第7讲 数学广角-植树问题（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）人教版

第7讲数学广角-植树问题知识点一：两端都栽的植树问题植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离两端都栽：棵数=间隔数＋1知识点二：两端都不栽的植树问题两端不栽：棵数=间隔数－1知识点三：封闭图形的植树问题一端栽一端不栽：棵数=间隔数在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。考点一：两端都栽的植树问题【例1】在相距140米的两楼之间的道路两旁植树，每隔20米植1棵，共植了（）A．10 B．12 C．14 D．16【思路分析】树的间隔数为：140÷20＝7个，由于两端都不栽，所以一旁一共植树7﹣1＝6棵；然后再乘2即可．【规范解答】解：140÷20﹣1＝7﹣1＝6（棵）6×2＝12（棵）答：共植树了12棵．故选：B．【名师点评】如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1．1．在一条长300米的公路两边种树，每隔5米种一棵（两端都种）．一共种（）棵树．A．61 B．121 C．122【思路分析】利用植树问题公式：如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘2，即：棵数＝（段数+1）×2．根据植树棵数先求段数：300÷5＝60（段），然后求植树棵数：（60+1）×2计算即可．【规范解答】解：（300÷5+1）×2＝（60+1）×2＝61×2＝122（棵）答：一共种树122棵．故选：C．【名师点评】本题主要考查植树问题，关键是分清段数和植树棵数的关系做题．2．（2018秋•黄冈期末）21路公交车的起点每5分钟就要发一辆车，40分钟共要发（）辆车．A．7 B．8 C．9【思路分析】每5分钟就要发一辆车，先用除法求出40分钟里面有多少个5分钟，再加上第一辆出发的车即可求出40分钟共要发多少辆车．【规范解答】解：40÷5+1＝8+1＝9（辆）答：40分钟共要发9辆车．故选：C．【名师点评】本题属于两端都栽的植树问题：植树棵数＝间隔数+1．3．（2018春•弥勒市期中）16个同学排队，相邻两个同学间隔1m，这个队伍长（）m．A．16 B．17 C．15 D．8【思路分析】1个间隔长度为1米，只要求出有几个间隔即可：间隔数＝植树棵数﹣1，即16﹣1＝15个，由此即可解决问题．【规范解答】解：（16﹣1）×1＝15×1＝15（米）答：这个队伍长15米．故选：C．【名师点评】此题可以归属在植树问题中的两端都要栽的情况，只要求出间隔数问题即可解决．考点二：两端都不栽的植树问题【例2】（2019秋•高台县期中）一根木棒锯成3段需要3分钟，锯成5段需要（）分钟．A．5 B．6 C．7【思路分析】把一根木棒锯成3段要3分钟，即锯了2次用了3分钟，由此可求得锯一次用的时间，锯成5段要锯4次，乘锯一次的时间即可得解．【规范解答】解：3÷（3﹣1）×（5﹣1）＝3÷2×4＝6（分钟）答：锯成5段要6分钟．故选：B．【名师点评】此题的关键是理解锯成的段数与次数之间的关系：锯的次数＝锯的段数﹣1．1．（2019春•重庆月考）将一根木棒锯成3段需要6分钟，则将这根木棒锯成8段需要（）分钟．A．16 B．18 C．21 D．24【思路分析】锯成3段，那么需要锯2次，由此求出每次需要几分钟；锯8段需要锯7次，用每次的时间乘7就是锯8段需要的时间．【规范解答】解：6÷（3﹣1）＝6÷2＝3（分钟）（8﹣1）×3＝7×3＝21（分钟）答：锯成8段需要21分钟．故选：C．【名师点评】此题的关键是理解锯成的段数与次数之间的关系：锯的次数＝锯的段数﹣1．2．（2018•武侯区模拟）一根钢管锯成5段用20分钟，每据一次所用时间相同，如果锯成8段，需要（）分钟．