2024年高考数学押题预测模拟卷3（新高考九省联考题型）（解析版）

决胜2024年高考数学押题预测卷03

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知向量。=(2,2),b=(l,x),若a//方，则|6|=()

A.1B.0C.布D.2

【答案】B

【解析】向量a=(2,2),Z?=(1,x),a/lb,.',lx=2,.".x-l>

jF+]2=0

故选：B.

2.已知集合4={—1,0,2},B={X|X2<1},则下列结论正确的是（）

A.A=BB.AoBC.D.AnB={-l,0}

【答案】D

【解析】由题意可知：B={%|X2<1}={%|-1<X<1},

所以A3之间没有包含关系，且AcB={-1,0},故ABC错误，D正确;

故选：D.

3.已知In*,

人=logo/.5,)

2

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bob>a

【答案】c

［解析1b=log031.5<log031=00=lnl<ln—=<2<lne=l,

2

4.已知样本数据看,X2，」,X”的平均数为无，则数据%,工2,…,无"，了（）

A.与原数据的极差不同B.与原数据的中位数相同

C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同

【答案】D

【解析】由样本数据七,，%的平均数为无，可得元=1(%+%++%)，

n

对于数据看,9,--,Xn,X,其平均数才=一一(无]+X2++X“+X)=X,

H+P

其方差s；=+

n+1

即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；

由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A错误;

对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.

故选：D

JT

5.在梯形A8CD中，ADI/BC,NABC=—,BC=2AD=2AB=2,以下底所在直线为轴,

2

其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为()

2兀4715兀一

A.—B.—C.—D.2兀

333

【答案】B

【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：

其中圆柱与圆锥的底面半径都等于AB=1，

圆柱的高等于AT>=1,圆锥的高等于BC-4>=1,

底面圆的面积为兀xV=兀，

1兀

圆锥的体积为一x兀xl=—,圆柱的体积为兀xl=7l,

33

7T4兀

所以所得几何体的体积为兀+彳二下.

33

故选：B.

6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，

以4，4分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以糜示从乙箱中取出

的是白球，则下列结论错误的是()

c1]3

A.A,4互斥B.尸但A)=,c.=7D.P(B)=-

【答案】c

【解析】因为每次只取一球，故A，4是互斥的事件，故A正确；

由题意得尸(A)=；,P(4)=|，P(叫A)q，P(叫4)=9,

152413

故均正确；

P(B)=P(4B)+P(M=-X-+-X-=-!B,D

24S

因为P(&B)=§X]=五，故C错误.

故选：C.

7.已知函数/(x)的定义域为R,y=/(x)+e，是偶函数，y=/(x)—3e、是奇函数，则/(力的最

小值为()

A.eB.2.72C.26D.2e

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数/(x)的解析式，再利用基本不等式可求得了(x)的最小值.

【详解】因为函数y=/(x)+e*为偶函数，则〃—力+r=/(尤)+e"BP/(x)-/(-x)=e^-e\

又因为函数y=〃x)—3e”为奇函数，则/(―力―3。=—/(x)+3e"即

/(x)+/(-x)=3eT+3e-\②

联立①②可得/(%)=e*+2e-x,

由基本不等式可得f(x)=ex+2e_x>2je'2e-x=272,

当且仅当e*=2er时，即当x=4ln2时，等号成立，

2

故函数/(X)的最小值为2VL

8.双曲线C：*―1=1(°>0,6>0)的左、右焦点分别是耳，F,,离心率为亚，点P(玉,％)是C

a-k2

的右支上异于顶点的一点，过F2作/片P鸟的平分线的垂线，垂足是〃，|"0|=夜，若一点乃茜

足片，玛7=5,则7®!烟两条渐近线距离之和为()

A.2应B.2百C.2A/5D.2底

【答案】A

【解析】设半焦距为c,延长耳加交于点儿由于雌/片2鸟的平分线，F2MLPM,

所以-NPK是等腰三角形，所以|PN|=|%|,且碗N"的中点.

