押江苏南京卷第25-26题（二次函数的综合、三角形旋转问题）（原卷版）-备战2024年中考数学临考题号押题

押江苏南京卷第25-26题押题方向一：二次函数的综合3年江苏南京卷真题考点命题趋势2023年江苏南京卷第26题二次函数的综合从近年江苏南京中考来看，二次函数的综合的考查，难度较大，综合性比较强；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对二次函数的综合问题的考查。2022年江苏南京卷第26题二次函数的综合2021年江苏南京卷第26题二次函数的综合1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数为常数，．（1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．（2）若，求证：当时，．（3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，，，且，则的取值范围是或．2．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．

(1)若，，则的值为________；(2)求与之间的函数表达式；(3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围．3．（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数的图像经过两点．（1）求b的值．（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．一、二次函数的图象1.二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.2.二次函数（）的图象的顶点坐标是（m，0），对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.3.二次函数（）的图象的顶点坐标是（m，k），对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下.4.二次函数（）的图象是一条抛物线，它de对称轴是直线，顶点坐标是，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点.二、二次函数的图象与系数的关系二次函数（）的系数与图象的关系（1）的符号由抛物线的开口方向决定：，；（2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号；（3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交三、二次函数的图象与几何变换1.二次函数的平移（1）平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：（2）平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2.二次函数图象的对称（1）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；（2）关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；（3）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4.关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1．已知二次函数（a为常数且）．(1)求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．①直接写出a的取值范围；②若a为负整数，则函数的图像与函数的图像的交点个数随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围．2．某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用)3．已知二次函数．(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且求证(3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．4．在二次函数中．(1)求证：不论取何值，该函数图像与轴总有两个公共点(2)当时，的最小值为，则的值为________．(3)当时，点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是________．5．若一次函数与反比例函数同时经过点则称二次函数为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点为共享点．(1)判断与是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；(2)已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“共享函数”，求的值．(3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．6．已知函数（m为常数）．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．(2)不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是．(3)在的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．7．已知函数（为常数）．(1)若，，求该函数图像与轴的两个交点之间的距离；(2)若函数的图象与轴有两个交点，将该函数的图像向右平移个单位长度得到新函数的图象，且这两个函数图象与轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等．若函数的图象如图所示，直接写出新函数的表达式；若函数的图象经过点，当时，求的值．押题方向二：三角形的旋转3年江苏南京卷真题考点命题趋势2023年江苏南京卷第27题三角形的旋转从近年江苏南京中考来看，三角形的旋转的考查，难度较大，常常与全等和相似三角形结合一起考查，综合性比较强；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对三角形的旋转的综合问题的考查。2022年江苏南京卷第27题三角形的旋转1．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，．例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到△，再将△以点为位似中心缩小到原来的，得到△，这个变换记作，逆，．（1）如图②，经过，顺，得到△，用尺规作出△．（保留作图痕迹）（2）如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．（3）如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形．Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出的长．2．（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．

(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；(3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：．1.旋转：2.相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．3、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有1．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中．【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

(1)如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长．(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离．(3)连接，取的中点G，三角板由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．(4)如图4，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______．2．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，射线与线段相交于点G，与射线相交于点Q．(1)求证：．(2)当，，求的长．(3)在（2）的条件下，求的长．3．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，E分别在线段，上，且．(1)观察猜想小华将绕点A逆时针旋转，连接，，如图②，当点E与点F重合时：①的值为______；②的度数为______度；(2)类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；(3)拓展延伸：若，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．4．如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，，．（___________）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．(1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：________________；(2)如图2，将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．①请在图中作出点；②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为______________；(3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图3)？5．（1）【操作发现】如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示．①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由．②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度．（2）【类比探究】如图3，在中，，，，G为