青海2023-2024学年高三年级下册第一次模拟考试数学（理）试卷（含答案解析）

青海涅川中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数

学(理)试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知复数z=(aT)-2ai(aeR),且忖=5,若z在复平面内对应的点位于第二象限，

则。二()

A.—2B.C.2D.—

55

【答案】A

【分析】

17

先根据忖=5求出。=-2或。=苓，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除

即可.

【详解】由题意|z|=J("l)2+(-2a[=5,得5〃一2a—24=0,得。=一2或。=g,

—1<0

因Z在复平面内对应的点位于第二象限，所以c八，故°<0,故。=-2,

[—2a>0

故选：A

2.已知集合人=｛耳了=垣(-元2+2彳+3)｝,8=｛无|尤2_4<0｝,则AD3=()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】C

【分析】

根据对数真数大于零和一元二次不等式的解法可分别求得集合A,8,根据并集定义可求

得结果.

2

【详解】由一V+2x+3>0得：X-2X-3=(X+1)(X-3)<0,.-.-1<X<3,.-.A=(-l,3)；

由好一4<0得：(x+2)(x-2)<0,,―2<x<2,.-.5-(-2,2),AUB=(-2,3).

故选：C.

3.己知等差数列｛4｝的前“项和为S“，若g=7,%=16,则几=()

A.325B.355C.365D.375

【答案】D

【分析】根据等差数列，求出4，4,进而求得Hs.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，4=7,%=16,

公差d=———=3,a=a-d=4,

5-2l2

bi15x(15-1)

所以几=4x15+————1x3=375,

故选：D.

4.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生

400人.现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数

为()

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】

由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.

【详解】高三年级被抽到的男生人数为36x120°;/。0=36*M=15.

120012

故选：C.

22

5.已知双曲线C：5一当6>0)的一条渐近线的方程为2彳-3k0,若C的

ab

焦距为2岳，贝Ua+6=()

A.4B.5C.6D.10

【答案】B

【分析】

fv?bh

由双曲线1=l(a,b>0)的渐近线斜率为：，可求出2；再由双曲线的焦点横坐标

为曲石,可求出77万.最后同时使用两个条件即可计算出。+近

f«bb

【详解】由于双曲线'一方=1(。,6>0)的渐近线是>=：X和丁=一、x,故渐近线的斜

率的绝对值为2b,

a

27h2

而直线2x-3y=。即直线y==x的斜率为:，故2=；.

33a3

又由于该双曲线的焦距为2加，故°=9，从而荷+加=c=A-

试卷第2页，共24页

(a+&)Va2+b~

从而0+b=

-Ja2+b2

故选：B.

6.现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下,

乙也被选中的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3456

【答案】A

【分析】

记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算尸伊同即可.

【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.

4?

由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故尸（4=而=不

而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙

之外的8名特种兵中任意选择2名，

故选取方式有C；种，从而网钻）=*=芸=[.

2

故P（网力=需=?=3,A正确.

5

故选：A.

7.如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是一个圆

柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图，且矩形的长为2,宽为3,扇形的圆心角为三,

半径等于矩形的宽，若圆柱高为3,则圆柱和圆锥的体积之比为（）

C.72:737D.72:5^5

【答案】D

【分析】

先求出圆柱的体积，再得到扇形的弧长，再求得圆锥的体积，最后求出体积比.

【详解】因为矩形的长为2,宽为3,所以圆柱的底面半径为1,高为3,

所以圆柱的体积为itr2h=兀乂仔＞＜3=3兀，

7T

因为扇形的圆心角为：，半径等于矩形的宽，所以半径为3,

根据弧长公式可以得到扇形的弧长为12”3=兀

2兀

..7T]

又扇形的弧长等于底面圆的周长，所以圆锥底面圆的半径为方=5

所以根据圆锥的体积公式得到圆锥的高为=x

所以圆锥的体积为工“z扪nLxTTxOSZxYiSMXiETr,

33224

3K_72

所以圆柱和圆锥的体积之比为71藐二而，

24

故选：D.

8.执行如图所示的程序框图，若输出的S=10,则判断框中应填()

A.n<10B.n<10C.n>10D.心10

【答案】c

【分析】

根据程序框图模拟程序计算即可.

【详解】第一次循环S=o+1,〃=2,第二次循环S=l+1,〃=3,

第九次循环S=9,”=10,第十次循环S=10,〃=ll,此时结束循环，所以力＞10.

