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文档简介

2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级(上)期末

数学试卷

一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有

一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)

1.(2分)一元二次方程x2=9的根是()

A.X]=x?=3B.X]=x2=-3

C.X]=3,x?=—3D.X]=x?

2.(2分)一组数据:7,5,9,3,9,15,关于这组数据说法错误的是()

A.极差是12B.众数是9C.中位数是7D.平均数是8

3.(2分)如图,。0是4ABC的外接圆,若NOCA=50°,则NABC的度数等于()

A

定y

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.(2分)对于二次函数y=(x-2)2+2的图象,下列说法正确的是()

A.对称轴为直线x=-2B.最低点的坐标为(2,2)

C.与x轴有两个公共点D.与y轴交点坐标为(0,2)

5.(2分)如图,直线\//\//\,直线a、b与lpV4分别交于点A、B、C和点D、E、

F,若AB:BC=1:2,DF=6,则EF的长为()

*zf;

----------h

a'b

A.2B.3C.4D.5

6.(2分)下列四个命题中,正确的是()

(1)各角相等的圆内接五边形是正五边形;

第1页(共6页)

(2)各边相等的圆内接五边形是正五边形;

(3)各角相等的圆内接六边形是正六边形;

(4)各边相等的圆内接六边形是正六边形.

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

二、填空题(本大题共10个小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把正确答

三、案直接填写在答题卡相应位置上)

7.(2分)若关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则皿=.

8.(2分)设多,X2是一元二次方程x2+x-4=0的两个根,则X[+x2的值是.

9.(2分)已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB.若AB=10.则AP=(结

果保留根号).

10.(2分)某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,若设平均每年增产的百

分率为x,则所列方程为.

11.(2分)把二次函数y=2x2的图象先向右平移3个单位长度,再下平移1个单位长度,

所得图象对应的函数表达式是.

12.(2分)如图,一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成.假设飞镖击中

每1块小正方形是等可能的(击中小正方形的边界或没有击中游戏板,则重投一次)任

意投掷飞镖一次,击中黑色区域的概率是__________________.

13.(2分)如图,在aABC中,ZACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,以边AC所在的直线

为轴旋转一周得到一个圆锥,则这个圆锥的面积是__________cm2.

14.(2分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且aWO),函数值y与自变量x

第2页(共6页)

的部分对应值如下表:

X・・・-101234・・・

…・・・

y10V12125

当y<yi时,自变量X的取值范围是

15.(2分)如图,在四边形ABCD中,BC、CD、DA分别与。0相切于B、E、A三点,AB

为。0的直径.若BC=4cm,AD=3cm,则。0的半径为cm.

16.(2分)如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,点P为AB上动点,点Q在AB的延长线

上,且BP=2BQ,CP、DQ相交于点E.当点P从点A运动到点B时,点E运动的路线

长度为cm.

三、解答题(本人题共11小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.(8分)解方程:

(1)X2-4X-2=0;

(2)3x(x-2)-2x=4.

18.(8分)某校从甲、乙两名同学中选拔一名代表学校参加《喜迎二十大奋进新征程》演

讲比赛,如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况:

根据以上信息,整理分析数据如下:

学生平均数(分)中位数(分)方差(分2)

甲8b3.6

乙a8C

(1)a=,b=,c=

第3页(共6页)

(2)根据五次选拔比赛的成绩,你认为选谁较为合适?请说明理由.

甲演讲比赛成绩的折线统计图乙演讲比赛成绩的条形统计图

19.(8分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3.随机

摸出一个小球后放回,再随机摸出一个小球.

(1)第二次摸到1号小球的概率是;

(2)求两次摸出的小球标号和为3的概率.

20.(7分)如图,学校打算用长16m的篱笆围成一个一面靠墙且面积是30m2的矩形生态园

饲养小兔,求生态园的长和宽.

21.(8分)如图,二次函数图象顶点坐标为(-1,-4),与x轴一个交点坐标为(1,0).

(1)该函数图象与x轴的另一个交点坐标为

(2)求这个二次函数的表达式;

(3)当-4<x<0时,y的取值范围为

第4页(共6页)

22.(8分)如图,在AABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,BE交AD于

点F,AB=AD.

(1)判断4FDB与4ABC是否相似,并说明理由.

(2)AF与DF相等吗?为什么?

23.(8分)某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天

可多售5件,降价幅度不超过10元,那么每件应降价多少元,可获得最大利润?最大利

润是多少?

24.(7分)在四边形ABCD中,用无刻度的直尺和圆规完成下列作图(保留作图痕迹,不

写作法,写出必要的文字说明).

