人教版高一年级下学期期末考试数学试题与答案解析（共五套）

人教版高一年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则z的虚部为（）A． B． C． D．2．已知向量，，若向量与向量共线，则（）A． B． C． D．3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）A．10 B．09 C．71 D．204．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（）A． B． C． D．5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（）A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定6．在中，，，，M为BC中点，O为的内心，且，则（）A． B． C． D．17．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（）A． B． C． D．8．如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连接．那么在翻折过程中：①总有成立；②存在某个位置，使；③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变．其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知100个数据的75百分位数是，则下列说法不正确的是（）A．这100个数据中一定有75个数小于或等于B．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第74个数据的平均数10．设为复数，．下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．下列命题中，正确的是（）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（）A．若且λ>0，则点P在线段BC的延长线上B．若且λ<0，则点P在线段BC的延长线上C．若，则点P在△OBC外D．若，则点P在△OBC内第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是_______．14．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为________．15．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为__________．16．已知圆锥的底面积为，高为，则这个圆锥的侧面积为________cm2，圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________cm2．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数，，为虚数单位．（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若，求的共轭复数．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；（3）估计居民月均用水量的中位数．19．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．（1）求和的值；（2）试求两人共答对3道题的概率．20．（12分）如图所示，在三棱柱中，侧棱AA1⊥底面ABC，，D为AC的中点，，．（1）求证：平面BC1D；（2）求AB1与BD所成角的余弦值．21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围．22．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面垂直底面，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．参考答案第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则z的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，虚部为，故选C．2．已知向量，，若向量与向量共线，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，因为向量与向量共线，所以，解得，故选A．3．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）A．10 B．09 C．71 D．20【答案】B【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选B．4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有个三个位数，若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可组成，所以这个三位数是3的倍数的概率为，故选C．5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（）A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定【答案】C【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则，，若比较与的大小，只需比较与的大小即可，而，，所以，从而，故选C．6．在中，，，，M为BC中点，O为的内心，且，则（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由题知，，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径，四边形AEOF为矩形，则，又，则，则，则，故选A．7．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当开关合上时，电路畅通即表示至畅通且至畅通，至畅通的概率，至畅通的概率，所以电路畅通的概率，故选A．8．如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连接．那么在翻折过程中：①总有成立；②存在某个位置，使；③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变．其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．①③C．②③ D．以上选项都不对【答案】B【解析】①∵，∴，，又，∴平面，∴，故①正确；②假设存在某个位置，使得，连接，则，，故平面，∴，又由（1）知，，∴平面，∴，∴，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误；③存在点，满足，取的中点，连接，易得，，设底面三角形的边长为，则，，，∵平面，故平面，∴，故是直角三角形，∴，故③正确，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知100个数据的75百分位数是，则下列说法不正确的是（）A．这100个数据中一定有75个数小于或等于B．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第74个数据的平均数【答案】ABD【解析】因为为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位，所以A、B不正确；C正确；D不正确，故选ABD．10．设为复数，．下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误；由可得，因为，所以，即，B正确；因为，，而，所以，所以，C正确；取，，显然满足，但，D错误，故选BC．11．下列命题中，正确的是（）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形【答案】ABD【解析】对于A，由，可得，利用正弦定理可得，正确；对于B，在锐角中，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于C，在中，由，利用正弦定理可得，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误；对于D，由于，，由余弦定理可得，可得，解得，可得，故正确，故选ABD．12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（）A．若且λ>0，则点P在线段BC的延长线上B．若且λ<0，则点P在线段BC的延长线上C．若，则点P在△OBC外D．若，则点P在△OBC内【答案】BC【解析】因为，若且λ>0，则，故，即，又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；若且λ<0，同上可得，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；若，，同上可得，当时，，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；若，不妨令λ=0，，则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误，故选BC．