根据双曲线的定义可知I尸耳1—1%|=2a,即INK|=2a,由于虑耳耳的中点,

所以倒是右人百巴的中位线，所以|MO|=：|N4l=a=夜，

又双曲线的离心率为Y5,所以c=G，b=l,

2

Y2

所以双曲线渤方程为上-y2=1.

2.

所以耳(-6,0),工(百,0)，双曲线微渐近线方程为x土应y=O,

设T(",v),7到两渐近线的距离之和为S,则S+M-f”,

V3小

由耳，ET=("-G)Q+&)+v2=/+y2-3=5,得/+丫2=8，

/„2

又雁G上_丁=1上，贝上一声=1,即/-2/=2,解得“2=6,V2=2,

22

所以|〃|>四|讨，故5=弓，=2夜，即距离之和为2应.

故选:A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数Z1,Z2是关于X的方程/+以+1=0(-2<6<2,6€夫)的两根，贝I]()

A.z、=z?B.—&R

z?

C.㈤=忤|=1D.若Z;=1,则z：=z；=1

【答案】ACD

-b+^4-b2i

【解析】解：△=廿_4<0：.X=-----------

2

不:设「-白亚/，

2

则Z]=Z2，故4正确;

由选项/可知，|zJ=|Z2|=+(上券)2=1'班确;

由韦达定理得々Z2=l,

二五=C=Z；b2-2.

-------------------------------1

Z2Z1Z222

当b^O时,,任R,故反昔;

Z]

当6=1时，z.=--+^-i16.

------------1

12222

计算得zf=----/-z-Z,

12221

同理可得zf=Z1=z2,

结合近4项可知Z：=Z1Z2=1,同理可得Z：=l,故〃正确.

故选：ACD

)=立相邻的三个交点，且

10.如图，点A,3,c是函数/(x)=sin(。尤+°)3>>0)的图象与直线

2

阳-MM"-展上0,则()

D.若将函数"》)的图象沿x轴平移。个单位，得到一个偶函数的图像，则冏的最小值为最

【答案】AD

兀27r

【解析】令)(%)二5皿(口工+0)二学得，69%+0=g+2E或+0=5+2而，左右Z,

71712兀

由图可知：a)xA+(p=—+2kjt,coxc-\-cp=—+2kji+2Ti,CDXB+cp=-+2kn,

所以忸上…=5+2\AB\=X-X=--

44BACD3

所以g=BCTAB|=,+2兀j

，所以①二4,故A选项正确,

3C0\5)

兀

所以/(%)=sin(4x+0),由/=0得sin]一]+")=0,

12

兀-

所以—1+0=兀+2kn,k£Z,

4兀一

所以夕=—H2kji,k£Z,

.\.4兀[.[.4兀).f.7T1t\

所以/(x)=sinI4x+—+2EI=sinI4x+—I=-sinI4x+—I,

33

9兀兀

-sin一+—故B错误.

23

兀35兀兀个兀71

当时，4%~\G—,2兀H—,

3I33)

(5兀兀A兀兀

因为y=_sinf在fe[y-,27r+]J为减函数，故在上单调递减，故C错误;

石'5

将函数八力的图象沿x轴平移。个单位得g(x)=-sin(4x+4e+T，(6<0时向右平移，。〉0

时向左平移)，

g(x)为偶函数得49+1=3+防1,keZ,

所以+keZ,则冏的最小值为故D正确.

故选：AD.

