初中数学八年级下册同步练习 提公因式法

4.2提公因式法北师大版初中数学八年级下册同步练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.多项式—6。匕2+18a2b2_12a362c的公因式是

()

A.—6ab2cB.—ab2C.—6ab2D.—6a3b2c

2.若a是有理数，则整式小92一1)一十+1的值

.()

A.不是负数B.恒为正数C.恒为负数D.不等于0

3.将6a2b(%一y)2+8。炉(％-y)3因式分解，应提取的公因式是()

A.2ab(x—y)2B.48ah(x-y)2C.48a6(x-y)3D.2ab(x-y)3

4.已知(19%-30)(13%-18)-(13%-18)(11%-23)可因式分解成(。工+6)(8%+0，其中Q,b,c均为整

数，则a+b+c等于

()

A.-12B.-32C.38D.72

5.把(a一b)+m(b-a)提公因式(a-b)后,则另一个因式是

()

A.1—mB.1+mC.mD.-m

6.把多项式徵(。一2)+(。—2)分解因式等于()

A.m(a—2)B.(a—2)(m+1)C.m(a+2)D.(m—l)(a—2)

7.观察下列计算962x95+962x5的过程，其中最简单的方法是

()

A.962X95+962X5=962X(95+5)=962X100=96200

B.962x95+962x5=962x5x(194-1)=962x(5x20)=96200

C.962x95+962x5=5x(962x19+962)=5x(18278+962)=96200

D.962x95+962x5=91390+4810=96200

8.多项式7a2/一14a3x3-28a4一中各项的公因式是

()

A.a2x2B.a3%3C.7a2x2D.7a4%4

9.如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形.然后将四周突出的部分折

起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为()

A.(6-6a)(b-2d)B.(b-3a)(b-2a)C.(6-5a)(b-a)D.(b-2a)2

10.把多项式a?+2a分解因式得()

A.a(a+2)B.a(a—2)C.(a+2)?D.(Q+2)(a—2)

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11.已知。=1,%4-2y=3,则2Q%+4ay=.

【逆向变式】

若实数Q,力满足a+b=5,=一］。，则帅的值为.

12.把多项式%2丫5一肛勾因式分解时，提取的公因式是孙5,贝比的值可能为(任写一个符合条件

的).

13.多项式5a(x+y)-10(y+x)的公因式是.

14.［整体思想］己知y=x2+2024,则/—盯+2024%=.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

若a=-5,a+b+c=-5.2,求代数式/(―b-c)-3.2Q(C+b)的值.

16.(本小题8分)

(1)分解因式：ab-3a-6+3；

(2)若a,b都是正整数且满足ab-a-b-4=0,求a+b的值.

17.(本小题8分)

已知y—2%=—2023,xy=10,求2%4y3一%3丫4的值.

18.(本小题8分)

阅读下列因式分解的过程，再回答问题：

1+X+%(%+1)+x(x+I)2

=(14-%)［1+%+x(x+1)］

=(14-%)2(14-x)

=(x+I)3.

(1)上述分解因式的方法是，共应用了次；

(2)若分解l+x+X(X+l)+X(X+l)2+.“+x(x+l)2024,则需应用上述方法次，结果是

(3)分解因式(71为正整数)：1+%+x(x+1)+x(x+I)2H----1-x(x+l)n.

19.(本小题8分)

若多项式(a+b-c)(a+c—b)+(b-a+c)(b-a-c)=M-(a—b+c),求M.

20.(本小题8分)

用于化简求值

⑴利用因式分解计算tn踮+m形+m随,其中％=20,R2=16,R3=12,m=3.14;

(2)求xz-yz的值，其中％=17.8,y=28.8,z=—;

(3)已知ab=7,a+b=6,求多项式Mb+。廿的值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】公因式是多项式各项都含有的公共的因式.当所分解的多项式的首项系数是负数时，一般将“-”

随公因式一起提出.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查因式分解和偶次方的非负性，正确对原式进行因式分解是解题的关键.

先将原式化简并因式分解，再根据偶次方的非负性以及a为有理数即可得出答案.

【解答】

解：a2(a2-1)-a2+1=a2(a2-1)-(a2-1)=(a2-I)2>0.

故选A.

3.【答案】A

【解析】解：将6a2b(x-y)2+8a£>2(x-y)3因式分解，应提取的公因式是2ab(x-y)2.

故选：A.

根据公因式的定义即可求得答案.

本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查因式分解的应用，掌握提公因式法是解题关键.

利用提公因式法分解因式，将分解的结果与己知结果相对照，可求出未知字母的值，即可解答.

【解答】

解：原式=(13%-18)[(19x-30)-(llx-23)]

=(13x-18)(8x-7),

则a=13,b=-18,c=-7.

则a+b+c=13-18-7=-12.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了因式分解一提公因式法.提公因式法基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是

提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.\

根据提公因式，可得答案.

【解答】

解：(a-ft)+m(b—a)=(a—b)(l—m),

所以另一个因式是l-m.

故选：A.

6.【答案】B

【解析】解：原式=(a—2)(m+1).