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是_______．【答案】【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得，，又由函数在上为减函数，则，即，当取1时，可取2，3，4，5，6；当取2时，可取4，5，6；当取3时，可取6，共9种，又因为的取值共36种情况，所以所求概率为，故答案为．14．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为________．【答案】1【解析】复数满足为虚数单位），设，，则，当且仅当时取等号，故答案为1．15．一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为__________．【答案】【解析】剔除最高分和最低分后的，，则原始平均分，原始，原始方差，即原始方差为88．16．已知圆锥的底面积为，高为，则这个圆锥的侧面积为________cm2，圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为_________cm2．【答案】，【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，由题意可得，可得，由勾股定理可得，所以圆锥的侧面积为，作圆锥的轴截面如图所示：、分别与圆相切于两点，设圆半径为，连接，则，过点作，则，，所以，所以，即，解得，所以圆锥的内切球半径为，所以圆锥的内切球的表面积为，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数，，为虚数单位．（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若，求的共轭复数．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，复数，，则，因为复数在复平面上对应的点在第四象限，所以，解得，即实数的取值范围．（2）由，所以．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；（3）估计居民月均用水量的中位数．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为．同理，在，，，，，的频率分别为，，，，，．由，解得．（2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为．（3）设中位数为，因为前5组的频率之和为．而前4组的频率之和为，所以，由，解得，故可估计居民月均用水量的中位数为．19．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．（1）求和的值；（2）试求两人共答对3道题的概率．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，．设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，．由题意可得，即，解得或，由于，所以，．（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2．由题意得，，，，．设{甲乙二人共答对3道题}，则．由于和相互独立，与相互互斥，所以，所以，甲乙二人共答对3道题的概率为．20．（12分）如图所示，在三棱柱中，侧棱AA1⊥底面ABC，，D为AC的中点，，．（1）求证：平面BC1D；（2）求AB1与BD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，∵AA1＝AB＝2，∴，，在Rt△ABC中，D为AC的中点，则，同理可得，在△OBD中，，∴AB1与BD所成角的余弦值为．21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，△ABC为锐角三角形，于是．（2）由正弦定理，可得，，，∴周长，又∵△ABC为锐角三角形，，，∴，∴，∴，∴周长的取值范围为．22．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面垂直底面，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点在棱上靠近点的三等分点处．【解析】（1）证明：连接，四边形为菱形，，，分别为，的中点，即，∴，面为等边三角形，且为的中点，，又面面，面，面面，面，又面，，又，面，面，又面，．（2）解：设交于，交于，则为的中点，为的中点，在中，过点作交于点，则点即为所求．理由如下：，分别为，的中点，，面，面，面，同理面，，､面，面面，即面面，面，面．，，故点在棱上靠近点的三等分点处．人教版高一年级下学期期末考试数学试题（二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某幼儿园为了了解全园310名小班学生的身高情况，从中抽取31名学生进行身高测量、下列说法正确的是A.总体是310B.310名学生中的每一名学生都是个体C.样本是31名小班学生D.样本容量是312.设，则=A.2 B. C. D.13.已知向量，且，则A. B. C.2 D.-24.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A.2 B.1 C. D.5.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A. B. C. D.6.已知=(23)，=(3，t)，=1，则=A.-3 B.-2C.2 D.37.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.8.在中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C.垂直于同一直线的两条直线相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直10.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3．A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD成角 D.AB与CD所成的角是60°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13.已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.14.在某个容量为100的样本的频率分布直方图中，共有5小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，则中间一组的频数为_______.15.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．16.△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.设向量，为锐角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.18.两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.19.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．20.统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在元之间．（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的应抽取多少人；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．22.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.答案解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.某幼儿园为了了解全园310名小班学生的身高情况，从中抽取31名学生进行身高测量、下列说法正确的是A.总体是310 B.310名学生中的每一名学生都是个体C.样本是31名小班学生 D.样本容量是31【答案】D【解析】【分析】根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义判断．【详解】根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义可知样本是学生的身高，样本容量是31，总体是310名学生的身高，总体容量是310故选D．【点睛】本题主要考查根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义，是基础题．2.设，则=A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】先由复数除法运算（分母实数化），求得，再求．【详解】因为，所以，所以，故选C．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3.已知向量，且，则A. B. C.2 D.-2【答案】A【解析】【详解】由于两个向量垂直，故有.故选：A.4.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，化简即得解.【详解】由正弦定理得.故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A.