(1)如图①,连接BD,在CD边上作点M,使得/AMB=ZADB;

(2)如图②,在CD边上作点N,使得NBND=/A.

25.(8分)如图,在。0的内接四边形ABCD中,AB=BC,直径AEJ_CD,垂足为点F.

(1)当BOCD时,求ND的度数;

(2)当AB=5,AD=8时,求CD的长.

第5页(共6页)

26.(8分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-1,3),(1,-1)两点.

(1)求b的值;

(2)求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点;

(3)设该函数图象与x轴的两个公共点分别为(m,0)、(n,0).当mn<0时,直接写

出a的取值范围.

27.(10分)已知。0的半径为2cm,P是外一点,P0=4cm,点A、B在。0上,在

△PAB中,BP=BA.

(1)如图①,PB是。0的切线,当PK=PB时,求证:PA是。0的切线;

(2)如图②,PA、PB分别交于点C、D,当点C为PA中点时,求PD的长;

线段PA的取值范围是

第6页(共6页)

2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有

一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)

1.【分析】两边直接开平方得:x=±3,进而可得答案.

【解答】解:X2=9,

两边直接开平方得:x=±3,

则xi=3,.=-3.

故选:C.

【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,解这类问题要移项,把所含未

知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a>0)的形式,利用

数的开方直接求解.

2.【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法,逐一判断即可.

【解答】解::?,5,9,3,9,15这组数据的最大值是15最小值是3

,这组数据的极差是:15-3=12,

选项A正确,不符合题意;

•••这组数据中9出现了2次,最多,

二众数为9,

二选项B确,不符合题意;

V7,5,9,3,9,15这组数据的中位数是8

.•.选项C不正确,符合题意;

据的平均数是:

(7+5+9+3+9+15)4-6

=48+6

=8.

二选项D正确,不符合题意;

故选:C.

【点评】此题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法,要熟练掌握.

3.【分析】连接0A,根据等腰三角形的性质得到NOAC=Z0CA=50°,根据三角形内角

第1页(共16页)

和定理求得NAOC=80°,由圆周角定理即可求出NABC的度数.

【解答】解:连接0A,

VOA=0C,

AZOAC=ZOCA=50°,

AZAOC=180°-(OAC+Z0CA)=80°,

ZABC=-lzA0C=40°,

2

故选:B.

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,等腰三角形的性质,正

确作出辅助线,熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.

4•【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断.

【解答】解:•.、=(x-2)2+2,

,抛物线开口向上,对称轴为直线x=2,与x轴有两个公共点,顶点坐标为(2,2),则

最低点的坐标为(2,2);其当x=0时,y=6,即与y轴交点坐标为(0,2),与x轴没

有交点,

故选项A、C、D说法错误,选项B说法正确,

故选:B.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,主要考查函数图象上点的坐标特征,要求

学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法,及这些点代表的意义及函数

特征.

5•【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【解答】解:...直线W4,

•.•一A■B・一=一DE•"=—1,

BCEF2

VDF=6,

.16-EF

2EF

AEF=4,

故选:C.

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质,能够熟练运用其性质是解题的关

键.

6.【分析】根据正多边形的性质一一判断即可.

第2页(共16页)

【解答】解:(1)各角相等的圆内接五边形是正五边形,因为圆内接五边形的角度都是

相等的,所以是正五边形,说法正确;

(2)各边相等的圆内接五边形是正五边形,因为圆内接五边形的边长都相等,所以是正

五边形,说法正确;

(3)各角相等的圆内接六边形,因为圆内接六边形的角度相等,但各边不一定相等,所

以不一定是正六边形,说法错误;

(4)各边相等的圆内接六边形是正六边形,因为圆内接六边形的边长都是相等的,所以

是正六边形,说法正确.

故选:B.

【点评】本题考查正多边形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考

常考题型.

二、填空题(本大题共10个小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把正确答

三、案直接填写在答题卡相应位置上)

7.【分析】根据判别式的意义得到(-2)2-4m=0,然后解关于m的方程即可.

【解答】解:根据题意得△=(-2)2-4m=0,

解得m=1.

故答案为1.

【点评】本题考查了根的判别式:利用一元二次方程根的判别式(A=b2-4ac)判断方

程的根的情况.

8.【分析】根据根与系数的关系得出即可.

【解答】解:;xi,》是一元二次方程x2+4x-1=0的两个根,

Xj+x2=--i-=-1,

故答案为:-I.

【点评】本题考查了根与系数的关系,能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键.

9.【分析】根据黄金分割点的定义,知AP是较长线段;则AP=Y5二1AB,代入数据即可

2

得出AP的长.