故选：C

9.在梯形A2CD中，AD//BC,AD=6,8c=8,AB=4,CD=5,E,尸分另lj为A。,

8。的中点，则跖=()

A.叵B.显C.晒D.包

222

【答案】A

试卷第4页，共24页

【分析】由题意，过点E作EG//AB，交BC于G,EHHCD，交BC于H,分别在AEGH,

AEG尸运用余弦定理，求出所即可.

【详解】

过点E作EG〃/交BC于G,EH//CD,交BC于H,

又因为AD//BC,EG//AB,EH//CD,

所以四边形ABGE和四边形CDEH为平行四边形，

所以AE=BG,DE=CH,AB=EG,DC=EH

因为AD=6,BC=8,AB=4,CD=5,

所以GH=BC-（BG+CH）=BC-AD=2,

因为E,尸分别为4D,BC的中点,

所以AE=DE,BF=CF,

所以GF=EH,

EG2+GH1-EH142+22-52_5

所以在aEG"中,cosNEGH=

2EGGH2x4x2~16

39

所以在.EGF中,EF2=EG2+GF2-2EG.GF-cosZEGH=—

2

所以人耍

故选：A.

10.已知函数"x)=Asin(s+e)(A>0,0>0，3<图象的一个最高点的坐标为

距离C点最近的一个零点为g,设8点在y轴左侧且为/"(力图象上距离y

轴最近的一个对称中心，。为坐标原点，则BOC的面积为()

717171

A.兀B.C.D.

27

【答案】C

【分析】

根据最高点确定A的值，由距离。点最近的一个零点为结合周期可求出口，代入

点。可求出由对称中心的求法及题意可确定点3,进而得到5OC的面积.

【详解】因为函数“同图象的一个最高点的坐标为。

故A=2,

又距离c点最近的一个零点为曾，

所以即7=兀，

所以①=2,

将代入/(X)=2sin(2x+0),得2x^•+O=]+2也,左£Z,

TT

解得"1+2kK,左£Z,

因为冏<],所以夕=q,

所以〃x)=2sin12x_m),

令2x-»=kit,kwZ,则苫=乌+色,％eZ,

362

因为8点在y轴左侧且为/(x)图象上距离〉轴最近的一个对称中心，

故《-别，

LLt、tC1兀入7T

所以sBOC=5*§乂2=耳.

故选：C

11.我们把函数图象上任一点的横坐标与纵坐标之积称为该点的“积值”.设函数

_九2_6x+5Vv0

二二一图象上存在不同的三点A,B,C,其横坐标从左到右依次为

e-1,尤>0

玉，演，X3，且其纵坐标均相等，则A,B,C三点“积值”之和的最大值为()

A.51n6-30B.51n6-60C.61n5-30D.61n5-60

【答案】A

【分析】依题意，画出了(x)的大致图象，结合积值的定义构造函数，利用导数求其最

大值.

【详解】依题意，A,B,C三点“积值”之和为(玉+%2+X3)%y=/(%)=/(x2)=/(x3)，

，/、f—2x—6,x<0/、/、/、/、

因为/'(X)=*n，可得在(-叫―3)和(0,+8)上单调递增，在(-3,0)上

Ie9%>u

单调递减，

当X一-8时，“X)­〃-3)=14,/(-6)=/(0)=5;

当X-+8时，/(%)-»+<»,可画出大概图象：

试卷第6页，共24页

且有玉＜龙2＜工3，使得/（西）=/（马）=/（看），那么必有

玉e[-6,-3）,x2G（—3,0],%3G[in6,In15）,

且为，三关于x=-3对称，即再+无2=-6,y=/（玉）=/（々）=/（£），ye[5,14）,

玉=-3—,14—y,x2=—3+J14—y，F=ln（l+y）,

则A,B,C三点“积直，之和（再+^+w）y=yln（l+y）-6y,

令。（y）=yln（l+y）-6%"（y）=0+y）ln（：：；）5y6＜o,研田单调递减,

当y=5时取最大值，°⑸=5山6-30,

故选：A.

12.已知过抛物线C：V=8x焦点/的直线/与c交于A,8两点，以线段为直径

的圆与y轴交于。，E两点，则前的取值范围为（）

A.（0,1]B.1°用C.g』一口J膏

【答案】B

【分析】分类讨论直线/的斜率存在与不存在，设出直线的方程联立方程组，求出

IlIIDE

\AB\^xl+x2+p,\DE\,然后作比值，构造函数求函数的最值即可求得工水的取值范

I\LJ

围.

