甘肃省庆阳市2024年高三年级下册第五次调研考试数学试题含解析

甘肃省庆阳市2024年高三下学期第五次调研考试数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/（x）=加-加之有且只有4个不同的零点，则实数机的取值范围是（）

re2、<2A(2A(e21

—,+00—,+oo-00,—-00,一

A.14JB.<4Jc.k4JD.14J

22

2.已知产是双曲线二―4=1渐近线上一点，耳，心是双曲线的左、右焦点，^PF2=-,记PF”PO,「工的

a"b~2

斜率为左，k,k2,若K，-2k,&成等差数列，则此双曲线的离心率为（）

A.V2B.2(1c.他D.y/6

2

2

3.复数「（i为虚数单位）的共朝复数是

l-l

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

4.过抛物线C的焦点且与C的对称轴垂直的直线/与C交于A,3两点，|A3|=4,P为C的准线上的一点，则AABP

的面积为（）

A.1B.2C.4D.8

5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A.16B.48C.96D.128

22

6.已知耳，鸟分别为双曲线C:=-4=1的左、右焦点，点尸是其一条渐近线上一点，且以E8为直径的圆经过点

ab

P,若心的面积为迪/，则双曲线的离心率为（）

3

A.6B.2C.75D.3

7.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

8.我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖麝S荏〃面），下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积

几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为（）

4

A.90"平方尺B.180不平方尺

C.360万平方尺D.135Ji6r平方尺

9.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我

国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们

是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、

硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是

博士学位；⑤国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的，学位是什么（）

A.国防大学，研究生B.国防大学，博士

C.军事科学院，学士D.国防科技大学，研究生

10.在ABC中，角A,3,c所对的边分别为“,仇C,已知。=—,c=l.当a,。变化时，若z=b+4a存在最大值,

3

则正数X的取值范围为

A.（0,1）B.（0,2）C.（1,2）D.（L3）

11.刘徽（约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割

之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆

术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的

面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin2的近似值为（）

A.—B.----C.-----D.-----

90180270360

12.记Sn为数列｛%｝的前几项和数列｛4｝对任意的p,qwN*满足々+%+13.若%=-7,则当S“取最小值

时，〃等于（）

A.6B.7C.8D.9

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在人钻。中，角A,B,C所对的边分别为”,仇c,ZABC=120°,NABC的平分线交AC于点O,且BD=1,

贝!14。+c的最小值为.

14.设P（x,y）为椭圆土+2_=1在第一象限上的点，则7—+广的最小值为______.

16124-x6-y

15.过点A（—3,2）,5（—5,—2）,且圆心在直线3x—2y+4=0上的圆的半径为.

16.在（2—力5的展开式中，V项的系数是（用数字作答）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设椭圆。:5+丁之的右焦点为口，过尸的直线/与C交于A,3两点，点M的坐标为（2,0）.

（1）当直线/的倾斜角为45。时，求线段A3的中点的横坐标；

（2）设点A关于x轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；

（3）设过点M的直线交椭圆于G,H两点，若椭圆上存在点P,使得OG+O”=4OP（其中。为坐标原点），求实数

X的取值范围.

18.（12分）如图，已知椭圆E的右焦点为乙。,。），P,。为椭圆上的两个动点，PQ8周长的最大值为8.

（I）求椭圆E的标准方程；

（II）直线/经过耳，交椭圆E于点A,3,直线机与直线/的倾斜角互补，且交椭圆E于点"，N,|iW|2=4|AB|,

求证：直线M与直线/的交点T在定直线上.

19.（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行

一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按上个人一组进行随机分组，把从每组上个人抽来的

血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这左个人的血只需检验一次（这时认为每

个人的血化验1次）；否则，若呈阳性，则需对这左个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组上个人的血总共需要

k-

化验女+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为P,且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组上个人的每个人的血化验次数为X,求X的分布列；

（2）设p=0]，试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比

方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

20.（12分）设数阵4%],其中a”、%、%i、022G{1,2,.,6}.设5={"2，、弓仁。,？,.，6},

其中。<02</eN*且/W6.定义变换敕为“对于数阵的每一行，若其中有左或-左，则将这一行中每个数都

乘以-1;若其中没有左且没有—左，则这一行中所有数均保持不变"（左=，、%、、，）.0s（A1）表示“将4经

过气变换得到4,再将A经过外变换得到4、，以此类推，最后将AT经过生变换得到4”，记数阵4中四个

数的和为4（4）.

