人教版九年级下册数学教案第26章 反比例函数

第26章反比例函数

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数

教材分析

本节课是人教版九年级下册反比例函数的第一节课，是继正比例函数、一次函数、二次函数之后的又一类型函

数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的

数学模型，从中体会函数的模型思想.因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有:

类比，转化，建模.

备课素材

日新课导入设计:

【情境导入】北京至上海的高速路全程约1200km,某人开汽车要从北京到上海，该汽车的速度v(km/h)和时

间t(h)之间的函数解析式为vt=l200,则t=L幽中，t和v之间是什么关系呢？是一次函数和正比例函数关系

v

吗？

【归纳导入】1.某人驾驶汽车从海门到南通，路程全长为50km,汽车每行驶1km的耗油量为0.1L.请回答

下列问题：

(1)若汽车从海门出发行驶了xkm后的耗油量为QL,请用含x的代数式表示Q；

(2)若这辆汽车驶离海门时油箱中有汽油60L,汽车行驶了xkm后油箱中汽油的剩余量为PL,请用含x的代

数式表示P;

(3)设这辆汽车匀速行驶，速度为vkm/h,该汽车从海门到南通所用的时间为th,你能用含v的代数式表示t

吗？

2.某中学要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为ym,宽为xm,用含x的代数式表示y.

3.已知某市的土地总面积为1.108Xl(f媪，人均占有的土地面积s(单位：km7人)随全市总人口n(单位：人)

的变化而变化，请用含n的代数式表示S.

㈡命题热点)

命题角度1判断一个函数是否是反比例函数

1.下列式子中，表示y是x的反比例函数的是(A)

8xx

A.xy=lB.y=《C.y=-D.

命题角度2利用反比例的概念求待定字母的值或取值范围

2.已知函数y=(m+3)x向t是反比例函数，则m=3.

命题角度3求反比例函数的解析式

3.已知函数y=5,当x=l时，y=-3,那么这个函数的解析式是(B)

3311

A-y=；丫=七C.y=-D,y=--

4.已知y与x成反比例，并且当x=-3时，y=-6.

(1)写出y关于x的函数解析式.

(2)当x=2时，求y的值.

(3)当y=2.5时，求x的值.

解：(l)y=Y.

(2)当x=2时，y=9.

(3)当y=2.5时，x=7.2.

命题角度4建立反比例函数模型

5.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度

数y与镜片焦距x之间的函数关系式为匕詈(无需确定x的取值范围)

6.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水

27

井的阻力和阻力臂分别是90N和0.3m,则动力F“单位：N)与动力臂L(单位：m)之间的函数解析式是三匚.

教学设计

课题26.1.1反比例函数授课人

1.理解并掌握反比例函数的概念.

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

素养目标3.会用待定系数法求反比例函数的解析式.

4.会用数学的思维思考反比例函数的形成过程，体验反比例函数是描述变量之间对应关系重要模

型.

1.理解反比例函数的意义，会求反比例函数的解析式.

教学重点

2.用待定系数法求反比例函数的解析式.

1.反比例函数的意义.

教学难点

2.用反比例函数解决实际问题.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.什么是函数？什么是一次函数？什么是二次函数？

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个

确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x

的函数.

一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，kWO)的函数，叫做一次函数.特别的，通过回顾学过的

当b=0时，y=kx为正比例函数.函数，有助于学生

回顾

一般地，形如y=axz+bx+c(a,b,c是常数，且aWO)的函数，叫做二次函类比得到反比例

数.函数的概念.

2.已知登山队原来所在位置的温度为10℃,海拔每升高1km,气温下降6℃.

若登山队又向上登高xkm,他们现在所在位置的温度为y℃,则y与x之间

的函数解析式为y=-6x+析.

3.若函数y=(k—1)(+2是关于x的二次函数，则k的取值范围是上1

【课堂引入】

问题1：有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样

的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的

无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场

地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请由实际问题入手，

活动一：创多少个队参加比赛？设计情景问题，有

设情境、导学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量助于激发学生的

入新课关系列出方程.若学生感觉困难，教师可做如下引导.兴趣，让学生易于

问题］等量关系：底面的长X宽=底面积,接受和理解.