【详解】如图:

抛物线C：y2=8x,所以焦点产（2,0）,

所以当直线/的斜率存在时，

设直线/的方程为y=M尤-2乂b0）,4（/%）,贝的力）,

由2），得/产一（4人?+8卜+4左2=0,

4M।ee（4

所以百+々=竺/=4+?，由于圆心H为A8的中点，则呼+记,打

根据抛物线的定义可知\AB\=xl+x2+p=8+^

所以圆H的半径r=：AB|=4+g,

过H作HGLDE,垂足为G,则|"G|=2+\,根据垂径定理,

K

得回=2|2G|=2j产=2412+盘,所以

,DE

贝1

JFATB=

4+F

所以〃⑺＞力（2抬）=当，，所以.入万Y

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为l=2,

止匕时|AB卜七+/+〃=8,|0目二2|DG|=2742-22=473,

所以D焉E=卓

AB

试卷第8页，共24页

DE

综上,成的取值范围为

故选：B.

【点睛】本题以抛物线为载体，在知识点交汇处命题，注重创新，考查解析几何的多个

热点知识点，同时兼顾函数思想的考查，分类讨论联立方程组求解，转化为函数的最值

问题求解即可.

二、填空题

13.已知向量。=(3,2),b=(-2,l),则向量a+B在6方向上的投影为.

【答案】见之后

55

【分析】

\a+b\b

计算出向量°的坐标，然后由向量a+b在6方向上的投影为「计算求解即可.

\b\

【详解】因为向量@=(3,2),6=(-2,1),所以。+6=(1,3),

,八(a+b\b175

则(〃+q6=-2+3=1,所以向量a+6在6方向上的投影为：'J飞

故答案为：。

14.已知函数〃x)=e'-eT+x,则不等式“为-2)+〃相+1)>0的解集为.

【答案】

【分析】

根据奇偶性定义和函数单调性的性质可化简所求不等式，得到自变量的大小关系，解不

等式即可求得结果.

【详解】/(X)的定义域为R,/(-x)=e--e^-x=-/(x),

\/(勾为定义在R上的奇函数；

.y=e，与y=x均为R上的增函数，尸1为R上的减函数，

\”勾为定义在R上的增函数；

由〃2加一2)+/(租+1)>0得：f(2m-2)>-f(m+l)=f(-m-l),

:.2m-2>-m-l,解得：%_2)+/(%+1)>0的解集为(g,+(»

故答案为：^J,+G0j-

15.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且％=1,a,-an_^T-\n>2),若对任意的正整

数”，不等式(2+4)。+5“)1082%,>"恒成立，则九的取值范围为

【答案】,+co^

【分析】

由累加法求出数列｛q｝的通项，再由等比数列求和公式求出s“，再利用指数函数和幕函

数的增长速度简单放缩找到分离常数后不等式右边的最大值，最后求出结果即可

2

【详解】因为4=1,an-an_x=T-[n>i）,

所以由累加法可得

"〃=〃]+（%—）+（“3-〃2）++

=1+2°+2、+2/-2

1-2

=2+2x07-1）

=2"T

当〃=1时，/=1符合上式，所以%=2-,

所以S=I'。一=2"一1，⑸=2*\

"1-2

（2+A）（l+S„）log2a2„

2-1

=（2+2）（l+2"-l）log22"

=（2+2）x2"x（2w-l）

因为不等式（2+4。+5“）壮2%>/恒成立，即（2+%）x2"x（2"-l）>/恒成立,

即2+人春可刁恒成立’

又2〃-121,所以

、i4°n2n22n1

当">4时’"<2",AJ2BX（2W-1）<2nx7<2"x7=7）

上,n2_9_9

当"=3时，—77TV=7~~,

2"x（2n-l）8x540

,n241

当〃=2时’2"x（2"l）=而=1

试卷第10页，共24页

,1/11

当7T时’2隈(2-1)=西=展

所以当”=1时，不等式右边取得最大值

一13

所以2+2>不，解得4>-不，

2,乙

故答案为：

【点睛】关键点点睛：

(1)对于形如aa-4T=2"-2("22)这种递推关系的数列可用累加法求通项；

(2)对于含参数的数列不等式恒成立问题可采用分离常数后求最值来求参数的范围，

有时需要进行简单的放缩比求导更简单.