（I）若4=\写出4经过处变换后得到的数阵4；

⑵若4=（；*，s={1,3},求4（4）的值；

（3）对任意确定的一个数阵4,证明：心（4）的所有可能取值的和不超过T.

21.（12分）如图，ABC。是正方形，点P在以为直径的半圆弧上（P不与3,。重合），E为线段的中点,

现将正方形ABC。沿折起，使得平面平面3cp.

（1）证明：平面。CP.

（2）三棱锥£）—5PC的体积最大时，求二面角6——石的余弦值.

22.（10分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远

镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年

代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）

是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉

冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.

(1)在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗?

(2)根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由g2是偶函数，则只需〃%)=阴-如2在％<0,a)上有且只有两个零点即可.

【详解】

解：显然/(%)=阴-如2是偶函数

所以只需九<0,七》)时，"了)=阴-皿2="—加*有且只有2个零点即可

令e*-mx2=0>贝！Jm=为

X

令g(x)=至，g(x)=13J

xe(O,2),g，(x)<O,g(x)递减,且xf0+,g(x)f+oo

xe(2,+oo),g'(x)>0,g(x)递增，且xf-H»,g(x)f+oo

g(x)>g(2)=—

■xw(o,4<®)时，/(%)=阴一m%2=，一"储有且只有2个零点,

e?

只需用〉一

4

故选：B

【点睛】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.

2、B

【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程，设出P的坐标，由题意求得23力），运用直线的斜率公式可得左一k,k2,再由等

差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值.

【详解】

22t

设双曲线三-g=1的一条渐近线方程为y=-%,

且尸（犯?〃），由/耳PB=5,可得以。为圆心，。为半径的圆与渐近线交于2，

可得病+（—m）2=/,可取相=a,则P（a,b）,

a

hbb

设耳（一c,0）,K（c,O）,则匕=2，k2=—,k=-,

6Z+CCl—C（2

由匕，—2k,%成等差数列，可得-软=匕+七,

化为一即。2=3。2,

cia—c2

nTMe=-=—，

a2

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

3、B

【解析】

分析：化简已知复数z,由共朝复数的定义可得.

22（l+z）

详解：化简可得z=1二=.'/=1+7

•*.Z的共辗复数为1-i.

故选B.

点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共甄复数，属基础题.

4、C

【解析】

设抛物线的解析式产=2内(°〉0),得焦点为对称轴为x轴，准线为x=-，，这样可设A点坐标为

代入抛物线方程可求得0,而尸到直线的距离为0,从而可求得三角形面积.

【详解】

设抛物线的解析式/=2Px(p>0),

则焦点为歹］々,0：对称轴为x轴，准线为x=-T，

V直线/经过抛物线的焦点，A,3是/与C的交点，

又无轴，可设4点坐标为

代入y2=2px,解得"=2,

又•.•点尸在准线上，设过点户的48的垂线与45交于点。，1。P1=点+-光=。=2,

：.S^p=^\DP\-\AB\=^x2x4=4.

故应选C.

【点睛】

本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A点坐标，从而求得参数。的值.本题难度一

般.

5、B

【解析】

列出每一次循环，直到计数变量i满足i>3退出循环.

【详解】

第一次循环：S=2i(l+l)=4,i=2；第二次循环：5=4+22(1+2)=16,7=3；

第三次循环：5=16+23(1+3)=48,7=4,退出循环，输出的S为48.

故选：B.

【点睛】

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.

6、B

【解析】

根据题意，设点P(l，%)在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.

【详解】

由题意，设点。(天,阳)在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为y='x，

b

所以，%=一%，

a

又以4心为直径的圆经过点尸，贝lQH=c，即其+需=。2,解得〜=。，%=b,

所以，SRPFF=L.2c・yo=c-b=^b2,即°=及5,即。2=3(C2—/)，

所以，双曲线的离心率为e=2.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出。与C的关系，属于基础题.