-3 B.-2C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．7.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.8.中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C.垂直于同一直线的两条直线相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直【答案】AD【解析】【分析】由面面垂直的判定定理以及性质判断AD，由面面平行的判定定理判断B，由直线与直线的位置关系判断C.【详解】对A项，由面面垂直判定定理可得，A正确；对B项，由面面平行的判定定理可知，当这两条直线平行时，这两个平面不一定平行，故B错误；对C项，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故C错误；对D项，根据面面垂直的性质定理可知，D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理以及性质，面面平行判定定理，直线与直线的位置关系，属于中档题.10.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】【分析】观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.11.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3．A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地【答案】AD【解析】【分析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.【详解】对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于.故A正确.对B,若乙地过去10日分别为则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B错误.对C,若丙地过去10日分别为,则满足总体平均数为1,总体方差大于0,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C错误.对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.故选：AD【点睛】本题主要考查极差,平均数,中位数与方差等的运算与理解,属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD成角 D.AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】首先画出几何体，由线面垂直性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，属于基础题型.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13.已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.【答案】2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在某个容量为100的样本的频率分布直方图中，共有5小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，则中间一组的频数为_______.【答案】20【解析】【分析】根据题意直接根据比例进行求解即可.【详解】因为中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，所以中间一个小长方形的面积等于所以小长方形面积和的，因此中间一组的频数为.故答案：20【点睛】本题考查了求频数问题，属于基础题.15.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】【详解】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．16.△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.设向量，为锐角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标关系，即可求解.（2）结合平面向量数量积的坐标运算，代入可求得，即可求解.【详解】（1），，且，，可得；（2），，化简得，因此，.【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系，平面向量数量积的坐标应用，同角三角函数关系式的化简应用，属于基础题.18.两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.【答案】机床乙的零件质量更符合要求，运算见解析.【解析】【详解】先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为；机床乙的平均数、方差分别为．，∴两者平均数相同，再考虑各自的方差：∵，∴机床乙的零件质量较稳定，乙更符合要求.19.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.20.统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在元之间．（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的应抽取多少人；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.【答案】（1）25；（2）1900；（3）1900.【解析】【详解】（1）因为，所以，月收入在的频率为0.25，所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为；（2）收入在的频率是0.3，收入在的频率是，所以样本数据的中位数在，且为（元）（3）（元）所以平均数为1900元.21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.试题解析：（1）由题意知，，化简得：即，因为，所以，从而，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.22.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.人教版高一年级下学期期末考试数学试题（三）一､单选题1.下列条件中，能判断平面与平面平行的是（）A.内有无穷多条直线都与平行 B.与同时平行于同一条直线C.与同时垂直于同一条直线 D.与同时垂直于同一个平面2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）A.630 B.615 C.600 D.5703.已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（）A. B. C. D.4.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地月日到日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A.从日到日，日均值逐渐降低B.这天的日均值的中位数是C.这天中日均值的平均数是D.从这天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是5.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，，则以下两个结论：①；②，（）A.①和②都不成立 B.①成立，但②不成立C.①不成立，但②成立 D.①和②都成立6.抛掷一个质地均匀骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A B. C. D.7.现对有如下观测数据345671615131417记本次测试中，两组数据的平均成绩分别为，两班学生成绩的方差分别为，，则（）A.， B.，C.， D.，8.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）﹒A.平面PACB.C. D.平面平面PBC二､多选题9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”10.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A.女生身高的极差为12 B.男生身高的均值较大C.女生身高的中位数为165 D.男生身高的方差较小11.下面四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（）A. B.C. D.12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上存在点M，使平面B.异面直线与所成的角为90°C.二面角的大小为45°D.平面三､填空题13.已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.14.正四棱柱中,则与平面所成角正弦值为____．15.某校举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为______________，80%分位数是______________.16.