16.我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵.其意思是：一个长

方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵.如图，在长方体ABC。-A4C0中，

AB=3,BC=4,M=5,将长方体ABCD-&耳£〃沿平面ABC.D,一分为二，得到堑

i^BCQ-ADD,,下列结论正确的序号为

①点c到平面A2G2的距离等于噂L

41

③堑堵BCC「AOQ外接球的表面积为100兀；

④堑堵BCC「ADR没有内切球.

【答案】①④

【分析】

对于①，直接通过等体积法求解；对于②，选择合适的两组边并计算其夹角的正弦值即

可；对于③，直接构造出球心即可确定外接球的半径，从而计算出表面积；对于④，假

设内切球存在，然后推出矛盾，即可说明内切球不存在.

【详解】如图所示:

由于A3垂直于平面BCC由，GB在平面BCC4内，所以

而AB=DC=D£,所以有平行四边形A3G，，从而四边形ABC1，是矩形.

对于①，由于四面体A8CG的体积V=印忸C|1|44j=；xgx3x4卜5=10,

同时忸^\BCf+\CCf=16+25=41,

所以忸Cj=而，这表明矩形ABC】A的面积为•忸G|=3回，

从而三角形48G的面积S=生电.

2

设点C到平面ABG2的距离为〃，则有V=；Sh,

__3V_3-10_20A/41

从而z―3回一41，①正确；

2

对于②，由于GBLAB，CBVAB,A3在平面ASCD内，

所以GB与平面A3C。所成角的正弦值为sinNQBC=义=£==孚，②错误;

试卷第12页，共24页

对于③，记长方体ABCD-A4的中心为0,

则。到长方体的每个顶点的距离都是体对角线长的一半，即

,J9+16+25=里.

22

故以。为球心，半径为逆的球同时经过堑堵BCq-ADR的每个顶点,

2

故是堑堵BCC「ADR的外接球,

从而堑堵BCC,-ADD,的外接球表面积S=4兀=50兀③错误;

对于④，假设堑堵BCC「AD?有内切球，设该内切球的球心为/,半径为厂,

则/在堑堵BCC「ADD,内部，且到堑堵BCC「ADR的每个面的距离都是r.

所以堑堵BCG-ADR的体积等于四棱锥/-ABC。、四棱锥/-A^GA、三棱锥

I-BCG和三棱锥I-ADD,、四棱锥/-CDD£的体积之和,

记矩形A5CD、矩形ABCQ、三角形BCG和三角形矩形CDQG的面积分别为

Sl9S2,S3,S4,S5,

贝I]S[=3x4=12,s?=3x向=3屈,S3=1x4x5=10,S4=1x4x5=10,

S5=3x5=15.

「

同时，堑堵BCCADD,是对长方体ABCD-\B}CXDX一分为二得到的,

故堑堵BCq-ADR的体积是长方体ABCD-A4CR的一半,

从而堑堵BCC「ADD,的体积%=gx3x4x5=30,这就说明:

)⑸+S2+S3+S4+S5)

|rS1+|rS2+|rS3+|rS4+|rS5

r~~j-1

§(H+s?+邑+邑+&)§(E+邑+邑++S5)

%3%90

4+S2+S3+S4+S547+3历•

1(s1+s2+s3+s4+s5)

但是I到平面BCCt和平面ADD,的距离相等，且平面BCQ和平面ADD,是长方体

ABCD-^QD,的一组对面，

故它们平行，且距离为|AB|=3.

所以I到平面BCC,和平面ADD,的距离都等于平面BCCt和平面ADD,距离的一半，

3

从而，=彳.

这就导致了矛盾，所以堑堵BCG-AD，不存在内切球，④正确.

故答案为：①④.

【点睛】思路点睛：判断④我们还可以这么思考：如果存在内切球，那么内切球的最大

圆面在侧面三角形BCG内的投影为三角形BCG的内切圆，故几何体是否存在内切球等

价于三角形BCq内切圆的半径与深是否相等.

三、解答题

17.已知.ASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且过鸟+理勺=6cosC.

sinBsinA

⑴证明：a2+2b2=3c2;

⑵若c=7,当C取最大值时，求，ABC的面积.

【答案】（1）证明见解析

⑵吟

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化角为边即可证明；

（2）利用cosC=:[学+2],借助基本不等式得到C取最大值时，cosC=变，求出

ba）3

的值，进而得到，ABC的面积.

