2024年江西省高考押题预测卷 数学试题（新高考卷1新题型结构）（全解全析）

2024年高考押题预测卷01【新高考卷】

数学•全解全析

一、单选题

1.设集合4={尤|X2-3X<0},B={X|log?为>1},则Ac&3)=()

A.(0,2)B.(0,2]C.(1,2]D.(2,3)

【答案】B

【详解】X2-3X<0,得0<X<3,即4={尤[0<X<3},

log2x>l,得尤>2,即8={x|x>2},\8={小<2},

所以4八(t8)=卜|0<尤42}=(0,2].

故选：B

2.设数列{%}的前，项之积为1,满足a“+27；=l(aeN*),则为必=()

10111011—40474048

A.------B.------C.-------D.------

1012101340494049

【答案】C

【详解】因为。,,+24=l(weN*),

所以q+27；=1,即4+2q=1,所以q=g,

所以,+24=1(〃22,”eN*),显然7；产0,

1n-l

11*

所以〒-k=2("N2,〃eN),

,〃一1

所以数列{熹}是首项为」='=3,公差为2的等差数列，

所以不*=3+2(/7-1)=2n+1,

2x2023+1

故选：C.

3.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改

良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25g/n?,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为

325n+,

2.21g/m，第"次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型々=%+(々-•3°-(reR,

〃eN*）,其中“为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，4为首次改良工艺后排放的废水中含有的

污染物数量，”为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m3时符合废水排放标准，若

该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：1g2no.30,1g3。0.48）

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【详解】由题意知％=2.25g/m',^=2.21g/m3,

当〃=1时,耳=4+&F）X33"故3°如=I,解得f=T）.25,

所以劣=2.25-0.04x3"25g>.

由/40.65,得3好即7240,即0.25（〃一1）2弁，

1g3

得空4（l：2；g2）+]“33,又MN*,

1g3

所以“215,

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次.

故选：D

4.已知点M在抛物线C:y2=4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K,线段的中点N也在抛物线C上,

抛物线C的焦点为F,则线段的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

如图，不妨设点”在第一象限，依题知QV是△KWF的中位线，可知|M/|=2|ON|,过向准线做垂

线，垂足分别为知|，乂，

同理NM是的中位线，|的明|=2|NN",由抛物线定义知|〃跖|=|加/|,|凡乂|=|加|,故得

IO^|=|2VF|,

又尸（1,0）,则N点横坐标是《，代入>2=4无可得其纵坐标为血,故|0凶=，32+（应）2=*|/刊=3.

故选：C.

5.已知。=$皿0.5,6=3°5,，=1080.3。.5,则a,6,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【详解】对,因为y=sinx-x,则y'=cosx-l<。，即函数y=sinx-x在［。胃］单调递减，

且尤=0时，y=。，贝!Jsinx-x<0,即sinx<%，所以a=sinO.5Vo.5,

25

因为210go3O.5=log0.30->logo.3°3=1且logo.3（）.5<log030.3=1,所以0.5vc=log030.5<1,

又b=3°5>3°=1,所以avcvb.

故选：B

6.设等差数列｛为｝的公差为d,贝『'。<1<小'是"｛%｝为递增数歹广的（）

n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由等差数列｛%｝的公差为d,得%=a「d+nd,则

当0</<d时，at-d<0,而2>工，贝|色^<幺心，因此冬<，，｛%｝为递增数列；

当｛2｝为递增数列时，则&<4、，即有幺二“〈幺二4，整理得不能推出。<4<〃，

nnn+1nn+1

所以"o<G<d”是“｛2｝为递增数列”的充分不必要条件.

n

故选：A

已知sina+cos/=^-,coscr-sin/=-；，

贝1Jcos（2a-2〃）

A.—B-

32

「5月N5A/39

3232

【答案】A

【详解】解：因为sina+cos/=^^,cosa-sin，=-；,

所以sin2cr+2sincrcos/?+cos?4=—,cos2a-2cosasin夕+sin2y0=—,

33

两式相加得：2+2(sincrcos/?-cosasiny0)=—,即2+2sin(o—〃)二^，

化简得sin(a-4)=一4

O

7

所以cos(2a-2/?)=l-2sin2(6r-；0)=—,

故选：A

8.已知函数的导函数尸(x)=(x+2乂尤2+x+〃z),若函数有一极大值点为一2,则实数机的取值

范围为()

A.(-2,+8)B.(-4,-2]

C.(-8,-2]D.(-8,-2)

【答案】D

【详解】由题意1(%)=(%+2乂/+尤+瓶),令g(尤)=%2+%+〃?，

若g(尤)20恒成立，易知：当-2)时_f(x)W0,当xw(—2,田)时广⑺20,

所以-2是f(x)的极小值点，不合题意，故g(x)有两个不同零点.