故选：B.

首先找出公因式(a-2),进而分解因式得出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

7.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查了有理数的混合运算，提公因式法简化计算，根据提公因式计算，比较简单不易出错.

【解答】

解：962x95+962x5=962x(95+5)=962x100=96200.

故选A.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键.

找出系数的最大公因数，相同字母的最低指数累，然后即可确定公因式.

【解答】

解：7。2x2—14a3%3-28a》4中,

系数的最大公因数是7,相同字母的最低指数基是a?/,

则公因式是7a27.

故选C.

9.【答案】A

【解析】略

10.【答案】A

【解析】解:a2+2a=a(a+2).

故选：A.

直接提取公因式a,进而分解因式得出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

11.【答案】(1)6

(2)-2

【解析】(1)【分析】

本题考查了因式分解-提公因式法，式子求值，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键.先进行因

式分解，然后再代入求值即可解答.

【解答】

解：a=1,x+2y=3,

2ax+4ay=2a(x+2y)

=2x1x3

=6>

故答案为6；

(2)【分析】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

直接利用直接提取公因式法将已知变形进而得出答案.

【解答】

解：a+b=5,a2b+ab2=-10,

•••ab(a+b)=-10,

5ab=-10,

•••ab=-2.

故答案为：-2.

12.【答案】6(答案不唯一)

【解析】【分析】

本题主要考查提公因式法中公因式的找法，熟练掌握多项式公因式的找法是解题关键.因公因式为多项式

中各项的数字因式的最大公约数与同底数幕的最低次幕的乘积，得n的取值范围，继而可得结论.

【解答】

解：•••多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数累的最低次基的乘积，

n>5.

•••答案为6(答案不唯一)

13.【答案】5(x+y)

【解析】【分析】

此题主要考查了公因式的定义，分别得出两式公共的因数以及公共的因式是解决问题的关键.根据公因式

的定义，即找出两式中公共的因式，首先找公共因数再找公共因式即可.

【解答】

解：5a(x+y)-10(y+x)=5(x+y)(a—2),

35a(x+y)-10(y+x)的公因式是5(x+y).

故答案为：3(x-y).

14.【答案】0

【解析】【分析】

本题考查了因式分解一提公因式法，熟练掌握整体思想是解题的关键.先提取公因式X,得xQ2—y+

2024),再根据y=枢+2024,整体代入即可得原式=x(y-y)=0.

【解答】

解：vx3—xy+2024x

—x(x2—y+2024),

又y=x2+2024,

二原式=x(y-y)=0.

故答案为：0.

15.【答案】解：1•,a=-5,a+b+c=—5.2

二b+c=-0.2

二原式=-a2(b+c)-3.2a(b+c)

=_(b+c)(a2+3.2a)

=-(-0.2)x[(-5)2+3.2x(-5)]

=0.2x(25-16)

=1.8.

【解析】此题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力.由a=-5,

a+b+c=-5.2,可得b+c=-0.2,然后进行因式分解整理代入求值即可.

16.【答案】解：(1)原式={ab-3a)—(b—3)

=a(b-3)-(b-3)

=(a-l)(b-3)；

(2)由题得ab—a—b+l=5,

即(a-l)(b-l)=5.

•••a,b为正整数且a>b,

U-i=i

即{:2-

■-a+b=8.

【解析】(1)本题主要考查分组分解法分解因式，前两项一组，后两项一组，再用提公因式法进一步分

解；

(2).本题主要考查了求式子的值，利用已知条件通过因式分解的方法将等式适当变形是解题的关键.

利用已知条件通过因式分解的方法将等式适当变形，利用正整数的特性求得a,b的值，再将a,b的值代入

计算即可.

17.【答案】解：原式=炉了3(2%_y)

=—(xy)3(y—2x)

=-103X(-2023)

=2023000.

【解析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键.

18•【答案】【小题1】

提公因式法；两

【小题2】

2024；Q+1)2°25

【小题3】

解：1+x+x(x+1)+x(x+l)2+…+x(l+x)n=(x+l)n+1

【解析】1•【分析】

本题考查因式分解-提公因式法，属基础题.

根据提公因式法判断即可.

【解答】

解：1+X++1)+X(X+1)2

=(1+x)[l+x+x(x+1)].此处第一次提取公因式(1+X)

=(1+x)2(l+X)......此处第二次提取公因式(1+X)

=(X+I)3.

故上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了两次.

2.【分析】

本题考查因式分解-提公因式法，涉及数式的规律问题，属中档题.

根据原式末尾项中(X+1)的次数，应用提公因式法的次数与结果中。+1)的次数，找规律判断即可.

【解答】

解：由题可得：

l+x+x(x+l)+x(x+l)2=(x+1)3,应用了2次提公因式法，原式末尾项中(x+1)的次数为2,结果

中(x+1)的次数为3；

同理可得1+X+X(X+1)+X(X+1)2+x(x+1)3=(X+1)4,应用了3次提公因式，原式末尾项中Q+

1)的次数为3,结果中(x+1)的次数为4；

故若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)24---1-x(x