【解答】解:由于P为线段AB=10的黄金分割点,

且AP是较长线段;

第3页(共16页)

贝IjAP=VLZ1AB=咒-1x10=5巡-5,

故答案为:575-5.

【点评】本题考查黄金分割点的概念.应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段

的土匹,较长的线段=原线段的近二1.

22

10.【分析】此题是平均增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率),参

照本题,如果设平均每年增产的百分率为x,根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到

3630吨”,即可得出方程.

【解答】解:设平均每年增产的百分率为X;

第一年粮食的产量为:3000(1+x);

第二年粮食的产量为:3000(1+x)(1+x)=3000(1+x)2:

依题意,可列方程:3000(1+x)2=3630;

故答案为:3000(1+x)2=3630.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化

前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1土

x)2=b.

11.【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可.

【解答】解:把二次函数y=2x2的图象先向右平移3个单位长度,再下平移1个单位长

度,所得图象对应的函数表达式是:y=2(x-3)2-1.

故答案为尸2(x-3)2-1.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此

题的关键.

12.【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得.

【解答】解:•..共有9种小正方形,其中黑色正方形的有3个,

二小刚任意投掷飞镖一次,刚好击中黑色区域的概率是3=2,

93

故答案为:1.

3

【点评】本题考查几何概率:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,

其中事件A出现m种可能,那么事件A的概率P(A)=典.

n

13.【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长,那么圆锥的侧面积=底面周长X母线长小2.

第4页(共16页)

【解答】解:由勾股定理易求得

•.•旋转后的圆锥母线为AB,长度为5cm,底面半径为BC,长度为3cm,

则底面圆的周长,即侧面展开图的弧长是6处m.

二圆锥的侧面积是:-lx6nX5=15Jicm2.

圆锥的底面积是32n=9的m2,

...圆锥的面积是15Jt+9n=24Jem2.

【点评】本题从圆锥的形成过程中,考查其侧面积公式,明确BC为底面半径,AB为母

线长.

14.【分析】根据题意确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标,根据二次函数的性质

解答即可.

【解答】解:由题意得,抛物线的顶点坐标为(2,1),对称轴是直线x=2,开口向上,

当x=0时的函数值与x=4时的函数值相等,

.•.当y<yi时,自变量X的取值范围是0Vx<4,

故答案为:0<x<4.

【点评】本题考查的是二次函数的图形和性质,根据表格确定二次函数的开口方向、对

称轴和顶点坐标是解题的关键.

15.【分析】过D作DH±BC于H,由切线长定理得到DE=AD=3cm,CE=BC=4cm,由

切线的性质定理得到直径ABJ_AD,直径AB_LBC,推出四边形ABHD是矩形,得到DH

=AB,BH=AD=3cm,求出CH=BC-BH=4-3=1(cm),DC=DE+CE=3+4=7(cm),

由勾股定理求出DH=VCD2-CH2=4^3(cm),得到AB=4向(cm),即可得到圆的

半径长.

【解答】解:过D作DH±BC于H,

:BC、CD、DA分别与00相切于B、E、A三点,

,DE=AD=3cm,CE=BC=4cm,直径AB_LAD,直径AB_LBC,,八

Au

・・・四边形ABHD是矩形,

ADH=AB,BH=AD=3cm,

ACH=BC-BH=4-3=1(cm),

VDC=DE+CE=3+4=7(cm),

BH

第5页(共16页)

22=4

.,.DH=VCD-CHV3(cm),

.'.AB=4百(cm),

VAB为。0的直径,

A00的半径为2jEcm.

故答案为:2百.

【点评】本题考查切线的性质,切线长定理,勾股定理,矩形的判定和性质,关键是由

切线长定理得到CD的长,由矩形的性质得到CH的长,由勾股定理求出DH的长.

16.【分析】先画出点E运动的路线EE',过E作EFLAQ,交AQ于点F,根据AEAFs

△CAB,可得EF=AF,设EF=xcm,贝UBF=(3-x)cm,QF=(4.5-x)cm,再根据

△EQFs^DQA,可求得即、E'F,利用勾股定理可得EE'.