设g(x)的两个零点分别为％,%(%<%),则/'(尤)=(*-%)(%+2)(尤-尤2)，

结合三次函数的图象与性质知：Xj<-2<x2,

在(y,西)、(一2,%)上/(x)<0,“X)单调递减，在(冷一2)、(程")上八区>0,〃x)单调递增，一2是

“X)的极大值点，符合题意，

此时需g(-2)=2+m<。，得根<-2,所以实数刃的取值范围为

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4*2,则下列命题一定成立的有()

A.若[z]+zj=。，贝Uz]=—z?B.若闻=%|,则z；=z；

2

C.|zfz2|=|zfz2|D.(z^zj=(z2+z2)

【答案】AC

【分析】根据共轨复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.

【详解】设4=。+句*2=c+di(〃,仇c,d£R),则1=a-历,Z2=c-di.

对于A：Z]+Z2=Q+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i,

若I4+Z21=0,贝(Ja+c=0,Z?+d=0,

所以4+Z2=〃一历+c-di=(〃+c)-S+d)i=。，即=-z2,故A一定成立;

2222

对于B：|zj=\/a+Z?,|Z2|=yjc+d,若区卜㈤，贝lja?+/=02+1①，

z；=tz2+2abi+(Z?i)2=a2-b2+2abi,同理z；=c2-d2+2cdi,

若z；=z；,则需满足〃=。2—屋且加明与①式不同，故B不一定成立;

选项C：卜勾二|(。+的(。+片)|=|(〃c--d)+(〃d+bc)i|=Q(ac-bd)2+(ad+be?,

卜产2卜K〃-bi)(c-di)|=-(〃d+bc)i|=^ac-bd^+(ad+bc^,

所以|平2|=,产2],故C一定成立；

222

选项D：(zT+z2)=[(a+c)+(Z?+d)i]2=(a+c)-(b+d)+2(a+c)(b+J)i(g),

「+1Z2)=[(〃+c)—(b+d)i]2=(〃+c)2_伍+〃)2_2(Q+C)9+修),与②式不同，故D不一定成立.

故选：AC

10.已知〃x）=6sin等cos曹+cos2皇-：,0>0,下列结论正确的是（）

A.若/（x）的最小正周期为兀，则。=2

B.若〃尤）的图象向左平移三个单位长度后得到的图象关于，轴对称，则41M=1

<513"

C.若"1）在曲2兀）上恰有4个极值点，则①的取值范围为国工

136」

TT7T

D.存在。，使得〃尤）在-了1上单调递减

【答案】ABC

【详解】由/（%）=J^sin丝cos丝+cos2乌々一Lgins+又ss=s4s+U，

v7222222

对于A,若〃x）的最小正周期为兀，则T=?no=2,故A正确；

对于B,若〃x）的图象向左平移;个单位长度后得〉=5抽[/+[[+曰=$也（39+R其图象关于

纵轴对称,

贝!I有+W+E(%eZ)=>(y=l+33显然%=1，故B正确;

JU4

7T7T7C1

对于C,xG［0,2TI)+—G—,2am+—i,

7兀兀9兀(513-

根据题意有亏<2即+工工?=口£不工,故C正确；

2O20_

，十7171H697171697171

对于D,xe［-］彳］今。“+不€［一丁+不，彳

显然?+7>7，一等+3<7,即该区间为包含J的连续区间，

根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误.

故选：ABC

11.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个

氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为见则()

A.该正八面体结构的表面积为2月垃2B.该正八面体结构的体积为行疝

C.该正八面体结构的外接球表面积为2兀相D.该正八面体结构的内切球表面积为红

3

【答案】ACD

F(P)

对A：由题知，各侧面均为边长为根的正三角形,

故该正八面体结构的表面积S=8x3'疗=2鬲2,故A正确；

4

对B：连接AS,尸S,则AS=PS=走加，底面A8CD,

2

故该正八面体结构的体积V=2xLx"/x1相=1m3,故B错误；

323

对C：底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径R=PS=^〃z,

2

故该正八面体结构的外接球表面积S'=兀x(0%)2=2式/，故C正确；

对D：该正八面体结构的内切球半径7=亚=坐<=烽，

S2V3m*2V3

故内切球的表面积S"=4兀x(0)2=幺艺，故D正确；

2石3

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.：,x+y)6的展开式中x2/的系数为.

【答案】24

【详解】

rrr

二项式(x+JO,的展开式通项公式为Tr+l=C^-y,r<6,reN*,

242155

当r=4时，7；=C^y=15x/,当r=5时，T6=C1xy=6xy,

因此展开式中含的项为2x15/y4+6肛5.(_土)=24x2y4,故所求系数为24.