7、D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

8、A

【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外

接球，由球的表面积公式计算可得选项.

【详解】

由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC,。为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此

三棱锥所在的长方体的外接球，所以。为PC的中点，设球半径为R,则

R2=[P0=^(AB2+BC2+PA2)=^(42+52+72)-y，所以外接球的表面积S=4万普=4万义?=90万，

故选：A.

【点睛】

本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半

径，属于中档题.

9、C

【解析】

根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.

【详解】

由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；

则丙来自军事科学院；

由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；

由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，

故丙为学士.

综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.

故选：C.

【点睛】

本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.

10、C

【解析】

27rabc222

因为＜，c=l,所以根据正弦定理可得一j=一%=-3=下，所以。=ysinA,sinB,所以

3sinAsmBsmCJ3＜3＜3

22%27i22

z=b+Aa=-^=sinB+-^sinA=—^[sinB+2sin(B)]=—^=[(1)sinB+

V373V33若2

与cos8]=*J(1-豕+(年;sin(B+°),其中tan0=A，0＜5＜p

因为z=Z?+4a存在最大值，所以由3+3=三+2左兀左EZ,可得2左九+三＜。＜2左九十三,左wZ,

262

所以tan°T，所以当邛，解得;＜几＜2,所以正数X的取值范围为(；,2),故选C.

11、A

【解析】

46f)oi360。

设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为——，则每个等腰三角形的面积为一/sin——，由割圆术可得圆的面积为

n2n

Tir1=n--r2sin*2-，整理可得sin理匕=空,当〃=180时即可为所求.

2nnn

【详解】

由割圆术可知当n变得很大时，这〃个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，

y360°

设圆的半径为r，每个等腰三角形的顶角为——，

n

1360°

所以每个等腰三角形的面积为一产sin——，

2n

位212-3600口口,36002〃

所以圆的面积为=〃•一产sin------，即sin------=——，

2nnn

所以当〃=180时可得sin—=sin2°=—,

18018090

故选:A

【点睛】

本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.

12、A

【解析】

先令。=l,q=l,找出。2,4的关系，再令。=Lq=2,得到的关系，从而可求出%,然后令。=",4=1,

可得%+1-玛=2,得出数列｛4｝为等差数列，得S“=〃2-12“，可求出S“取最小值•

【详解】

解法一：由/=q+4+13=(G+13)+(2al+13)=-7,所以4=-11,由条件可得，对任意的

M

neN*，4=4+%+13=4+2,所以｛%｝是等差数列，an=2〃-13,要使Sn最小，由厂””:解得:轰旧户,

4+1之U22

贝(I〃=6.

解法二：由赋值法易求得q=-9,%=一7,…=2〃—13,S〃=n2-I2n,可知当〃=6时，S〃取最小值.

故选：A

【点睛】

此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、9

【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，由角平分线性质和三角形面积公式得

—acsinl20°=—axlxsin600+—exlxsin60°,化简得ac=a+c-+』=1,因此

222ac

.z.、/11、=c4a、=cIe4a-

4a+c=(4a+c)(—l—)=5H125+2.=9,

acac\ac

当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母

为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

14、4

【解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性

质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值.

【详解】

解：设点p(4cose,2Gsina),其中0<&<耳，

.x3yx3yx-4+43(y-6)+18

,■-；-----H7---=T----7------)=------：---1------------)

4-xo-yx-4y-ox-4y-o

18、)418

=-4-(----+----)=-4+----+----,

x-4y-64-x6-y

由％=4cosc,y=2百sina,0<6Z<一,

2

_、r418418

可设z=+=+

4-x6-y4-4cosa6-2^3sina

113A/3

1-cosa途-sina

日我d，sina373cos67

导数为Z=、2+/石.、2，

(1-COS6Z)(V3-sinay

由z'=。，可得3百cosa-6百cos?a+3gcos3a-3sin2—sin3a+2/sin2a

=(A/3COSa-sina)(3-6cosa-2y/3sin6Z+3cos2a+sin2a+2若sinacosa)=0,

可得百cosa—sina=0或3-6cos(z—26sine+3cos2a+sin2a+26sinecosar=0，

由3-sin(a+—)+2+cos2a+Qsin2a=5-4百sin(cr+—)+2sin(2a+—)

336

=3-4代sin(<7+g)+4sin2(cr+g)=(2sin(c+g)一拒¥>0,(0<cr<^),

,,儿

可得再cosa-sina=0,BPtana-v3，可得。=彳，

,)I')I')!