【解答】解:当点P在点A处时,如图,

VBP=2BQ,BP=3cm,

・二BQ=1.5cm,

当点P运动到点B时,如图,

AB(P/Q/E),

所以点E运动的路线EE',如图,

第6页(共16页)

过E作EF_LAQ,交AQ于点F,即/AFE=/EFQ=90°,

:四边形ABCD为正方形,

ABC=AD=3cm,

在Rt/XABC中,AC=VAB2+BC2=35/2cm*

.*ZAFE=NABC=90°,ZCAB=NEAF,

\AEAF<^ACAB,

.EF=AF

,CBAB

/AB=BC,

AEF=AF,

设EF=xcm,则BF=(3-x)cm,QF=(4.5-x)cm,

ZEQF=NDQA,ZEFQ=NDAQ=90°,

/.△EQF^ADQA,

.EF_JQFmx_(4.5-x)

'KF'7=~4.5

解得:x=a,

5

AEFcm,EzF=BF=—cm,

55

2/

在RtAEFE'中,EE=VEF+Ef2=2/^7.=32^3(cm),

55

故答案为:汉亘.

5

【点评】本题考查了正方形的综合题,关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题.

三、解答题(本人题共11小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17•【分析】(1)利用配方法求解;

第7页(共16页)

(2)利用公式法求解.

【解答】解:⑴x2-4x=2,

x2-4x+4=2+4,

(x-2)2=6,

:.x-2=土巫,

:.X[=2+J^,X2=2-5/5;

(2)3x(x-2)-2x=4,

3X2-6X-2X=4,

3x2-8x-4=0,

a=3,b=-8,c=-4,

A=64-4X3X(-4)=112>0,

.X_8±VT^_8±4V7_4±2V7

"6-63,

.=4+277A*=4-277

••XI-------,o--------

33

【点评】本题考查解一元二次方程-公式法,配方法,解题的关键是掌握公式法,配方

法解一元二次方程.

18•【分析】(1)根据平均数,中位数,方差的定义解决问题即可;

(2)利用方差小成绩稳定判断即可.

【解答】解:(1)由题意a=1-(2X7+8+2X9)=8,b=8,

5

C=A[2X(7-8)2+(8-8)2+2X(9-8)2]=0.&

5

故答案为:8,8,0.8

(2)从方差看,乙的成绩比较稳定,选乙比较合适.

【点评】本题考查折线统计图,条形统计图,中位数,平均数,方差等知识,解题的关

键是掌握中位数,平均数,方差的定义,属于中考常考题型.

19.【分析】(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号和为3的结果数,再利用

概率公式可得出答案.

【解答】解:(1)由题意得,第二次摸到1号小球的概率是工.

3

第8页(共16页)

故答案为:1•.

3

(2)列表如下:

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

共有9种等可能的结果,其中两次摸出的小球标号和为3的结果有:(1,2),(2,1),

共2种,

二两次摸出的小球标号和为3的概率为2.

9

【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式,熟练掌握列表法与树状图法以及概率

公式是解答本题的关键.

20.【分析】设生态园的宽为xm,则长为(16-2x)m,根据生态园的面积是30m2的矩

形,列出一元二次方程,解方程即可.

【解答】解:设生态园的宽为xm,则长为(16-2x)m,

由题意得:x(16-2x)=30,

解得:Xi=3,X2=5,

当x=3时,16-2x=16-2X3=10;

当x=5时,16-2x=I6-2X5=6.

答:生态园的长为10m,宽为3m或长为6m,宽为5nl.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解

题的关键.

21•【分析】(1)根据函数的对称性可得结论;

(2)用待定系数法可求解析式即可;

(3)根据函数的性质结合函数图象求y的取值范围.

【解答】解:(1).••二次函数的对称轴为直线x=-1,与x轴一个交点坐标为(1,0),

.♦.二次函数图象与x轴的另一交点为(-3,0),

故答案为:(-3,0);

(2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4,

第9页(共16页)

把(1,0)代入解析式得:4a-4=0,

解得a—1,

二二次函数的表达式表达式为y=(x+1)2-4;

(3)I•抛物线开口向上,顶点坐标为(-1,-4),

二抛物线的最小值为-4,

•;-1-(-4)=3>0-(-1)=1,

当x=-4时,y=5,

...当-4Vx〈0时,y的取值范围为-4WyV5,

故答案为:-4<y<5.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象的性质,用待定系数法求二次

函数解析式,熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键.

22•【分析】(1)根据相似三角形的判定即可求出答案.

(2)由相似三角形的性质即可知道AB=2FD,由于AB=AD,所以AD=2FD,从而可

知DF=AF

【解答】解:(1)VDE是BC垂直平分线,

ABE=CE,

:.ZEBC=ZECB,

VAB=AD,

/.ZABC=ZADB,

:.AFDB^AABC;

(2),;AFDB^AABC,

•FD=BD=1

"AB-BC-^

AAB=2FD,

VAB=AD,

AAD=2FD,

;.DF=AF.

【点评】本题考查相似三角形的性质,涉及相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性

质,垂直平分线的性质等知识,综合程度较高.