若设切去的正方形的边长是xcm,则有方程(100—2x)(50-2x)=3600.整

理得4x2—300x+l400=0.

问题2教师可举例，由特殊到一般，帮助学生理解题意.

设邀请X个队参赛，每个队要与其他(x—1)个队各赛一场,因为甲队对乙队的

比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共5(x—1)场,于是得

到方程£x(x—l)=28,整理得X?—x—56=0.

【探究新知】

下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特

点？

（1）京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次1.注重学生的自

列车的全程运行时间（单位：）的变化而变化；

thv=L,主学习与探究，通

（2）某住宅小区要种植一块面积为1000m,的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）过自主获得新知，

随宽x（单位：m）的变化而变化；丫=上幽体验成功的快乐.

X

活动二：实2.让学生充分感

⑶已知北京市的总面积为1.68X10"媪，人均占有的面积S（单位：km2/A）

践探究、交受所列方程的特

随全市总人口11（单位：人）的变化而变化.S=L68X1>

流新知n点，通过类比的方

上述解析式都具有y=｝的形式，其中k是非零常数.

法得到反比例函

一般地，形如y=,（k为常数，kWO）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变数的概念，从而达

到真正理解定义

量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.（在y=｝中，自

的目的.

变量x是分式上的分母，当x=0时，分式上无意义.）

XX

有时反比例函数也写成丫=1«-我为常数，kWO）或xy=k（k为常数，kWO）的

形式.

【典型例题】

例1下列函数：①y—2x；②y—5x；③y—x；④y—其中是反比例函

数的有（C）通过练习，可巩固

A・0个B・1个C・2个D.3个和加深对新知的

活动三：开例2当m=L时，函数y=（ni+Dxni?—2是反比例函数.理解，培养学生严

放训练、体例3已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.谨的数学思维以

现应用（1）写出y关于x的函数解析式；及灵活应用所学

（2）当x=4时，求y的值.知识解决数学问

分析：因为y是X的反比例函数，所以设y=¥再把x=2和y=6代入上式就

题的能力.

可以求出常数k的值.

19

解：（l）y=1.

X

(2)y=3.

【变式训练】

1.若变量y是x的反比例函数，变量x与z,成正比例，则y与z的关系是(D)

A.成反比例B.成正比例

C.y与z?成正比例D.y与才成反比例

【课堂检测】

1.下列函数中，是反比例函数的是(D)

/、112

A.y(x+1)1B.y—C.y—D.y—

x—1x23x

2.下列问题情景中的两个变量成反比例函数关系的是(A)

A.汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度v

B.圆的周长1与圆的半径r

C.圆的面积s与圆的半径r

D.在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U

2

3.己知点A(l,a),B(b,2)都在反比例函数y=-"的图象上，则a+b=-3.

4.当m=2_时，函数y=(m+3)xm2+3m—1是反比例函数.

利用典型的练习

5.写出下列问题中两个变量之间的函数解析式，并判断其是不是反比例函数.

题进一步巩固所

活动四：课(1)底边为3cm的三角形的面积y(cm?)随底边上的高x(cm)的变化而变化；

学新知，同时检测

堂检测(2)一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，轮船的速度v(km/h)与航行时间

学习效果，做到

t(h)的关系;

“堂堂清”.

(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m,剩下的未检修的管道长y(m)

随检修天数X的变化而变化.

3

解：(1)根据三角形的面积公式可得y=gx,

所以不是反比例函数.

(2)因为vt=200,

所以两个变量之间的函数解析式为v—2，，是反比例函数.

(3)因为y+10x=100,

所以两个变量之间的函数解析式为y=100—10x,不是反比例函数.

6.已知y与2x—3成反比例，且x=3时，y=-2,求y与x的函数关系式.

