2024年中考数学几何模型复习-中点模型

中点模型

破解策略

1.倍长中线

在AABC中,M是BC的中点.

图1

⑴如图1，连接AM并延长至点E,使得ME=AM.连接CE,则AABM当△ECM.

⑵如图2,点D在AB上，连接DM并延长至点E,使得ME=DM,连接CEJIJABDM^ACEM.

遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目

的，这种方法是最常用也是最重要的.

2.构造中位线

在AABC中,D是AB的中点.

⑴如图取AC的中点E,连接DE,则DE〃BC且DE=|fiC.

⑵如图2,延长BC至点F,使得CF=BC,连接CD,AF,则DC〃AF且DC=\AF.

三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将图形中分散的线段关系集中起来.通常需要再找一个中点来构造中位

线，或者倍长某线段得出中位线.

3.等腰三角形“三线合一”

如图.在AABC中，若AB=AC,通常取底边BC的中点D,连接AD,则AD±BC且AD平分NBAC.

事实上，在△ABC中:①AB=AC;②AD平分NBAC;③BD=CD;④ADLBC.

对于以上的四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”

4.直角三角形斜边中线

如图.在AABC中,NABC=90。,取AC的中点D,连接BD,则有BD=AD=CD=\AC.

D

B

反过来,在AABC中，点D在AC上，若BD=AD=CD=24C,则有ZABC=90。.

例题讲解

例1如图.在AABC中,AB=BC,AD_LBC于点D.BE1AC于点E,AD与BE交于点F,BH_LAB于点B,M是BC的中点,

连接FM并延长交BH于点H.

⑴如图1,若/ABC=30。,求证:DF+BH=^-BD.

（2攻口图2,若NABC=45。,如图3,若NABC=60。（点M与点D重合），分别猜想线段DF,BH与BD之间有怎样的数量关系?

请直接写出你的猜想，不需证明.

分析由M为BC中点，易想到连接CF,从而利用“8”字形全等和等腰三角形轴对称性将线段集中.

解答

例2如图，在AABC中,M是边BC的中点点D,E在NBAC的内部,AABD和AACE是分别以AB,AC为斜边的直角三

角形,且NBAD=NCAE=a,连接MD,ME,求NDME的度数.（用含a的式子表示）

分析已知有两个直角三角形，以及中点M,则通过取斜边中点，运用斜边中线及中位线性质可将题中条件集中.

解答

例3在RtAABC中,NACB=90。,点D与点B在AC同侧,NDAONBAC,且DA=DC,过点B作BE〃DA,与DC交于点

E,M是AB的中点.连接MD,ME.

⑴如图1,当NADC=90。时，线段MD与ME的数量关系是，如图2,当NADC=60。时线段MD与ME的数量关系

_____；

⑵如图3,当ZADC=a时,求生的值.

图3

分析根据已知条件中的平行以及中点的条件，延长EM即可构造“8”字形全等，从而得到等腰三角形，再运用三线合

一的性质解题.

解答

例4如图,在AABC中,AB=BC,0是AC的中点,P是AC上的一个动点（不与点A,O,C重合），分别过点A,C作直线BP的

垂线,垂足为E,F,连接OEQF.若|CF-AE\=2,EF=2B，当APOF为等腰三角形时，求出0P的长.

分析由|CF-AE|=2可知要分两种情况讨论，再由中点以及直角条件易想到运用倍长中线以及直角三角形斜边中线的

方法来解题.

解答

进阶训练

1.如图.在AABC中,AOAB点D在AC上,AB=CD,,E,F分别是边BC,AD的中点.连接EF并延长，与BA的延长线交

于点G.若乙EFC=60。,连接GD,判断.A4GD的形状并证明.

2.如图，在四边形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G,连

接AG,BG,CG,DG,且.N4GD=NBGC..若AD与BC所在的直线互相垂直，求仁的值.

3.如图,在正方形ABCD中，点E.F分别在边BC,DC的延长线上,且(CE=CF,,连接AF,取其中点M.连接EF,取其中点N,

4.在AABC中,AB=AC,F是BC延长线上一点，以CF为边作菱形CDEF,使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE.G

是BE的中点，连接AG,DG.

⑴如图1,当ABAC=乙DCF=