11.如图，正方体ABCD—4瓦。12的棱长为2,点£是力8的中点，点£为侧面BCG与内(含边界)

一点，贝1J()

A.若2PL平面AG。，则点明点磨t合

B.以既球心，友为半径的球面与截面AC?的交线的长度为圆

33

C.若然棱比中点，则平面2成截正方体所得截面的面积为2姮

6

D.若母U直线A"的距离与到平面CDRG的距离相等，则点用轨迹为一段圆弧

【答案】ABC

【解析】正方体ABCD—ABIGA中，平面DCG2，DC|U平面。CC|2，BC_LDC\,

正方形OCCQi中，PjClDQ,

2cBeu平面BCD],D[CcBC=C,则。G，平面

RBu平面BCD1,DC]±D、B,

同理，DA1D[B,

<=平面AG。，a41coei=。，平面AG。，

若点P不与鹿合，因为乌尸，平面AG。，则RP//RB,与D]P|D]B=Di矛盾,

故当平面ACQ时，点巧夕重合，故A正确；

DA=DC=DD[,AC=AD1=CD,,三棱锥。一AC?为正三棱锥,

故顶点应E底面ACQ的射影为△AC"的中心〃，

连接DH,由^o-ACD=^D,-ACD>得一x—x2x2x2=—x—x2-\/2x2\/2xDH>

t3232

所以。”=々，因为球的半径为短，所以截面圆的半径2

V33=忑'

2

所以球面与截面ACD｛的交线是以妫圆心，耳为半径的圆在△ACp内部部分,

、2

如图所示，HN=-x2s[2x^-=^-,所以MR=2V6276

323

V7

7T兀

HF-+HM2^MF2＞所以NMHF=W，同理，其余两弦所对圆心角也等于万,

所以球面与截面ACDI的交线的长度为2乳文宗—3x；又东=卒,故B正确；

对于C,过反用］直线分别交加、〃由J延长线于点G,M,连接QM、Dfi,

分别交侧棱G。于点儿交侧棱AA于点"连接腐口M,如图所示:

则截面为五边形RHEPN,

GA=AE=EB=BP=PC=CM=1,GE=EP=PM=5，GM=3插

D[G=D[MNDD+DM”=屈,H4=—,GH="，

33

cosZD{GM=5。"=,故sinNRGM=,

D[G一V26J26

1/TvV13而—国

所以S&D\GM=立=,S「FH——义72x---x-,------,

GEH23V266

ZA/2Oz

3V17cV177V17,…次

所以五边形D.HEPN的面积s=S0-2SAGEH=-....2x--—,故C正确;

ZACrziZl266

因为44_L平面BCCiB1,PB{u平面BCCXBX,

所以P与，44,点厚ij直线4耳的距离即点厚U点用的距离，

因为平面BCGA，平面CDDG，故点厚（]平面CDD©的距离为点行!]CC,的距离，

由题意知点段I点B,的距离等于点蹿ijCC,的距离，

故点/的轨迹是以用为焦点，以CG为准线的抛物线在侧面3CG4内的部分，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中的常数项为.（用数字作答）.

【答案】-672

9—3r

【解析】的展开式的通项公式为&=G（«）9fC；(-2)rx~

令9己-3上r=0,得r=3,

2

故常数项为C；（一2）3=—672.

故答案为：-672.

13.在一ABC中，tanB=tanC=，b—\,则tan(5+C)=a—

【答案】①.6②.73

工JT

【解析】由tanB=tanCB=CeK,可得5=C=—

36

TT2兀

所以可得B+C=—,所以人=一即tan（B+C）=百；

33

是,

易知sinB=—sinA=

2f2，

由正弦定理可得a=吧&-b=6

sinB

故答案为：6,后

14.已知点4为抛物线y2=2x上一点（点/在第一象限），点，为抛物线的焦点，准线为1,线段加田中

垂线交准线，于点。，交荔由于点£（久第/播两侧），四边形AOEE为菱形，若点只0分别在边物、

_—5

EA上，DP=ADA，EQ=/JEA,若22+/z=-,则FPFQ的最小值为

工1厂2+|fE4-b目（/eR）的最小值为

tFA-

4

【答案】①.3②.@

2

【解析】对于第一个空：

因为四边形ADEE为菱形，所以=AD//E/，又由抛物线的定义知，AD=AF,

所以4£0=60。,乙g=60。，F1,0,

.31

，得寸y

DA=（2,0）,。尸=（1,—百），FE=（2,0）,£4=（-1,73）,

FP=DP-DF=ADA-DF=3-1,由），FQ=FE+EQ=FE+从EA=（2—〃，百〃卜

又2/l+〃=3,22=3—〃e[0,2],所以〃e1,

22_2_

叮.尸0=（2彳一1）（2—〃）+3〃=[[—〃一1]（2—〃）+3〃=〃2_；〃+3,

当〃=；时，/尸了。取最小值3.