解：设y—2x—3'

将x—3,y—2代入，佝2—9Q_QJ

乙/Noo

解得k=-6,

.6

,•丫―2x-3,

学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂小结：学生归纳本节课

(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？学习的主要内容，

(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.让学生自觉对所

课堂小结

2.布置作业：学知识进行梳理，

教材第3页练习第1,2,3题，教材第8页习题26.1第1,2题.形成体系，养成良

好的学习习惯.

26.1.1反比例函数

新课导入例题展示提纲挈领,重点突

板书设计

探究新知出

反比例函数的概念

反思，更进一步提

教学反思

升

经典导学设计

详见电子资源

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质的认识

教材分析

本节课是在学生已经学习了一次函数和二次函数的基础上，再一次进入函数的学习，因此学生对函数已不陌

生.学生已基本具备了研究函数的能力，通过本节课的学习，学生将进一步理解函数的内涵，并感受到现实生活中

存在各种函数.同时为后面应用反比例函数解决实际问题以及为高中学习其它函数打好坚实的基础，因此，学好本

节课就显得尤为重要.

备课素材

C4新课导入设正

【复习导入】(1)画函数图象的一般方法和步骤是怎样的？应注意什么？

(2)我们学习一次函数和二次函数时，研究了哪些内容？是如何研究的？

(3)一次函数、二次函数的图象分别是什么样子的？

(4)一次函数的性质有哪些？二次函数的性质有哪些？我们以前是如何探究一次函数、二次函数的图象和性质

的？

【类比导入】一次函数y=6x的图象是什么形状？反比例函数y=?的图象会是什么形状呢请大家猜猜看，我们

可以采用什么方法画？

通过创设问题情境，引导学生类比前面学习一次函数的图象和性质的方法，激发学生参与课堂的热情，开始本

节课的探究，为学习画反比例函数的图象打好基础.

学生思考、回答，教师根据学生活动情况进行补充和完善.

在活动中教师应重点关注学生对一次函数知识点的掌握情况和学生对描点法画函数图象的基本步骤的掌握情

况.

③命题热点〕

命题角度1判断反比例函数所在的象限

7

1.在平面直角坐标系中，反比例函数y=—l的图象的两支分别在(C)

A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限

2.反比例函数y=4的图象大致是(D)

X

ABCD

命题角度2求字母的取值范围

3.若反比例函数y=曰的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是⑻

X

A.kWlB.k<lC.k>lD.k<0

m—3

4.己知反比例函数丫=——的图象如图所示，则实数m的取值范围m>3.

X----

命题角度3反比例函数的增减性

5.若m<—1,下列函数：①y=mx,②y=—mx+1,③y=T(x>0),④y=(m+l)x,其中y的值随x的值增大

而增大的函数共有(B)

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.已知y=(m+l)xm2—m—7是关于x的反比例函数，若在每个象限内，y随x的增大而减小，则m的值是1

教学设计

26.1.2第1课时反比例函数的图象和性质

课题授课人

的认识

1.进一步熟悉作函数图象的步骤，掌握反比例函数图象的作法.

素养目标2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索、总结反比例函数的性质.

3.用数学的眼光观察反比例函数图象探索性质的研究过程，进一步体会数形结合思想.

教学重点画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质.

教学难点反比例函数的图象特征的归纳分析，总结出反比例函数的主要性质.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

教师提出问题：复习研究函数的

1.回忆一次函数的解析式及其图象的形状，二次函数的解析式及其图象的形一般方法，为学习

回顾状.反比例函数的图

2.回忆画函数图象的方法和步骤.象和性质做好铺

教师引导学生进行解答，学生回忆所学，教师做好补充和辅导.垫.

【课堂引入】

经历用“描点”法

_66

画出反比例函数y=~■和y=-—的图象.

XX画反比例函数图

活动一：创师生分析：画函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中象的基本步骤，可

设情境、导自变量x#0,按步骤画图如图所示.以使学生对反比

入新课例函数的性质有

,7

一个初步的整体

问成蛆两个函数图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？

感知.

学々L小组内讨论，并派代表回答问题，教师综合意见后进行归纳.

【活动1】

1919

在平面直角坐标系中，分别画出反比例函数y=；和y=―1的图象.