A．18 B．35 C．24 D．32【思路分析】钢管锯成5段，需要锯5﹣1＝4（次），由此可求出锯1次需要20÷4＝5分钟，则锯成8段，需要锯8﹣1＝7次，由此再利用乘法解答即可．【规范解答】解：20÷（5﹣1）×（8﹣1）＝20÷4×7＝35（分钟）答：如果把它锯成8段需要35分钟．故选：B．【名师点评】锯木头问题中，抓住锯的次数＝锯出的段数﹣1，由此即可解答．3．（2018•萧山区模拟）时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完；那么6点钟敲6下，（）秒钟敲完．A．12 B．15 C．18 D．21【思路分析】敲3下，经过的时间间隔是：3﹣1＝2个，共用了6秒钟，那么敲一次用：6÷2＝3（秒）；敲了6下，经过的时间间隔是：6﹣1＝5个，共用了3×5＝15秒钟，据此解答．【规范解答】解：6÷（3﹣1）×（6﹣1）＝3×5＝15（秒）答：敲6下，15秒钟敲完．故选：B．【名师点评】本题考查了植树问题，关键是明确：时间的间隔数＝敲钟的下数﹣1．考点三：封闭图形的植树问题【例3】一个圆形钓鱼池的周长为150米，沿池边每隔7.5米放一把椅子，一共要放20把椅子．【思路分析】用150除以7.5求出间隔数，再根据在封闭图形上的植树问题：栽树的棵数＝间隔数；求出一共可以放多少把椅子．【规范解答】解：150÷7.5＝20（把）答：一共可以放20把椅子．故答案为：20．【名师点评】本题要考虑实际情况，属于在封闭图形上的植树问题，知识点是：栽树的棵数＝间隔数；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．1．（2019秋•红安县期末）一个圆形水池的周长为150米，沿池边每隔37.5米安盏观景灯，一共要安装4盏观景灯．【思路分析】根据题意，在圆形上植树，植树的棵数与间隔数相等，直接用150除以37.5即可．【规范解答】解：根据题意可得：150÷37.5＝4（盏）答：一共需要装4盏灯．故答案为：4．【名师点评】在封闭线路上植树，棵数与间隔数相等，即：棵数＝间隔数．2．（2019秋•蓬溪县期末）公园有一个周长是240米的圆形水池，围绕它的一周，每隔6米种一棵柳树，一共要种40棵柳树．【思路分析】围成一个圆圈植树时，植树棵数＝间隔数，据此根据包含除法的意义求出间隔数即可解答．【规范解答】解：240÷6＝40（棵）答：一共要种40棵柳树．故答案为：40．【名师点评】在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数．3．（2019秋•镇原县期末）小丽家门前有一条40m的小路，绿化队要在路旁栽一排树．每隔5m栽一棵树，如果两端不栽，一共要栽7棵；如果一端栽，一端不栽，一共要栽8棵．【思路分析】根据植树问题公式：如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数．如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1．先求间隔数，再求植树棵数即可．【规范解答】解：40÷5＝8（个）8﹣1＝7（棵）8＝8答：如果两端不栽，一共要栽9棵；如果一端栽，一端不栽，一共要栽8棵．故答案为：7；8．【名师点评】本题考查了植树问题，知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．一．选择题（共6小题）1．（2019春•镇康县月考）把一根木头锯成3段要6分钟，每锯一次所用时间相同，锯成5段要（）分钟．A．10 B．15 C．12【思路分析】锯3段，需要锯2次，由此先求出锯1次需要的时间是6÷2＝3分钟，若锯成5段，则需要锯4次，由此利用乘法的意义即可解答．【规范解答】解：6÷（3﹣1）×（5﹣1）＝3×4＝12（分钟）答：锯成5段需要12分钟．故选：C．