【详解】（1）因为..+1~-=6cosC,

sinBsmA

所

以b

2<一7

bH—=6cosC,

a

所222

以b（a+b-c

2«一

b

a2ab

化简得"+2/=302.

当且仅当学=2,即b=0a时等号成立，即C取最大值，

ba

BPcosC=@+"----—，又b=y[2a，c=V?，sinC=V1-cos2C=,

3lab3

nnV105,7^5

即a---------，b----------，

55

试卷第14页，共24页

所以SABC」仓电叵叵？①里

255310

18.某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产的产品质量得到改进与提升，经过一

年来的市场检验，信誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量

(2)建立了关于f的线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量；

(3)为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员(人

数很多)中随机抽取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%,

“质量良好”、“质量还需改进”的分别各占30%,20%,然后在所有参会人员中随机抽取

5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价“产品质量很好”的人数为随机变量X,

求X的分布列与期望.

参考数据：E(%-y)2=2.6,'(4一矶％7)=8.4,718^2»4.27.

i=\i=l

【答案】(1)订单量y与f的线性相关性较强；

(2)y=0.3尤+4.6,7.6万件；

(3)分布列见解析，期望为g.

【分析】

(1)根据相关系数的公式及表格代入数据计算即可判定;

(2)根据最小二乘法计算即可得回归方程，代入t=10即可预测估计;

(3)根据二项分布的分布列与期望公式计算即可.

【详解】(1)由表格可知

1+2+3+4+5+6+74.7+5.3+5.6+5.9+6.1+6.4+6.6

=5.8,

77

£&H=28,

i=l

8.44.2cru

所以「=i=li=b------>0.75

718.2x44.27

即订单量y与/的线性相关性较强；

.84

(2)结合数据及(1)可知：b=上-----------------=-=0.3,

》—)228

4=1

则6=$—归=5.8-0.3x4=46，

所以y关于f的线性回归方程为：y=0.3x+4.6,

显然f=10ny=7.6,即预测该公司2024年3月份接到的订单数量为7.6万件；

(3)易知X=0,1,2,3,4,5,

5

1

p(x=o)=建,尸(x=l)=c；

2324卷

3

1010

尸(X=2)=C1-1尸(X=3)=C；

3232

1

尸(X=4)=C1-11=1，P(X=5)=C；

32

分别列表如下:

则E(X)=(l+4)£+(2+3)55805

X-------1-------二

1632322

19.如图，圆柱。。的轴截面488是边长为4的正方形，点P在底面圆。上，BF=2，

点G在线段上运动.

试卷第16页，共24页

⑴当QG〃平面0A尸时，求线段。6的长度；

（2）设PG=4EB（04X41）,当0Q与平面D4尸所成角的正弦值为叵时，求2的值.

86

【答案】（1）M

⑵"I或g

【分析】

（1）利用线面平行当。G〃平面D4尸时，找到G,Q两点重合，再建系后利用空间两点

间距离公式求出线段的长度即可；

（2）建系后找到面ZMF的法向量=若,0）和昶=（1+4后-唐,-4）,代入空

间向量法求线面角的公式，解出4值即可.

z

【详解】（1）

取的中点P,Q,连接

因为四边形ABCD为边长是4的正方形，所以尸0〃尸。=2,

所以AB//CD,所以。Q//PQ,DOl=PQ,四边形为平行四边形,

所以「。//。①，

因为PZ）u面D4尸，尸。//。1。且。卫不在平面八AF内,

所以。。〃面D4尸，

所以当G,Q两点重合时，QG〃面丽,

因为。日，面ARE,

可以以AB,。。为无,z轴，建立一个空间直角坐标系,

所以3（2,0,0）,3尸=2,钻=4,

,3J3）

则方（1,-君,0）

,G—,——,0,Ox（0,0,4）,

\7

2

Ofi=+42=719.

（2）设G（x,y,0）,

试卷第18页，共24页

FB=(l,V3,0),FG=(x-l,y+V3,0),

因为FG=XF8(OV/IW1),则G(l+/L,8-g,0),O|G=(l+4&-W,-4),

由直径对应的圆周角为直角，易得族_1面八4尸，所以面ZM尸的法向量阳=(1,也,。)，

设QG与平面D4尸所成角为。，则

|1+X+3/1—3|143

2X^(1+2)2+(A/32-A/3)2+4286'

化简可得9%一94+2=0,解得彳=：2或，1

20.在平面直角坐标系元0y中，已知动圆M过点(1,0),且与直线尸-1相切.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

⑵过点A(l，2)作斜率分别为左，◎的直线A3,AD,与C分别交于点2,D,当直线3。

恒过定点(TQ)时,证明：…2=2.