师生活动：学生在给定的平面直角坐标系中进行操作，教师巡视指导.

在此活动中，教师重点关注：

(1)学生能否掌握画反比例函数图象的步骤；

(2)学生能否用光滑的曲线画函数图象.

【活动2】

通过再次画反比

观察函数y=e和y=-9以及函数丫="和y=-”的图象后，回答问题

XXXX

例函数的图象，巩

(1)你能发现它们的共同特征及不同点吗？

固前面已获得的

活动二：实(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限？

作图经验,提高学

践探究、交(3)在每个象限内，y随x的变化而如何变化？

生画函数图象的

流新知学生结合图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质.教师参与讨

能力，增强对图象

论，积极引导.

的观察、分析、概

得到结论：

括能力.

(1)反比例函数y=;(k^O)的图象是双曲线；

(2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x

的增大而减小；

(3)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x

的增大而增大.

教师解析：反比例函数的图象是断开的.因为xWO,所以在讨论函数增减性时

会出现“在每一个象限内”的说法.

活动三：开【典型例题】通过例题的解答，

放训练、体例1若反比例函数y=3的图象分别位于第二、四象限，则k的取值范围加强对反比例函

X

现应用数图象及性质的

是⑻

理解,实现由知识

A.kNlB.kW-lC.k>lD.k<-l

2向能力的转化.

例2对于反比例函数丫=丁，下列说法中正确的个数是(B)

3x

①k=2；②图象位于第一、三象限；③在每一个象限内，y随x的增大而减小；

④在每一个象限内，y随x的增大而增大.

A.1B.2C.3D.4

【变式训练】

当x<0时，下列图象中表示函数y=—：的图象是(C)

【课堂检测】

1.如图是以下四个函数中哪一个函数的图象(C)

y

-6-4^(9246K

-6

.43

A.y=5xB.y=2x+3C.y=[D.y=—

X利用典型的练习

5

2.对于反比例函数丫=—，下列结论।中错误的是(B)题进一步巩固所

活动四：课X

A.图象必经过点(1,-5)B.y随x的增大而增小学新知，同时检测

堂检测

C.图象在第二、四象限D.若x>l,则一5<y<0学习效果，做到

3.已知反比例函数丫=也展，当111sl时，其图象在每个象限内y随x的增大“堂堂清”.

而增大.

4.已知反比例函数y=g的图象经过点(一3,2).

⑴求该反比例函数的解析式；

⑵在直角坐标系中画出该反比例函数的图象；

(3)观察图象，直接写出y>2时x的取值范围.

6

解：(l)y=-—.(2)图略.⑶-3<x<0.

X

学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

学生归纳本节课

1.课堂小结：

学习的主要内容，

(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？

让学生自觉对所

课堂小结(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说.

学知识进行梳理，

2.布置作业：

形成体系，养成良

教材第8页习题26.1第3题.

好的学习习惯.

26.1.2反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质的认识

1919

新课导入y=—和y=----的图象

XX

提纲挈领,重点突

板书设计

出

探究新知反比例函数的性质

y='和y=—?的图象例题展示

反思，更进一步提

教学反思

升

经典导学设计

详见电子资源

第2课时反比例函数的性质的应用

教材分析

在上一课时的学习中，已初步了解了反比例函数的图象与性质.在此基础上，本节课通过例3、例4来更加深

刻地阐述反比例函数的图象与性质，将初步认识转化为深入理解，为后续的实际问题与反比例函数做好准备.同时,

体现了数形结合这一重要思想.

备课素材

@新课导入设计

【复习导入】教师提出问题：

1.反比例函数解析式的一般形式为y=f(k为常数，k¥0),其图象为双曲线.

9

2.反比例函数y=:的图象在第一、三象限,在每一个象限内，y随x的增大而减小.

3.若反比例函数y=｝的图象经过点(2,-1),则k的值为二2.

教师引导学生进行解答，学生回忆所学，教师做好补充和辅导.

