NNMG=60。，在RAPMM'中，根，所以MP=--------=6m

cos60f

所以|猫|=2〃?，回尸|=4〃，

所以SAMN,P1-3m-y/3m=24^3.解得机=4,

因为IFP|=|FN\+\NP\=3m=\FM\,所以尸为线段“尸的中点,

门A”­、，IMM,|3m,

所以F到l的距离为p=---=—=6.

故选：D

【点睛】

本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题.

10、D

【解析】

利用对数函数的单调性可得log25>log35>log53,再根据/(x)的单调性和奇偶性可得正确的选项.

【详解】

因为logs5>log33=1,0=log51<log53<log55=1,

^log35>log53>0.

Xlog25>log24=2=log39>log35>0,故log25>log35>log53.

因为当xe[0,+8)时，函数/(%)是单调递减函数，

所以/(log25)</(log35)</(log53).

因为/(%)为偶函数，故/卜g3m=/(-log35)=/(log35),

(\\

所以“log?5)〈/log3-</(log53).

\3J

故选：D.

【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数

来传递不等关系，本题属于中档题.

11、D

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

x+y-.

z=2%+y等价于y=-2x+z,作直线y=-2x,向上平移，

易知当直线经过点(2,0)时z最大，所以入砍=2x2+0=4,故选D.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

12、C

【解析】

利用三角形AOA/耳与AP/y相似得归周=2归引，结合双曲线的定义求得“，仇。的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设耳(―c,0),g(c,0),

由闺O|=2|OM|,AOMK与相似，

所以\EO命\=IP局FI=2,即|,3|,=2|,理,|,

又因为|「耳卜|尸阊=2即

所以|尸制=4匹|尸鸟|=2a,

所以4c2=16/+44,Bpc2=5a2>b1=4a2>

所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大,

取得最大值，即得解.

【详解】

是以A(2,3),B(-1,O),C(1,O),为顶点的三角形及其内部，

转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z

当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大

此时z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.

14、1

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用z=2x-y的几何意义，可求出目标函数的最大值。

【详解】

由z=2x—y,得y=2x—z,作出可行域，如图所示：

平移直线y=2x-z,由图像知，当直线经过点。时，截距最小，此时z取得最大值。

x-y=0\x=l

由‘c八，解得，，代入直线z=2x—y，得z=2xl—l=l。

x+y-2=0[y=l

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。

15、-672

【解析】

先令x=l可得其展开式各项系数的和，又由题意得2〃=512,解得〃=9,进而可得其展开式的通项，即可得答案.

【详解】

令x=l,则有2〃=512,解得〃=9,

则二项式—2]的展开式的通项为I.=C；(x2)9-r(-1)r=(-2)r-C；？8-3r,

令r=3,则其展开式中的第4项的系数为(-2)3Cl=-672,

故答案为：-672

【点睛】

此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题.

16、1

【解析】

由二项式定理及展开式通项公式得：22戏=60,解得〃=6,令x=l得：展开式中各项系数和，得解.

【详解】

解：由(l+2x)"的展开式的通项M=C：(2尤)，，

令r=2,

得含有X2的项的系数是2?C；=60,

解得〃=6,

令尤=1得：展开式中各项系数和为(1+2)6=729,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、（I）—+^=1；（II）详见解析.

43

【解析】

（I）由椭圆的定义可得，PQ8周长取最大值时，线段PQ过点月，可求出。，从而求出椭圆E的标准方程；

（II）设直线/:丁=左（％-1）（化工0）,直线77z:y=—左（1+",A（%,yJ,B（x2,y2）,M（x3,y3）,刈4”）•把

直线旭与直线/的方程分别代入椭圆E的方程，利用韦达定理和弦长公式求出|MN『和,根据=4|A可求

出t的值.最后直线m与直线I的方程联立，求两直线的交点即得结论.

【详解】

（I）设PQK的周长为L,

则L=|P阊+|Q闾+|PQ|=2a—|P片|+2a—|Q4|+|PQ|=4a—（|P周+|Q周）+|PQ|

<4a-\PQ\+\P^=4a,当且仅当线段PQ过点耳时“=”成立.

「.4。=8,:.a=2,又c=1>b=^3>

22

二椭圆E的标准方程为—+^=1.

43

（II）若直线/的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线相与直线/相交于点T矛盾，所以直线/的斜率存

在.

