广东省惠来一中2023-2024学年高一下数学期末联考模拟试题含解析

广东省惠来一中2023-2024学年高一下数学期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．2．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3，6，10记为数列，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测:（）A．1225 B．1275 C．2017 D．20183．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．4．等差数列中，若，则=()A．11 B．7 C．3 D．25．若变量满足约束条件则的最小值等于（）A． B． C． D．26．向正方形ABCD内任投一点P，则“的面积大于正方形ABCD面积的”的概率是（）A． B． C． D．7．己知关于的不等式解集为，则突数的取值范围为()A． B．C． D．8．已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于()．A． B． C． D．9．若且，则下列不等式成立的是()A． B． C． D．10．已知向量，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.12．已知锐角、满足，，则的值为______.13．已知向量，，，则_________.14．已知点在直线上，则的最小值为__________.15．一艘海轮从出发，沿北偏东方向航行后到达海岛，然后从出发沿北偏东方向航行后到达海岛，如果下次直接从沿北偏东方向到达，则______.16．已知a，b为常数，若，则______；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在直三棱柱中，，，M、N分别为、的中点．求证：平面；求证：平面．18．已知数列满足，（）；（1）求、、；（2）猜想数列的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想；19．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：）（）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①，②，经多次检验得到以下一组数据：x04060120Q020（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？20．如图，在△ABC中，cosC＝，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．（1）求sinA的值；（2）若，求AB的长．21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.2、A【解析】

通过寻找规律以及数列求和，可得，然后计算，可得结果.【详解】根据题意可知：则由…可得所以故选：A【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到，属难题，3、A【解析】

设长方体的棱长为，球的半径为，根据题意有，再根据球的直径是长方体的体对角线求解.【详解】设长方体的棱长为，球的半径为，根据题意，，解得，所以，所以外接球的表面积，故选：A【点睛】本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4、A【解析】

根据和已知条件即可得到．【详解】等差数列中，故选A．【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题．5、A【解析】

由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）．故选A．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6、C【解析】

由题意，求出满足题意的点所在区域的面积，利用面积比求概率.【详解】由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，要使的面积大于正方形面积的，需要到的距离大于，即点所在区域面积为，由几何概型得，的面积大于正方形面积的的概率为.故选：C.【点睛】本题考查几何概型的概率求法，解题的关键是明确概率模型，属于基础题.7、C【解析】

利用绝对值的几何意义求解，即表示数轴上与和－2的距离之和，其最小值为．【详解】∵，∴由解集为，得，解得．故选C．【点睛】本题考查绝对值不等式，考查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式解集为，可转化为的最小值不小于1，这是解题关键．8、C【解析】

代入求得；根据可证得数列为等比数列，从而利用等比数列通项公式求得结果.【详解】当时，当且时，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列本题正确选项：【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用得到数列为等比数列，属于常规题型.9、D【解析】

利用不等式的性质对四个选项逐一判断.【详解】选项A:，符合，但不等式不成立，故本选项是错误的；选项B:当符合已知条件，但零没有倒数，故不成立，故本选项是错误的；选项C:当时，不成立，故本选项是错误的；选项D:因为，所以根据不等式的性质，由能推出，故本选项是正确的，因此本题选D.【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.10、A【解析】

先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案．【详解】向量，，

解得，

∴，

故选A．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率.【详解】解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气—A，风—B，马—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，则从盒内随机抽取2张卡片有共15个基本事件，其中有相同字的有共6个基本事件，该游戏的中奖率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.12、【解析】

计算出角的取值范围，利用同角三角函数的平方关系计算出的值和的值，然后利用两角差的余弦公式可计算出的值.【详解】由题意可知，，，，则，.因此，.故答案为.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数的平方关系求值，解题时要明确所求角与已知角之间的关系，合理利用公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.13、【解析】

根据向量平行交叉相乘相减等于0即可．【详解】因为两个向量平行，所以【点睛】本题主要考查了向量的平行，即，若则，属于基础题．14、5【解析】

由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.【详解】由题得表示点到点的距离.又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.【点睛】本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解析】

首先根据余弦定理求出，在根据正弦定理求出，即可求出【详解】有题知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.16、2【解析】

根据极限存在首先判断出的值，然后根据极限的值计算出的值，由此可计算出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据极限的值求解参数，难度较易.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析.【解析】

(1)推导出，从而平面，进而，再由，，得是正方形，由此能证明平面．取的中点F，连BF、推导出四边形BMNF是平行四边形，从而，由此能证明平面．【详解】证明：在直三棱柱中，侧面底面ABC，且侧面底面，，即，平面，平面，，，是正方形，，平面取的中点F，连BF、在中，N、F是中点，，，又，，，，故四边形BMNF是平行四边形，，而面，平面，平面【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．18、（1），，；（2）；（3）证明见解析；【解析】

（1）根据数列的递推关系式，代入运算，即可求解、、；（2）由（1）可猜想得；（3）利用数学归纳法，即可证得猜想是正确的.【详解】（1）由题意，数列满足，（）；所以，，；（2）由（1）可猜想得；（3）①当时，，上式成立；②假设当时，成立，则当时，由①②可得，当时，成立，即数列的通项公式为.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数学归纳法的证明，其中解答中根据数列的递推公式，准确计算，同时熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.19、（1）选择模型①，见解析；（2）80.【解析】

（1）由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，即可判断选择；（2）将，代入函数型①，可得出的值，进而可得出总耗油量关于速度的函数关系式，进而得解.【详解】（1）选择模型①理由：由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，而函数模型②为一个单调递减函数，故选择模型①.（2）将，代入函数型①，可得：，则，总耗油量：，当时，W有最小值30.甲地到乙地，这辆车以80km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.【点睛】本题考查函数模型的实际应用，考查逻辑思维能力，考查实际应用能力，属于常考题.20、（1）（2）【解析】

（1）根据二倍角公式及同角基本关系式，求出cos∠ABC，进而可求出sinA；（2）根据正弦定理求出AC，BC的关系，利用向量的数量积公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．【详解】（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），所以cos∠ABC，则sin∠ABC，由cosC，得：sinC，sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．（2）由正弦定理，得，即BCAC；又•AC2•21，∴AC＝5，∴ABAC＝4．【点睛】本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．