对于第二个空：

7V4=（1,A/3）,FE=（2,0）,tFA-^FE=\^-^,^>t^,tFA-FE=（t-2,^,

tFA-^FE+\tFA-F^=—+（而『+小―2]+（网2

表示的是点尸”,6）到点和N（2,0）的距离之和，

尸卜,、历）在直线y=J我上，设N（2,0）关于直线〉=瓜对称的点N'（x0,%）,

由<“一；3得卜一；，所以1,©,

一_1（%+2）1%=6、）

.2一2_

|PF|+|p^|=|PF|+\PN'\>,当且仅当N',F,P三点共线时，等号成立.

故〃％—+\tFA-FE\的最小值为YU.

4112

故答案为：①3,②叵.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13

15.设/(©=alnjc+----x+1,曲线y=/(x)在点(1,/■⑴)处取得极值.

2x2

⑴求a；

(2)求函数/(x)的单调区间和极值.

【答案】(1)2(2)单调递减区间(0,；)和(1,+刃)，单调递增区间(；』)，极大值为了⑴=。，极

小值为/(g)=2—21n3.

【解析】(1)/(x)=alnx+---x+1,则广(>)=呸—一

2x2x2x2

又・r(D=o,

故可得〃一2=0,

解得a=2；

⑵由⑴可知，/(x)=21nx+-,---x+l,/Xx)=-(3X~1)^~1),

2x22x2

令尸(x)=0,解得玉=g,x2=l,

又■函数定义域为(0,田)，

故可得/(x)在区间(0,1)和(1,+8)单调递减，在区间(1,1)单调递增.

故了⑴的极大值为了⑴=0,的极小值为/(-)=2-21n3.

16.如图，四棱锥V-A3CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=60，平面VBD_L底面

ABCD.

(1)求证：AC±VD；

(2)若V®=2,且四棱锥V-ABCD的体积为2,求直线VC与平面忆46所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)叵

5

【解析】(1)平面底面ABCD,平面VBD)底面ABCD=3。，

底面ABCD是边长为2的菱形，AC±BD,ACu底面ABCD,

则有AC,平面VB。，又VDu平面所以

(2)底面A8CD是边长为2的菱形，ABAD=60，

府为等边三角形，BD=2,SA_=|x2x2xsin60=^，

平面VBD,底面ABC。，平面V8O底面筋8=%),

过M点作5。的垂线，垂足为。，则VO_L底面ABCQ,

四棱锥V—ABCD的体积为2,则3*25.。-弘9=；＞＜2*6-/。=2,

解得VO=6，则30=7v®2-VO2=，4-3=1，

所以。为班＞中点，即。为AC和交点，

AO=OC=JAB2_3O2=7^1=行

以。为原点，。4,。氏。丫所在直线分别为尤,％z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则0(0,0,。)，A(AO,O),8(0,1,0),c(-V3,o,o),y(o,o,@,

AB=(-73,1,0),VB=(O,1,-V3),VC=(-A/3,0,-A/3),

设平面VAB一个法向量〃=(羽y,z),

AB•n=-yfix+y=0

则有《令X=l,则旷=百，z=l，即〃=(1,G，D，

VBn=y->/3z=0

VC-n-^-V3Vio

cos(VC,n

|vc||«|-屈X亚"V

所以直线vr与平面VAB所成角的正弦值为叵.