由0<a〈一可得函数z递减；由—<1<—,可得函数z递增，

332

13「

可得a=一时，函数z取得最小值，且为JT+抠,

32屿一

x3y

则三十17的最小值为L

故答案为：1.

【点睛】

本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力,

属于难题.

15、710

【解析】

根据弦的垂直平分线经过圆心，结合圆心所在直线方程，即可求得圆心坐标.由两点间距离公式，即可得半径.

【详解】

因为圆经过点4(—3,2),5(—5,—2)

2-(-2)

则直线AB的斜率为k=')=2

(一力一E

所以与直线AB垂直的方程斜率为k'=--

2

点A(—3,2),B(-5,-2)的中点坐标为M(T,0)

所以由点斜式可得直线AB垂直平分线的方程为y=-1(x+4)，化简可得x+2y+4=0

而弦的垂直平分线经过圆心，且圆心在直线3x-2y+4=0上，设圆心O(a,b)

〃+2Z?+4=0a——2

所以圆心满足解得

3a—2b+4=0b=-l

所以圆心坐标为0(-2,-1)

则圆的半径为厂=。4="—3+2)2+(2+1『二回

故答案为：回

【点睛】

本题考查了直线垂直时的斜率关系，直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系，圆的半径的求法,属于基础题.

16、-40

【解析】

(2—J的展开式的通项为：C；25-r(-x)r.

3

令r=3,得Q25f(-xy=-40x.

答案为：-40.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值，最后求

出其参数.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)45的中点的横坐标为,；(2)证明见解析；(3)(-2,2)

【解析】

y=x-l

(1)因为直线/的倾斜角为45。，方(1,0),所以直线A5的方程为丁=%-1,联立方程组一「消去y并整理,

12，

加1rr.l4X.+2

得3x—4x=0,贝！|M+%=—,—~—=—，

2

故线段A3的中点的横坐标为-.

3

(2)根据题意得点

若直线45的斜率为0,则直线A5的方程为y=0,4、C两点重合，显然M,B,C三点共线；

若直线A3的斜率不为0,设直线A5的方程为》=〃^+1,

x=my+1

联立方程组必，消去x并整理得(疗+2)/+2%-1=0,

—+y=1

12

2m1

则乂+%=---s~-,%%=2―二，设直线BM、CM的斜率分别为k、k,

m+2m+2BMCM

则

k_k=_%_X=%--2）+%区-2）=%（"」-1）+%（阳2-1）=2"明％一（X+%）

BMCM2-X22-与（占-2）（%-2）（myl-l）（my2-1）]一机（％+%）+〃/%%

—2m2m

-2---------12

nr+2m-+2=0）即做人,“，即V,B,C三点共线.

12mm

l+—;------5——

m+2m2+2

（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为丁=左（％-2）,

设尸（X0，%）,6（%3，%）,印＞4，％），

y=k（x-2）

联立方程组f,消去丁并整理，得（1+2公）%2_8高+8左2_2=0,

——+y=1

12

由4=6取4-4（1+2公）（8公一2）＞0,整理得％2＜一,又x=上^,龙玉=丝一

2l+2k2l+2k2

4k

所以%+%=%（W+又-4）=---y,

结合OG+OH=WP>得彳%=W+%，％%=%+%，

当；1=。时，该直线为x轴，即y=0,

此时椭圆上任意一点P都满足OG+OH=4OP，此时符合题意；

_18一

当2W0时，由OG+OH=XOP，得/1+?，代入椭圆C的方程，得「八川、2=1，整理，

1-4KZ(1+2^)X(l+2k)

r=TTnie

216」16

得一]+2/_L)，

F

再结合尸＜L得到0＜%＜4,即2e(-2,0)(0,2),

2

综上，得到实数2的取值范围是(-2,2).

22

18、(I)—+^=1；(II)详见解析.