在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，，分别是线段的中点，点在线段上，若，，，则____________.四､解答题17.为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩(次数)，测试成绩如下：30354233343634372940（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.82≈14.6)18.某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；(中位数保留两位小数)（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.19.国家射击队的某队员射击一次，命中7~10环的概率如表所示：命中环数10环9环8环7环概率0320.280180.12求该射击队员射击一次求:（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．20.如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求多面体的体积.21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．22.如图1，等腰梯形中，，是的中点.将沿折起后如图2，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）判断能否垂直于平面，并说明理由.答案解析一､单选题1.下列条件中，能判断平面与平面平行的是（）A.内有无穷多条直线都与平行 B.与同时平行于同一条直线C.与同时垂直于同一条直线 D.与同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】【分析】利用空间几何元素的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.内有无穷多条直线都与平行,则还可能和相交，所以该选项错误；B.与同时平行于同一条直线，则还可能和相交，所以该选项错误；C.与同时垂直于同一条直线，则和平行，所以该选项正确；D.与同时垂直于同一个平面，则还可能和相交，所以该选项错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）A.630 B.615 C.600 D.570【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.【详解】高一年级共有学生1200人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：.故选：D.【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.3.已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】设事件A为合格品，事件B为一级品，则所以故选：A【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.4.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地月日到日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A.从日到日，日均值逐渐降低B.这天的日均值的中位数是C.这天中日均值的平均数是D.从这天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是【答案】B【解析】【分析】由折线图数据可判断出正确；由数据可计算得到中位数和平均数，知错误，正确；根据古典概型可计算得到正确.【详解】选项：日到日，由折线图知日均值每日逐渐降低，正确；选项：这天日均值的中位数为，错误；选项：日均值的平均数为，正确；选项：天中，空气质量为一级的有天，则随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率为，正确.故选：【点睛】本题考查根据统计图表判断命题的问题，涉及到平均数、中位数和古典概型的相关知识，属于基础题.5.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，，则以下两个结论：①；②，（）A.①和②都不成立 B.①成立，但②不成立C.①不成立，但②成立 D.①和②都成立【答案】B【解析】【分析】利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.【详解】解：∵，CD在平面CDEF内，AB不在平面CDEF内，∴平面CDEF，又EF在平面CDEF内，由AB在平面ABFE内，且平面平面，∴EF，故①对；如图，取CD中点G，连接BG，FG，由AB＝CD＝2EF，易知GF，且DE＝GF，不妨设EF＝1，则，假设BF⊥ED，则，即，即FG＝1，但FG长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立.故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.6.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)，P(B)，又小于5偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．7.现对有如下观测数据345671615131417记本次测试中，两组数据的平均成绩分别为，两班学生成绩的方差分别为，，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用平均数以及方差的计算公式即可求解.【详解】，，，，故，故选：C【点睛】本题考查了平均数与方差，需熟记公式，属于基础题.8.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）﹒A.平面PACB.C.D.平面平面PBC【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC选项，由面面垂直的判定可判断D.【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，又由圆的性质可知，且，则平面PAC.所以A正确；对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；综上可知，C为错误选项.故选：C.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.二､多选题9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.故选：AB.【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.10.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A.女生身高的极差为12 B.男生身高的均值较大C.女生身高的中位数为165 D.男生身高的方差较小【答案】AB【解析】【分析】从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）．【详解】女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．故选：AB.【点睛】本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力．掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是解题基础．11.下面四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断．由线面平行判定定理对D判断，由线面相交的定义对B，C判断．【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）A如图连接，可得，从而得平面，平面，于是有平面平面，∴平面，B．如图连接交于点，连接，易知在底面正方形中不是中点（实际上是四等分点中靠近的一个），而是中点，因此与不平行，在平面内，与必相交，此交点也是直线与平面的公共点，直线与平面相交而不平行，C.如图，连接，正方体中有，因此在平面内，直线与平面相交而不平行，D.如图，连接，可得，，即，直线与平面平行，故选：AD【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础．12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A.在棱上存在点M，使平面B.异面直线与所成的角为90°C.二面角的大小为45°D.平面【答案】ABC【分析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.【详解】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，，平面，平面，故正确.对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.对于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.三､填空题13.已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.