【名师点评】抓住锯的次数＝锯成的段数﹣1，先求出锯1次需要的时间，即可解答．2．（2018春•卢龙县期末）在长70米的跑道一侧插上8面彩旗（两端都插），每相邻两面彩旗之间相距（）米．A．10 B．8 C．9【思路分析】因为长70米的跑道一侧插上8面彩旗（两端都插），由此知道间隔数＝彩旗的面数﹣1，所以用70除以间隔数就是每相邻两面彩旗之间相距的米数．【规范解答】解：70÷（8﹣1）＝70÷7＝10（米）答：每相邻两面彩旗之间相距10米，故选：A．【名师点评】关键是根据间隔数＝彩旗的面数﹣1与基本的数量关系解决问题．3．（2018秋•清河区校级月考）公路旁每两根电线杆之间的距离是400米，6根电线杆之间的距离是（）米．A．2800 B．2400 C．2000【思路分析】根据题意可知，6根电线杆之间空的个数：6﹣1＝5（个），所以距离为：400×5＝2000（米）．【规范解答】解：400×（6﹣1）＝400×5＝2000（米）答：6根电线杆之间2000米．故选：C．【名师点评】本题主要考查植树问题，关键利用公式：空数＝电线杆数﹣1．4．淘淘和苹苹住同一幢大楼，每两层楼之间的台阶级数相同，淘淘回到四楼的家要走60级台阶，苹苹回到七楼的家要走（）级台阶．A．105 B．120 C．140【思路分析】根据题意，从1楼到4楼，需要走：4﹣1＝3（层）台阶，从1楼到7楼需走：7﹣1＝6（层）台阶．根据从1楼到4楼所走台阶的级数，求走1层台阶的台阶的级数，再求走6层台阶的级数即可．【规范解答】解：60÷（4﹣1）×（7﹣1）＝60÷3×6＝20×6＝120（级）答：苹苹回到七楼的家要走120级台阶．故选：B．【名师点评】本题主要考查植树问题，关键是分清楼层数与台阶层数的关系．5．（2018秋•高邑县期末）小明从一楼上到三楼用了50秒，他以同样的速度接着上到6楼，还需要用（）秒．A．25 B．75 C．125【思路分析】从一楼到3楼，需要走3﹣1＝2个间隔，则走过一个间隔需要50÷2＝25秒，他他以同样的速度接着上到6楼，需要走6﹣3＝3个间隔，据此乘25即可．【规范解答】解：30÷（3﹣1）×（6﹣3）＝25×3＝75（秒）答：还需要用75秒．故选：B．【名师点评】此题问题原型是植树问题中的两端都要栽的情况：抓住间隔数＝植树棵数﹣1即可解答．6．（2019•郴州模拟）把一根圆木锯成3段要6分钟，每锯一次所用时间相同，把同样的圆木锯成6段要（）分钟．A．12 B．15 C．18 D．21【思路分析】锯成3段，那么需要锯2次，由此求出每次需要几分钟；锯6段需要锯5次，用每次的时间乘5就是锯6段需要的时间．【规范解答】解：6÷（3﹣1）＝6÷2＝3（分钟）（6﹣1）×3＝5×3＝15（分钟）答：锯成6段需要15分钟．故选：B．【名师点评】此题的关键是理解锯成的段数与次数之间的关系：锯的次数＝锯的段数﹣1．二．填空题（共6小题）7．街心公园一条路的一旁一共栽了82棵美人蕉，如果在每两棵美人蕉中间种上一棵兰草，需要种81棵兰草．【思路分析】根据题意相当于两端都不植树的问题，用美人蕉的棵数减去1，就是一共要种兰草的棵数．【规范解答】解：82﹣1＝81（棵）答：需要种81棵兰草．故答案为：81．【名师点评】如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1．8．操场上等距离放了8张课桌，把相邻的两张课桌用一段绳子连接起来，一共要准备7段绳子．【思路分析】根据题意相当于两端都不植树的问题，用课桌的张数减去1，就是一共要准备的绳子的段数．【规范解答】解：8﹣1＝7（段）答：一共要准备7段绳子．故选：7．【名师点评】如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1．9．（2020春•随州期末）一根木料，如果锯成3段要用12分钟，如果每锯一次的时间相等，那么锯13段要用72分钟．