【答案】⑴/=4x

(2)证明见解析

【分析】

(1)由两点间距离公式结合题意列方程化简可得；

(2)设直线8。的斜率为左,由点斜式写出直线8。的方程为丁=左(％+1),直曲联立，

得到韦达定理；再根据斜率的定义用民。两点坐标标出斜率K，k2,把韦达定理代入后

化简可得.

【详解】(1)设M(x,y),由题意可知,(x—iy+V=|x+l|,

两边平方后化简可得y2=4x,

所以动圆圆心M的轨迹C的方程为V=4x.

（2）

证明：由题意可知直线3。的斜率存在且不为零，设为人,

则直线8D的方程为3=左(工+1),同时设3(%,%),£)(■%%)，

联立［=：£*°，消去>可得廿£+(2左2-4卜+/=0,

A=（2）t2-4）2-4^4=-16）t2+16>0,

2k2-47y—27%—2

斯马=又/—

石+%2=----记一1'

所以

［上（演）］（冗2）［（尤2）］（玉）2（玉+%2）—左+

%—2।%-2+1-2-1+:+1—2—12fcxM—224

k]+k2~

%—1%2—1再入2一（石+%2）+1%％2一（再+%2）+1

2P-4。/2人之一4

2Z+2x4.4-2Z+42x+2

代入韦达定理后化简可得--------单----------=------2=2，

,2/4,2左2-4c

所以%+履=2.

【点睛】方法点睛：(1)求轨迹方程时可设动点坐标为(毛力，常用利用两点间距离公

式化简可得；(2)求斜率之和为定值可先用韦达定理表示出斜率之和，再代入斜率的定

义式化简.

21.已知函数=——lnx+a.

⑴若〃x)WO,求。的取值范围；

⑵若〃尤)有两个零点不，巧，证明：尤「无2<1.

【答案】⑴

(2)证明见解析

试卷第20页，共24页

【分析】

（1）由导数确定函数的单调性及最值，即可求解;

（2）“X）的零点满足0<%<1<芍，要证尤1・尤2<1，即证了2<,，通过设函数

F(x)=然后求导判断函数"X）在（0,1）上的单调性，可得>/

结合函数”X）在（L"）的单调性即可证明.

【详解】（1）由题意可知“X）的定义域为（0,+8）,且

1xe-e'1（xf（x—e）

对于y=x-e*,有y'=l-e*<0在（0,+e）上恒成立，即丫=尤-/递减，

所以x-e*<0-e°=-l,即尤-ero在（0,+e）上恒成立，

当xe（O,l）时，用x）>0,当xe（l,+<»）时，/,（x）<0,

所以/（元）在（。,1）上单调递增,在（1,+«>）时单调递减,

所以当x=l时，函数/⑺有最大值，f（l）=l-e+a,所以1-e+aVO,

即aVe-1,所以。的取值范围为

（2）不妨设再<々，由（1）知0<占<1<%,即一>1,令F（xJ=/（无J-/

x1ex]ex]-

构造/(%)=x--e---Inx----F-j-+ln—=x-----21nx----Fxe》,且xw(0,1),

x£x

x

…，/\ex(x-l)2111

所以/(x)=l————+—+ex+xex

XXX

x2-e%(x-l)-2x+l+x2ex-xex(x-1)-e%(x-1)+xex(.x-1)

令g(x)=l-e、+x1,则g'(x)=l-e*+ex+xe"l-ex+e%

当xe(O,l)时，g<x)<0,g(x)递减,故g(x)>g⑴=0,

所以xe(O,l)时F(x)<0,尸(x)单调递减,故尸(x)>尸⑴,

即在(。,1)上/(x)_/(J>P(l)=O,所以〃占>0,

X/(x,)=/(x2)=0,所以/(马)_/1}]>0,即

由(1)知/(X)在(1,+«2)上单调递减，所以尤2<工，故士•无2<1得证.

[工一t

22.在平面直角坐标xOy中，直线/的参数方程为Jy=1+R(f为参数)，以。为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕2cos26=4.

(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)试讨论直线/与曲线C公共点的个数.

【答案】