【答案】0.9【分析】先计算，再计算【详解】故答案为0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.14.正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为____．【答案】【解析】试题分析：连接,则为与平面所成角，在中，考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.15.某校举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为______________，80%分位数是______________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用极差和百分位数的概念求解.【详解】由题意知：数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是.故答案为：7，8.5.【点睛】本题主要考查极差和百分位数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，，分别是线段的中点，点在线段上，若，，，则____________.【答案】【分析】取的中点，连接，则，可证平面，从而可得平面，即可得，进而可证平面，可得，在直角中，利用等面积法即可求出的长.【详解】取的中点，连接，则因为平面，平面，所以，又，，所以平面，所以平面，又平面，所以.又，，平面,所以平面，因为平面，所以.因为分别为的中点，所以，所以,在直角中，，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.四､解答题17.为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩(次数)，测试成绩如下：30354233343634372940（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.82≈14.6)【答案】（1）平均成绩：，标准差：；（2）次数位于与之间的有6位同学，.【解析】【分析】（1）根据平均数公式以及标准差公式分别求解即可；（2）先求，，再确定位于与之间学生人数，最后求百分比.【详解】（1）10名学生的平均成绩为：.方差：，即标准差.（2），，所以次数位于与之间的有6位同学，所占的百分比是.【点睛】本题考查平均数、标准差、百分比，考查基本分析求解能力，属基础题.18.某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；(中位数保留两位小数)（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1），，中位数：；（2）.【分析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1、这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为计算即可.（2）在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，再利用枚举法求解即可.【详解】（1）依题意，，解得，，中位数.（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.19.国家射击队的某队员射击一次，命中7~10环的概率如表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次求:（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22.【解析】分析：（1）根据互斥事件概率加法得结果，（2）根据互斥事件概率加法得结果，（3）根据对立事件概率关系求结果.详解：记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥．（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).20.如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）取中点，连接，通过割补法，由计算出多面体的体积.【详解】（1）取的中点，连接，因为是中点，所以，且，又因为，，所以，，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）取中点，连接，因为是正三角形，所以，因为平面平面，且交线为，所以平面，因为，所以平面，所以，故，，因为是中点，所以点到平面的距离等于，所以多面体的体积为：.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查锥体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．【答案】（I）||=36，P（A）=（II）（III）【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.【详解】（I）所有可能的基本事件为：共种.其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.（III）由（I）“两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.22.如图1，等腰梯形中，，是的中点.将沿折起后如图2，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）判断能否垂直于平面，并说明理由.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3）与平面不垂直，理由见解析【分析】（1）证明，只需证明平面，利用与E是等边三角形，即可证明；（2）证明平面平面，只需证明平面，只需证明平面即可；（3）与平面不垂直.假设平面，则，从而可证明平面，可得，这与矛盾.【详解】（1）证明：设中点为，连接，∵在等腰梯形中，，，，是的中点，∴与都是等边三角形.∴，.∵，､平面，∴平面.∵平面，∴.（2）证明：连接交于点，∵，，∴四边形是平行四边形，∴是线段的中点.∵是的中点，∴.∵平面，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（3）解：与平面不垂直.证明：假设平面，则，∵平面，∴.∵，､平面，∴平面.∵平面，∴，这与矛盾.∴与平面不垂直.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.人教版高一年级下学期期末考试数学试题（四）考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．-2 B．2 C． D．2．已知向量，，且，则（）A． B． C． D．3．杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（）A． B． C． D．4．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（）A． B． C． D．5．若某多面体的三视图(单位∶)如图所示，则此多面体的体积是（）A． B． C． D．6．四书五经是四书、五经的合称，泛指儒家经典著作.四书指的是《大学》《中庸》《论语》《孟子》.五经指的是《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》五部.某同学计划从“《大学》《论语》《孟子》《诗经》《春秋》”5种课程中选2种参加兴趣班课程进行学习，则恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率为（）A． B． C． D．7．早在世纪人们就知道用事件发生的频率来估计事件的概率.世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率，世纪年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量､快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率，(其中是产生内的均匀随机数的函数，)，则的值约为（）A． B． C． D．8．“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如图六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对两袋垃圾的概率为（）A． B． C． D．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论中正确的有（）A． B． C． D．10．已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A． B． C． D．11．下列关于空间中两直线a，b和平面位置关系的叙述中错误的是（）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，则12．下图是我国2011-2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法正确的是（）A．与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%B．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．全国政协委