【思路分析】把一根木料锯成3段，那么就是要锯2次，才会有3段，那么每锯一次所要花费的时间是12÷2＝6分钟；现在锯成13段，就是要锯12次，那么总共需要时间是6×12＝72分钟．【规范解答】解：12÷（3﹣1）×（13﹣1）＝6×12＝72（分钟）答：锯成13段要用72分钟．故答案为：72．【名师点评】本题关键是求出每锯一次所要花费的时间；知识点是：段数＝锯的次数+1．10．（2019秋•永州期末）2019年10月1日，国庆70周年庆祝大会上鸣礼炮70响．如果每隔3.5秒鸣一发礼炮，从第一响礼炮开始到最后一响礼炮结束，一共经历了241.5秒．【思路分析】国庆70周年庆祝大会上鸣礼炮70响．如果每隔3.5秒鸣一发礼炮，共有70﹣1＝69个时间间隔，然后再乘3.5秒即可．【规范解答】解：（70﹣1）×3.5＝69×3.5＝241.5（秒）答：一共经历了241.5秒．故答案为：241.5．【名师点评】如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1．11．（2019秋•铜官区期末）在一条全长1km的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50m安一盏．一共要安装42盏路灯．【思路分析】根据植树问题公式：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1．先求间隔数：1千米＝1000米，1000÷50＝20（个），每边安路灯盏数：20+1＝21（盏），两边安：21×2＝42（盏）．【规范解答】解：1千米＝1000米（1000÷50+1）×2＝（20+1）×2＝21×2＝42（盏）答：一共要安装42盏路灯．故答案为：42．【名师点评】本题主要考查植树问题，关键知道间隔数与安路灯盏数的关系．12．（2019秋•任丘市期末）在一条长2500米的公路两侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两头不架，共需49根电线杆．【思路分析】先求出间隔数：2500÷50＝50个，由于公路两端都不架设，所以需要的电线杆为：50﹣1＝49根；据此解答．【规范解答】解：2500÷50﹣1＝50﹣1＝49（根）；答：若公路两端都不架设，共需电线杆49根．【名师点评】本题要考虑实际情况，属于两端都不栽的植树问题，知识点是：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），知识链接：植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．三．判断题（共5小题）13．（2018•杭州模拟）将一根钢管锯成5段需要12分钟，那么要锯成10段需要24分钟．×（判断对错）【思路分析】锯成5段需要锯4次，锯成10段需要锯9次，先计算锯一次的时间，12÷（5﹣1）＝3（分钟），然后再乘9即可．【规范解答】解：12÷（5﹣1）＝3（分钟）（10﹣1）×3＝27（分钟）即，要锯成10段需要27分钟，原题计算错误；故答案为：×．【名师点评】如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1．14．（2018秋•定州市期末）把一根10米长的绳子剪成5根2米长的绳子，需要剪5次．×（判断对错）【思路分析】根据题意，利用植树问题公式可知，所剪根数＝所剪次数+1，据此判断．【规范解答】解：5﹣1＝4（次）即把一根10米长的绳子剪成5根2米长的绳子，需要剪4次．所以原说法错误．故答案为：×．【名师点评】本题主要考查植树问题，关键利用植树问题公式计算，注意所剪根数与次数的关系．15．（2015秋•萧山区校级期中）小刚每上一层楼需10秒，他上到四楼要40秒．×．（判断对错）【思路分析】从一层到四层共要爬三层，用一层的时间乘3即可．【规范解答】解：（4﹣1）×10＝3×10＝30（秒）；答：他上到四楼要30秒．故答案为：×．