㈡命题热点)

命题角度1利用反比例函数的性质比较大小

1.点Pi(xi,-1),P2(x2,-2),P3(x3,3)在双曲线y=：上，则(A)

A.xiVx2VX3B.xi>X2>X3C.X3VX1VX2D.xi>X3〉X2

3

2.已知点(xi,y。，(x2,y2)在反比例函数y=—［的图象上.如果xi〈X2,那么yi与y2的大小关系正确的是(D)

A.yi<y2B.yi=y2C.yi>y2D.无法判断

命题角度2反比例函数中系数k与图形面积的关系

3

3.如图，点B在反比例函数y=1的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A,C,则矩形OABC

的面积为3・

/2

4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y=-(x>0)

X

的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO,PA,PB,PC,则图中阴影部分的面积是

y\

c\

命题角度3反比例函数与几何图形综合

5.如图，菱形AOBC的边B0在x轴正半轴上，点A的坐标为(2,2小),反比例函数y='的图象经过点C,则

X

k的值为(C)

A.12B.4小D.6小

AC

Bx

6.如图，RtZXOAB的直角顶点B在x轴上，双曲线y=](k〈0)经过0A的中点D,且与边AB相交于点C.若点A

的坐标为(-6,4),则点C的坐标是(一6,1).

命题角度4反比例函数与一次函数综合

7.已知函数丫1=乂与y?=’在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，yi>y2(C)

X

A.x<—1或x>lB.x<—1或OCxG

C.-l〈x〈0或x或D.-l〈x〈0或0〈x<l

Dix

8.如图，正比例函数y=,x的图象与反比例函数y=：(kW0)的图象交于A(a,-2),B两点.

⑴求反比例函数的解析式.

⑵点P为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C,连接P0,如果APOC

的面积为3,求点P的坐标.

解：(l)y=|.(2)P(2小，生，)或(2,4).

教学设计

课题26.1.2第2课时反比例函数的性质的应用授课人

1.进一步理解和掌握反比例函数的图象及其性质.

2.能灵活运用函数图象和性质解决一些综合问题.

素养目标

3.会用反比例函数的图象及其性质解决实际问题，提高学生观察分析的能力和对图形的感知水平，

使学生从整体上领悟研究函数的一般要求，培养学生学习数学的兴趣，增加学生学习的自信心.

1.理解并掌握反比例函数解析式，并能利用它解决一些综合问题.

教学重点

2.理解常数k的几何意义，并用其几何意义求面积、解析式等.

教学难点灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.反比例函数y=K的图象经过点A(—3,2),则此反比例函数的解析式为三

X---

_6

区别于一次函数丫=1«+13,类似于正比例函数y=kx,反比例函数y=K中只有

通过复习反比例

X

L个待定系数k,只需L组x,y的对应值即可确定反比例函数的解析式.函数的图象和性

回顾

质，为新课的讲授

2.函数y=一;的图象位于第二、四象限,在每一象限内，y随x的增大而增

做好铺垫.

大；函数y=\的图象位于第一、三象限,在每一象限内，v随x的增大而减小.

3.我们已经学习了反比例函数的哪些内容？今天我们继续学习反比例函数的

有关知识.

活动一：创【课堂引入】通过问题的设置，

设情境、导出示问题(教材第7页例3)：引导学生对反比

入新课已知反比例函数的图象经过点A(2,6).例函数性质进行

(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？复习，激发学生的

⑵点B(3,4),点一一aD(2,5)是否在这个函数的图象上？学习兴趣，引入课

题.

师生活动：教师引导学生利用反比例函数的性质进行解答，学生先独立思考，

再小组内讨论，最后书写解题过程.

问题1：确定一个反比例函数需要什么条件？

问题2：如何判断一个点是否在反比例函数的图象上？

【活动1】教师引导学生解答例题

1.在分析反比例

教师活动：教师引导学生分析得出解彳手上述问题的关键是求出反比例函数的解

函数的增减性时，

析式，问题⑵的解决方法要突出反比例函数的特点，图象上的点的横、纵坐

一定要注意强调

标之积等于比例系数