5

17.现有标号依次为1,2,…，〃的小盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都

是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒

子，…，依次进行到从n-1号盒子里取出2个球放入〃号盒子为止.

(1)当〃=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)当"=3时，求3号盒子里的红球的个数g的分布列；

(3)记港盒子中红球的个数为X“，求X”的期望E(Xj.

【答案】(1)j(2)分布列见解析(3)E(X„)=2

C1C12

【解析】(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为「==；；；

C；3

(2)由题可知〈可取1,2,3,

020201027

V)c；C；C；Cj36

P偌=3)=WxW+/xW=，

V7c；CjC；Cj36

则第n(n>2)号盒子有一个红球和三个白球的概率为1—%—b,i，

211

且J〃一2+2an-2+万(1-4-2-%一2)("N3),

化解得如=：岫+；，

62

i3731

5615)515

31<3>f31311

而打一1二24一M，则数列也一;为等比数歹U,首项为4一二二二，公比为二,

56<5JI5J5156

311

所以么=-+--

515l6

又由a〃-i=%b〃_2+54-2求得：4=g

因止匕£(X〃)=1x%_]+2xd_1+3x(1—a〃_i—2T)=3—2%_]—bn_x=2.

22

18.已知尸为曲线C:土+乙=1(〃>1)上任意一点，直线PM,PN与圆/+,2=1相切，且分别与

4n

。交于M,N两点，0为坐标原点.

(1)若OPOM为定值，求〃的值，并说明理由;

4

(2)若〃=—,求，PMN面积的取值范围.

3

4「4百

【答案】(1)〃=4或〃=§;(2)2,亍

【解析】⑴由题意设P(&M),M(%，%)，

当直线PM的斜率不为0时，直线PM：x=my+t,

因为直线与圆相切，所以言=/[\t\=1,即/+1=*,

，加2+1

x=my+t

联立丁产可得：(n^n+4)y2+2mnty+nt2-4n=0,

—+—=1

、4n

nt2-4n

所以A=(2mnty—4(+4)(九/_4〃)>0,%—2mnt

+%=苏〃+4m2n+4

4-t2-4/〃

XyX+t)(my+/)=m1yy+y)+t2

22x22m2n+4

—4加2〃+(4+〃)产一4〃

所以OP-OM=xxx2+yxy2----------\-----------

mn+4

因为m2+l=t2,所以x/2+=("3吗+(4-3.),

nm+4

要使0PoM一为定值，则34-13〃=一4—3〃1,所以〃=4或〃=4—,

n43

当直线PM的斜率为。时，

因为直线与圆相切，所以d=W=l,即丁=±1,

不妨取y=1,

y=i

44

联立V尤2y2，可得％2~|----4=0,所以为％2=---4

---F—=1〃n

、4n

4

所以石％2+%%=一3+—，也符合上式.

n

4

（2）当〃时，由（1）可知OPQW=0，OP±OM,

同理OP，QV,即N三点共线，

所以SPMN=2S.“°=|PM|"=|PM|,

当直线PM的斜率不为。时，由（1）可知：

—2mtr2-4

=1^1=y/1+m24必%=Vl+m2x2dAm2;3t

所以Sp“N

m+3

因为/+1=/，

2

----22dm2+9m+3-2）（信+3+6）

所以c+mx------------

Q、PMN疗+3m24-3

令/+3=kN3,

25（左一2）（左+6）_2收+412_2M24,

所以S.PMN

k一

所以当左=3时，S^MN有最小值为2；

当上=6时，S&MN有最小值为迪；

3

当直线尸河的斜率为0时，由（1）可知:

=|PM|=2J4-1=2.

。PMN

综上：PMV面积的取值范围I2,

19.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光

滑曲线C：y=/（x）上的曲线段A3,其弧长为加，当动点从/沿曲线段AB运动到8点时，4点的切

线乙也随着转动到6点的切线4，记这两条切线之间的夹角为A6（它等于4的倾斜角与乙的倾斜角

之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