■y

故答案为：24.

13.已知高为2的圆锥内接于球。，球。的体积为36%，设圆锥顶点为P,平面a为经过圆锥顶点的平面,

且与直线P。所成角为设平面。截球。和圆锥所得的截面面积分别为岳，邑，则餐=.

【答案】出5兀

160

47r7r

【详解】令球。半径为R,则?R3=36兀，解得R=3,由平面a与直线P。成T角，

36

得平面a截球所得小圆半径r=Rcos^=巫,因此H=n户=必，

624

由球。的内接圆锥高为2,得球心。到此圆锥底面距离d=R-2=1,则圆锥底面圆半径/=巧彳=20，

令平面a截圆锥所得截面为等腰一E4B,线段A3为圆锥底面圆。|的弦，

“P°\4

点C为弦A3中点，如图，依题意“尸。［=巳，尸。=2,cos/一石，

6

。。=京，显然AB=2J(2&S=步,于是S,=_LARPC=^,

V3VJ3J323

27兀

S,~T~8175

所以¥=访=百兀

3

故答案为：肾

2

14.已知双曲线C：f_2L=i的左右顶点分别为A3,点尸是双曲线C上在第一象限内的点，直线尸A尸夕的

3

倾斜角分别为名〃，贝l|tanc-tan/7=；当2tana+tan〃取最小值时，一R4B的面积为

【答案】3276

【详解】设尸0,"),0>0,〃>0),则加-巴=1,可得〃2=3(布_1),

3

2

又因为分别为双曲线C:/-匕=1的左右顶点，可得4-1,0),3(1,0),

3

所以tana•tanQ=k•k=-.......-=——=3；

APBPm+1m—1m—1

又由tan。>0,tan；0>0,所以2tancr+tan分>2j2tanatan尸=2^6,

当且仅当2tana=tan〃时，等号成立，所以卫7二―二，解得m=3,

m+1m—\

所以*=3(m2-1)=24,所以〃=2\/6,

所以_的面积为gx2ax%=；x2x2#=2#.

故答案为：3；2面.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.如图，在平面四边形ABC。中，AB=AD=4,BC=6.

(1)若4=与，C=j,求sin/3£)C的值；

⑵若8=2,cosA=3cosC,求四边形ABC。的面积.

【答案】(1)：(2)160+8君

43

【详解】(1)在△ABZ)中，AB=AD=4,4=一，贝!|NAD3=：,

36

BD=2ADcosZADB=2x4xcos?=473,

6

BCBD

在△5CD中，由正弦定理得

sinZBDCsinC

-.71

)sin—

BCsinC3

sinZBDC=3

BD4734

(2)在△ABD和△及»中，由余弦定理得

BD2=AB2+AD1-2ABADCOSA=41+42-2X4X4XCOSA=32-32COSA,

BD2=CB2+CD2-2CBCDCOSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC,

得4cosA-3cosc=-1,又cosA=3cosC,得cosA=-；,cosC=-g,

Ul[l•人2及.4非

贝!JsinA=------，smCr=------，

39

四边形ABC。的面积S=SABD+SBCD=—AB,AD,sinA+—CB,CD,sinC

1/42厘1A。4^516A/2+8A/5

=—x4x4x------1——xox2x------=----------------.

23293

16.已知函数/'(»=(尤2-2x+a)e*,aeR.

(1)若。=1,求函数/(元)在xe[0,引上的最大值和最小值；

⑵讨论函数/(X)的单调性.

【答案】(1)最大值为4e3,最小值为0；(2)答案见解析.

【详解】(1)当.=1时，/(x)=(x2-2x+l)e\贝1」广(%)二(f—l)e)

令/'(x)=(%2—l)e“=0,得％=1或户一1,

由于尤e[0,3],

所以当尤w(0,1),/'(尤)<0,人元)在(0,1)单调递减，

所以当xe(1,3),f'(x)>0,f(x)在(1,3)单调递增,

所以“X)在x=l时取到极小值，且/⑴=0,

又因为〃。)=1,%3)=41,

综上，函数f(x)在尤e[0,3]上的最大值为4/,最小值为0.

(2)因为/'(x)=(炉-2x+a)e*,aeR,所以尸(x)=(x?+a-2)e*,aeR,

当a-2W0,即aW2时，/f(x)=(x2+a-2^ex>0,

/W在(-8,+00)单调递增，

当a-2<0,即。<2时，

令/'(x)=(x2+a_2)e'=0,则尤=±万工，

所以当芯0卜8,-12-4,f'(x)>0,于(x)在(-8,72-a)单调递增,

当尤ea,j2-a),/'(x)<0,/(x)在卜42-a,j2-a)单调递减,

当xe(j2-a,+ao)f\x)>0,/(力在(j2-a,+(»)单调递增.