【名师点评】本题要结合实际情况来求解，到的层数减1才是要走的层数．16．（2020春•周村区期末）一根木头锯成5段，每锯断一次需要3分钟，锯完这根木头共需要15分钟．×（判断对错）【思路分析】根据题意，要把一根木头锯成5段，那么只要锯4次就可以，每锯断一次需要3分钟，用3乘4计算出锯完所用的时间即可判断．【规范解答】解：3×（5﹣1）＝3×4＝12（分钟）即一共需要12分钟，所以原题说法错误．故答案为：×．【名师点评】此题的关键是求出锯成的段数与次数之间的关系：锯成的次数＝锯的段数﹣1，依次结合其它条件解决问题．17．（2015春•昆明期末）在笔直的跑道旁插了51面彩旗（两端都插），它们的间隔是2米，这条跑道长102米．×．（判断对错）【思路分析】根据题意知道，间隔数＝彩旗的面数﹣1，由此用每个间隔的米数×间隔数＝跑道长．【规范解答】解：2×（51﹣1）＝2×50＝100（米）答：这条跑道长100米．故答案为：×．【名师点评】此题主要考查了间隔数＝彩旗的面数﹣1，再根据基本的数量关系解决问题．四．应用题（共8小题）18．（2019春•交城县期中）豆豆要把3.6米长的木条锯成相等的15段，已知每锯一次需要3.4分，把这根木条锯完需要多长时间？【思路分析】锯成15段需要锯的次数是15﹣1＝14次，每次用3.4分钟，共用的时间就是14×3.4＝47.6分钟．据此解答．【规范解答】解：（15﹣1）×3.4＝14×3.4＝47.6（分钟）答：把这根木条锯完需要47.6分钟．【名师点评】本题的关键是根据数量关系：锯的次数＝段数﹣1，求出锯的次数，再根据乘法的意义列式解答．注意本题中木条的长度3.6米是多余条件．19．（2018秋•仁怀市期末）工人师傅在一条笔直的公路一侧架设电线杆，相邻两根间的距离是60m，从第1根到第24根有多远？【思路分析】先求出间隔数，由于两端都架设，再利用间隔数＝根数﹣1求出间隔数，再乘间距，列式解答即可．【规范解答】解：60×（24﹣1）＝60×23＝1380（米）答：从第1根到第24根有1380米．【名师点评】本题是典型两端都栽的植树问题，需要利用的规律是：间隔数+1＝植树棵数．20．（2018秋•高邑县期末）在一条长450米的公路两侧安装灯笼．每隔9米装一顶，若公路两头不安．共需多少顶灯笼？【思路分析】先求出间隔数：450÷9＝50个，由于公路两端都不安，所以一侧需要的灯笼数为：50﹣1＝49顶；然后再乘2；据此解答．【规范解答】解：450÷9﹣1＝50﹣1＝49（顶）49×2＝98（顶）答：共需98顶灯笼．【名师点评】本题要考虑实际情况，属于两端都不栽的植树问题，知识点是：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），知识链接：植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．21．同学们做课间操，随着体育老师一声令下：“前排两臂侧平举，后排两臂前平举，向前看齐!”同学们迅速站得整整齐齐!左右两端的同学相隔28.8米，又知相邻两个同学之间都是1.8米，操场上做课间操的同学站成了多少列？【思路分析】根据题意，利用植树问题公式：如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1．根据“左右两端的同学相隔28.8米，又知相邻两个同学之间都是1.8米”，求间隔数：28.8÷1.8＝16（个），然后再加1，就是列数．【规范解答】解：28.8÷1.8+1＝16+1＝17（列）答：操场上做课间操的同学站成了17列．【名师点评】本题主要考查植树问题，关键是分清列数与间隔数的关系做题．22．园林工人计划在一条公路的一旁种37棵树．每相邻两棵树间隔5米．实际栽种了31棵树（两端的树不动），实际每相邻两棵树间隔多少米？【思路分析】因为计划在一条公路的一旁种37棵树，每相邻两棵树间隔5米，间隔数＝植树棵数﹣1，所以公路的长度是5×