设/:丁=左（十一1）（左力0）,加：y=一左（兀+7），4（%,%），5（孙%），/（&，％），阳％”）。

将直线心的方程代入椭圆方程得：（3+4左2）炉+8左2b+4（左2/-3）=0.

8k~t4（居2—3

4A/9k2+9_12（1+左2）

同理,1AB|=J1+左2

3+4左23+4左2

由|脑V「=川45|得f=0,此时△=64/产—16（3+4左2）俨产—3）>0.

直线m:y=-kx,

联立直线机与直线/的方程得

即点T在定直线兀=」.

2

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.

18、（1）|2（f为参数）；（U）771=1或加=1+0或加=1—四.

y=-t

I2

【解析】

试题分析：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查

学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，用/+/=夕2,XUQCOS。化简表达式，得到曲

线C的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出M的值.

试题解析：⑴曲线相勺普通方程为：（x-1『+丁2=1,即V+y2=2x,即夕2=2pcos6,

即曲线C的极坐标方程为:p=2cos。.

6

x=m-\---1

直线/的参数方程为｛2。为参数）.

1

y=—t

-2

（2）设A,3两点对应的参数分别为将直线/的参数方程代入x2+/=2x中，

得产+（也m-垂>）t+m2-2m=0,所以4>0,=m2-2m,,A>0=>—l<m<3

由题意得帆2-2司=1,得m=U+3或1-V2符合题意

考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.

19、（1）见解析（2）见解析

【解析】

/TV—1

（1）求出/=分别以当a<。，a=0,。>0时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令

/:（%）=talnx+1,结合导数求出/z（x"/4）=，+l»L同理可求出g（x）=\ez满足g（x）«g6=L从

ee222

而可得以Inx+bgxeiT,进而证明了（'〉2-.

【详解】

解析：(1)/(x)=^1rA：e(o,-H»),

当a<。时，/,(x)<0,/(x)单调递减，/[]=—a+e〉O,fy=—l+e"O,此时/(%)有1个零点;

当。=0时，/(%)无零点；

当a>0时，由尸(x)<0得xe(0,：),由尸(x)>0得xegy),二/(%)在(0,：)单调递减，在(：,+«))单调递

增，，/(尤)在x=L处取得最小值了(工)=—alna+a,

aa

若-〃lnQ+Q>0,则〃<e,此时/(x)没有零点；

若—〃lnQ+Q=0,则〃=e,此时/(x)有1个零点；

若—alna+a<0,贝！Ja〉e,/(1)>0,求导易得f(《)>0,此时在(」」)，(±1)上各有1个零点.

aaaa

综上可得OVave时，没有零点，avO或〃=e时，/(%)有1个零点，〃>e时，有2个零点.

(2)^h^x)-ax\ax+\,则"(x)=Q(l+lnx),当％一时，>0；当0<%<工时，"(x)<0,

h(x\>/z(—)=-—+!>—.

ee2

令g(%)=g尤3'，则g'(犬)=；/'(1_九)，

当Ovxvl时，g'(x)>。，当％>1时，g'(x)<0,Ag(x)<g(l)=^,

~l]e1-％e1-x

••k(x)>g(x),ctxIn%+1>—xc9••aInx—>---,即/(%)>----•

2x22

【点睛】

本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问

不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.

【解析】

(1)根据与坐标和A4,与耳为等边三角形可得a,。，进而得到椭圆方程;

(2)①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线MN的斜率存在时，设方程为

y=k(x-1),与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定左的取值范围；利用S=S/oB,+代

S-6i/—/-i-\

入韦达定理的结论可求得S关于左的表达式，采用换元法将问题转化为‘一机+百_20，相€(&+后2码的值

m

域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.

【详解】

(1)4(0,1),.•2=1,

_2

的耳不为等边三角形，.♦.a=其=G，.•.椭圆的标准方程为:+>2=i.

(2)设四边形用的面积为S.

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丁=左(％-1),

设以(4%)，"(%,%)，

(2

X।2_]

+V1222

联立T-=得：(3k+1)x-6kx+3A:-3=0,

y=^(x-1)

6k23k°—3

.口+”诉r中2=F7T，・・.|x_%|二卜&_z)卜S状:+1

%；>0,x2>0,xYx2>0,>1,

面积

11_3k2回k\12k2_3

S=S+S+S

ANOB,AOMNAMOB,=~X(X1+X2)X1+-X|-^2|X13K+13^+131

223+记

3+F

令42+（,则/e（0,百）,

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