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文档简介

6.3.4空间距离的计算江苏省苏州实验中学丁益民教学目标：能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决，归纳用空间向量解决立体几何问题的步骤，提升直观想象、数学运算素养．教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式．教学难点：利用投影向量研究空间距离问题．教学过程：一、问题情境前面，运用向量的方法研究空间中的线面位置关系、空间中角的计算问题．能否运用向量的方法研究空间中的距离问题．问题1：立体几何中有哪些距离问题？可以怎样研究这些距离问题？两点距离是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其它距离问题均可转化为这两类问题．二、学生活动问题2：如何求直线l外一点P到直线l的距离？取一个与直线l垂直的向量n，则，从而，所以，点P到到直线l的距离．思考题：还可以怎么处理直线l外一点P到直线l的距离？问题3：如何求平面外一点P到平面的距离？设n为平面的法向量，则，从而，所以，点P到平面的距离．三、数学建构梳理出空间向量求点到平面的距离步骤：第一步，确定平面的法向量；第二步，选择参考向量；第三步，确定参考向量到法向量n的投影向量；第四步，求投影向量的长度．四、数学应用例1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是BC和CD的中点．（1）求证：EF//B1D1；（2）求两条平行线EF和B1D1间的距离．解：以｛，，｝为单位正交基底，建立所示的空间直角坐标系Dxyz，则C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），E（，1，0），F（0，，0）．（1）因为＝（，，0），＝（1，1，0）＝，所以，故EF//B1D1．（2）因为EF//B1D1，所以点E到直线B1D1的距离为两条平行线EF和B1D1间的距离．设在平面EB1D1内与直线B1D1垂直的向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，可得x＋y＝0．由n与，共面可知，存在实数m，p，使得．因为＝（－1，－1，0），＝（－，0，－1），所以（x，y，z）＝m(－1，－1，0）＋p（－，0，－1）＝（－m－p，－m，－p）即所以．令x＝1，则y＝－1，z＝4，即＝（1，－1，4）．点E到直线B1D1的距离为，两条平行线EF和B1D1间的距离为．例2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求点B到平面B1CD1的距离．解：以｛，，｝为单位正交基底，建立所示的空间直角坐标系Dxyz，则B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），所以＝（1，1，0），＝（1，0，1），＝（－1，0，0），设平面B1CD1的法向量为n＝（x，y，z），则＝0，，即x＋y＝0，x＋z＝0．令x＝－1，则y＝1，z＝1，所以n＝（－1，1，1）．因为，，所以点B到平面B1C

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