23•【分析】设每件应降价x元,利润为y元,则每天的销量为(20+5x)件,每件的利润为

第10页(共16页)

(44-x)元;再根据“y=降价后每件的盈利X降价后每天的销量”可列式配方后可求

解,注意降价幅度不超过10元.

【解答】解:设每件应降价x元,利润为y元,

根据题意得:y=(44-x)(20+5x)=-5x2+200x+880=-5(x-20)2+2880,

V-5<0,

...当x<20时,y随x的增大而增大,

;xW10,

.•.当x=10时,y有最大值是:-5(10-20)2+2880=2380,

答:每件应降价10元,可获得最大利润,最大利润是2380元.

【点评】此题考查了二次函数的应用,其中根据每件降价1元,则每天可多售5件表示

出每件的利润及卖的件数是列函数解析式的关键.

24.【分析】(1)作aABD的外接圆交CD于M点,则根据圆周角定理得到NAMB=ZADB;

(2)先作A点关于BD的对称点A',则/BAD=NBA'D,再作4A'BD的外接圆交

CD于N点,则根据圆周角定理得到/BND=NBA'D,所以/BND=NA.

【解答】解:(1)如图①,作AB和AD的垂直平分线,它们相交于点0,然后以0点

为圆心,0A为半径作圆交CD于M点,

则点M为所作;

(2)如图②,作A点关于BD的对称点A',再作DA'和BD的垂直平分线,它们相

交于点0,然后以0点为圆心,0B为半径作圆交CD于N点,

则N点为所作.

【点评】本题考查了作图-复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了圆周角定理.

25.【分析】(1)根据题意得到关于NCAD和NACD的二元一次方程组求解即可,

(2)根据题意,利用勾股定理及两个三角形相似的判定定理求解即可.

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【解答】解:(1)连接AC,0C,0D,BD

所以/BAC=ZCAD,

VAB=BC,

ZBCA=NBAC=NCAD,

•:A,B,C,D在同一个圆上,

/.ZBAD+ZBCD=180°,

AZBCA+ZACD+ZBAC+ZCAD=180°,

3ZCAD+ZACD=180°,

VOC=0D且OF_LCD,

/.CF=FD,

/.△ACD为等腰三角形,

ZACD=ZADC,

/.ZCAD+2ZACD=180°,

旺占(3/CAD+NACD=180°

联文《,

1ZCAD+2ZACD=18O°

解得:(NCAD=36°

IZACD=72°

ZD=ZACD=72".

(2)延长CB,过A作AG±CB,于G,

设BG=x,

由(1)知,AC=AD—8,

BC=AB=5,

在Rtz^ABG中,AG2=AB2-BG2,

在RtZ\ACG中,AG2=AC2-CG2,

.\62-x2=82-(5+x)2,

解得:x=Z,

5

VZABG+ZABC=180°,

ZABC+ZADC=180°,

ZADC=ZACD,

AZABG=ZACD,

第12页(共16页)

XvZAGB=ZAFC=90°,

AABG^AACF,

.ACAB

,,而W

,_LA

*'CF~7_'

~5

CF=园,

25

.'.CD=2CF=—X2=^^,

25”25

.,.CD的长为卫2.

25

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理,熟知圆内接四边形的对角互

补是解题的关键.

26.【分析】(1)依据题意,由二次函数图象经过(-1,3),(1,-1)两点,进而代入计

算得a-b+c=3①,a+b+c=-1②,再由②-①得,2b=-4,从而求出b的值;

(2)依据题意,由(1)得,b=-2,又a-b+c=3,从而a+c=l,最后c=l-a,进而

A=b2-4ac=4-4a(1-a)=(2a-1)2+3,进而可以判断得解;

(3)依据题意,由该函数图象与x轴的两个公共点分别为(m,0)、(n,0),进而求得

mn=q=2二生,又mn<0,再依据a的值进行分类讨论即可判断得解.

aa

【解答】解:(1)由题意,:二次函数图象经过(-1,3),(1,-1)两点,

**.a-b+c=3①,a+b+c=-1.②,

.,•②-①得,2b=-4.

.』=-2.

(2)由(1)得,b=-2,

又a-b+c=3,

/.a+c=l.

/.c=l-a.

/.△=b2-4ac=4-4a(1-a)

=4-4a+4a2

=(2a-1)2+3.

•・•对于任意的a都有(2a-l)220,

第13页(共16页)

二A=(2a-1)2+3>3>0.

该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点.

(3)由题意,:该函数图象与x轴的两个公共点分别为(m,0)、(n,0),

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