综上所述，当时，/(X)在(-8,+8)单调递增，

当a<2时，f(x)在卜，2-a),(J2-a,+a?)单调递增,在(72-a,j2-a)单调递减.

17.2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年

春节联欢晚会》以“龙行11矗，欣欣家国”为主题，创新“思想+艺术+技术”融合传播，与全球华人相约除夕,

共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.为了解大家对“矗”这个字的认知情况，某网站进行了

调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：

C类：会读且会写但不理。类：会读、会写且理

认知情况A类:不会读不会写8类：会读不会写

解解

人数/万人103055

认知度分

507090100

值

(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；

(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行矗矗，欣欣家国”

这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻(即疆与矗相邻，欣与欣相邻)，则这个参与者可以获得

奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率;

(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼

品，这3人中属于。类的人数记为X,求X的分布列及数学期望.

133

【答案】(1)71,209(2)襦(3)分布歹(]见解析，—

【详解】(1)参与调查的人员认知度分值的平均数为

104

x=x(10x50+30x70+5x90+5xl00)=71

50xl04

方差为s?=^^*[10*(50-71『+30x(70-71)2+5x(90-71『+5x(10。-7炉]=209.

A8

(2)将这8个字随机排列，不同的排列方法有内种，

相同的字分别相邻的不同情况有A：种,

p=%=1

故参与者可以获得奖励的概率_A|_14.

AjA|

若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为C；x[x[l-星

(3)根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人,8类抽取12人，C类抽取2人，O类抽取2人，则X的所

有可能取值为0,1，2,则P(X=0)=^=^0251C2cl3

P(X=l}=^^=—fP(X=2)=匕》

73v73

Clo951C^20190C^20190

・・・x的分布列为

X012

68513

P

95190190

；.x的数学期望为E(X)=0x整+1X2+3

10

18.已知四棱柱ABCD-A耳如图所示，底面ABC。为平行四边形，其中点。在平面4月GB内的投影

为点4,且A8=M=2AD,NABC=120°.

（1）求证：平面AB。_L平面ADD]A；

（2）已知点E在线段G。上（不含端点位置），且平面ABE与平面Bcq片的夹角的余弦值为好，求肾的

5

值.

DE1

【答案】（1）证明见解析（2）==1

EC]J

【详解】（1）不妨设仞=1,

因为平面ABCRADu平面ABCD,故A£>_LA£>,

在/ADB中，AB=2,AD=1,ZDAB=60,

由余弦定理，BD1=AB-+AD2-2AB-AD-cosXDAB=22+12-2x2xlxcos60=3,

得BD=6,i^AD2+BD2=AB2,则AD_L£>B,

因为=平面4BZ）,所以AD,平面八啰。，

而45u平面所以平面AB。，平面A£>2A；

（2）由（1）知，。4。民。4两两垂直，

如图所示，以。为坐标原点，建立的空间直角坐标系。-孙z,

则O（0,0,0）,A（1,0,0）,B（0,也,0）,4仅,0,若）,C卜1,也,0）,

故AC=b2,也,0），AG=AC,

;.£卜2,君,石），所以43=（0,石，-石）,£>6=卜2,百,有），

^DE=ADQ（0<A<t）,则瓦=彳函=/2尢圆囚I）,即4

所以4石=卜2尢&,61-豆）；

设〃=(占,必,Z])为平面A硬的一个法向量，

n-A^B=y/iyl--s/SZ)=0

n-AiE=—22X]+y/3Ay^—--^3jZ)=0

令4=22,则必=22,X]=26>1一6，所以,

因为y轴，平面8CC内,则可取机=(0,1,0)为平面BCG4的一个法向量,

设平面AEB与平面BCC|A的夹角为1，

\n-m\22

贝"osc==I丁

吐网V2022-122+35

19.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆

球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度

测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实,

这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直

222

角坐标系下，椭球面r：=+A+」=l(a>0,b>0,c>0),这说明椭球完全包含在由平面

abc

%=±a,y=±仇z=±c所围成的长方体内，其中。也。按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某

椭球面与坐标面z=0的截痕是椭圆E:—十丁=1.

2

22

(1)已知椭圆£+春=1(。>6>0)在其上一点。(%,%)处的切线方程为爷+*=1.过椭圆E的左焦点片

作直线/与椭圆E相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点"，求ASM面积的最小

值.

(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖唯于5世纪末提