43

【解析】

(I)由椭圆的定义可得，PQK周长取最大值时，线段PQ过点耳，可求出”，从而求出椭圆E的标准方程；

(II)设直线/:丁=左(％—1)(左。0),直线777：y=—左(％+0，4(%,%),B(x2,y2),M(x3,y3),?/(4%)•把

直线加与直线/的方程分别代入椭圆E的方程，利用韦达定理和弦长公式求出|MN『和|A@,根据|MN「=4|A可求

出t的值.最后直线m与直线I的方程联立，求两直线的交点即得结论.

【详解】

(I)设PQ月的周长为L,

则L=|P闾+|Q闾+|PQ|=2aTw|+2a—|Q耳|+|PQ|=4a—（|P周+|QK|）+|PQ|

<4a-\PQ\+\PQ\=4a,当且仅当线段PQ过点F｝时“=”成立.

二.4a=8,:.a=2,又c=1,b—>J3>

22

二椭圆E的标准方程为上+乙=1.

43

(II)若直线/的斜率不存在，则直线加的斜率也不存在，这与直线机与直线/相交于点T矛盾，所以直线/的斜率存

在.

设/:y=k（x—l）（左中0）,7〃：y=—左（％+，），A（4%）,5（9,%），Af（x3,y3）,N（x4,y4）.

将直线m的方程代入椭圆方程得：(3+4k②卜2+8k2tx+4伏2/-3)=0.

8k2t4（^2-3

,12/,、16（12左2—3左2/+9）

"（"）♦（（3+咐」

49k2+9_120+左2）

同理,\AB\=y]l+k2

3+4左23+4左2

由|肋V「=41ABi得f=0,此时△=64//—16（3+4左2）仔/—3）>0.

直线m:y=-kx,

联立直线机与直线I的方程得T，一；4，

即点T在定直线％=」.

2

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.

19、(1)分布列见解析；(2)406.

【解析】

(1)计算上个人的血混合后呈阴性反应的概率为呈阳性反应的概率为1-q*,得到分布列.

(2)计算E(X)=,-淋+1,代入数据计算比较大小得到答案.

【详解】

(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为q,则q=i-p.

所以上个人的血混合后呈阴性反应的概率为qk,呈阳性反应的概率为…匚

依题意可知X=,，1+-,所以X的分布列为：

kk

1

Xi+-

kk

Pqkl-qk

(2)方案②中.

结合(1)知每个人的平均化验次数为：E(X)=44+(I+?；(I—")=；—/+I

k'kJ'7k

1

左=2时，E(X)=--0.9?2+l=0.69,此时1000人需要化验的总次数为690次，

1二

左=3时，E(X)=--0.93+1^0.6043,此时1000人需要化验的总次数为604次，

3

左=4时，E(X)=--0.94+1=0.5939,此时1000人需要化验的次数总为594次，

4

即左=2时化验次数最多，左=3时次数居中，后=4时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次,

故在这三种分组情况下，相比方案①，

当k=4时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.

【点睛】

本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

J］—2、

20、(1)A=；(2)-5；(3)见解析.

11*

【解析】

(1)由4=］；］，能求出4经过处变换后得到的数阵A；

(2)由4=］；*，5={1,3}.求出数阵4经过外变化后的矩阵，进而可求得£(4)的值；

(3)分/q2和41=%2两种情况讨论，推导出变换后数阵A,的第一行和第二行的数字之和，由此能证明/(4)的

所有可能取值的和不超过-4.

【详解】

q2、,-1-2、

（1）4=,4经过化变换后得到的数阵A=

J5,、15,

13、13、

(2)4=经外变换后得，故Z(4)=l+3-3-6=-5

36-3-6

77

(3)若知彳%2,在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有句且不含牝的子集共24个，经过变换后第一行均变为

-%]、_%2»

含有%且不含&的子集共24个，经过变换后第一行均变为-41、-42；

同时含有八和4的子集共24个，经过变换后第一行仍为孙、生

不含勺也不含％2的子集共24-1个，经过变换后第一行仍为％1、an.

所以经过变换后所有4的第一行的所有数的和为

24x(_q]一42)+x(_a】]_