2024年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．6x﹣2x＝4 B．a﹣2•a3＝a﹣6 C．x6÷x3＝x3 D．（x﹣y）2＝x2﹣y23．（3分）下列事件属于随机事件的是（）A．常压下，温度降到0°C以下，自来水会结冰 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意一个五边形的外角和等于540° D．如果a＝b，那么a2＝b24．（3分）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y25．（3分）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A． B． C． D．6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB的值为（）A． B． C． D．7．（3分）下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝，弦CD与AB延长线交于点E，若CD＝DE，则∠AFC的度数为（）A．52.5° B．60° C．67.5° D．75°9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴负半轴上的图象经过顶点A和对角线OB的中点D，AE∥OB交y轴于点E，则k的值为（）A．3 B．6 C．8 D．1210．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，点F在DC的延长线上，∠EAF＝60°；②△ABE与△EFC相似；③当∠BAE＝15°时，则，＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．（3分）分解因式：4a﹣ax2＝．12．（3分）函数中自变量x的取值范围是．13．（3分）请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限．14．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，立一标杆，长一尺五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为．15．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为．16．（3分）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了26米，则他距离地面的垂直高度升高了米．17．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是.（结果保留π）18．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接DH、EH，当DE＝EH时；运动过程中，△DEH的面积的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．）19．（8分）（1）计算：．（2）化简：．20．（8分）（1）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．（2）解不等式组．21．（10分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E（1）求证：△DAF≌△ECF；（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．22．（10分）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息某校学生阅读课外书籍情况统计表图书种类频数频率科普常识840b名人传记8160.34中外名著a0.25其他144c（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a，b的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？23．（10分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA交BC于点D．（1）求证：∠OAC与∠B互余；（2）若AD＝6，BD＝10，CD＝825．（10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？26．（10分）如图，已知△ABC中，AC＝AB．（1）请在图1中用圆规和无刻度的直尺作⊙O，使得⊙O经过点A，同时圆心O落在边AB上（2）在（1）的条件下，若AC＝5，I为△ABC的内心，则⊙O的半径长为，DI＝．27．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，点F为CD边上的动点．（1）E为边AD上一点，连接EF，将△DEF沿EF进行翻折，①求DE的长；②求tan∠GFC的值．（2）如图2，延长CD到M，使DM＝DF，BM与AF交于点N，连接DN（x＞0），DN＝y，求y关于x的函数表达式，直接写出点N运动路径的长．28．（10分）已知二次函数y＝ax2+4x+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C．一次函数，C．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+4x+c的图象与平行于x轴的直线l始终有两个交点D，E（点D在点E的左侧），P为该抛物线上异于D，E的一点，P的横坐标分别为m，m+1．当m的值发生变化时，请求出∠PDE度数的范围；若不变；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时

2024年江苏省无锡市宜兴市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．（3分）下列运算正确的是（）A．6x﹣2x＝4 B．a﹣2•a3＝a﹣6 C．x6÷x3＝x3 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【解答】解：A选项，原式＝4x；B选项，原式＝a；C选项，原式＝x3，故该选项符合题意；D选项，原式＝x3﹣2xy+y2，故该选项不符合题意；故选：C．3．（3分）下列事件属于随机事件的是（）A．常压下，温度降到0°C以下，自来水会结冰 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意一个五边形的外角和等于540° D．如果a＝b，那么a2＝b2【解答】解：A、通常温度降到0°C以下，是必然事件；B、随意翻到一本书，是随机事件；C、任意一个五边形的外角和等于540°，故C不符合题意；D、如果a＝b2＝b6，是必然事件，故D不符合题意；故选：B．4．（3分）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝8＞0，∴y随着x的增大而增大．∵点（﹣3，y8）和（4，y2）是一次函数y＝5x+1图象上的两个点，﹣3＜3，∴y1＜y2．故选：A．5．（3分）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．方程可表示为：．故选：B．6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，tanA＝，∴＝，设BC＝x，AC＝3x，故AB＝＝x，则cosB＝＝＝．故选：D．7．（3分）下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：因为同时经过同一直线上的三点不能作圆，所以三点不一定确定一个圆，故①错误；只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，所以没有“在同圆或等圆中”这一条件，则相等的圆心角所对的弧不一定相等，故②错误；因为经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线不一定是圆的切线，故③错误；由圆周角定理的推论可知，圆内接四边形对角互补，故④正确；因为三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故⑤正确；因为任意三角形的内心都在三角形的内部，所以直角三角形的内心不能在斜边的中点上，故⑥错误，故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝，弦CD与AB延长线交于点E，若CD＝DE，则∠AFC的度数为（）A．52.5° B．60° C．67.5° D．75°【解答】解：连接OC、OD∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠BOC＝90°，∵CD＝DE，∴OD＝CE＝CD，∴OD＝CD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CAD＝∠COD＝30°，∴∠AFC＝90°﹣30°＝60°；故选：B．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴负半轴上的图象经过顶点A和对角线OB的中点D，AE∥OB交y轴于点E，则k的值为（）A．3 B．6 C．8 D．12【解答】解：如图，连接AD，∵点D是菱形对角线OB的中点，AB∥OC，∴点A，D，C三点共线，设点D（m，n），2n），∴k＝mn，∴A（，2n）．∴直线OB：y＝x．∵AE∥OB，∴直线AE：y＝x+n．∴E（6，n）．∴AF＝﹣m，OE＝﹣n．∴△AON的面积＝AF•OE＝m）×（﹣mn＝3．∴mn＝5．∴k＝8．故选：C．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，点F在DC的延长线上，∠EAF＝60°；②△ABE与△EFC相似；③当∠BAE＝15°时，则，＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠ACF，在△BAE与△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴AE＝AF，BE＝CF；∵∠EAF＝60°，AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠EAB＝∠CEF，在菱形ABCD中，已知∠ABC＝60°，∴∠ECF＝180°﹣∠BCD＝60°，∵∠AEB＜∠AEF＝60°，∴△ABE与△EFC不相似，故②错误；过点A作AG⊥BC于G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°，设菱形ABCD的边AB＝2a，在Rt△AGB中，∠ABC＝60°，则∠BAG＝30°，∴，，则；在Rt△AEG中，∠AEG＝∠EAG＝45°，则，，∴EB＝EG−BG＝a−a，则；过点A作AI⊥EF于I，如图所示：∵△AEF是等边三角形，∴，∠AEF＝60°，在Rt△AEI中，∠AEF＝60°，，∴，则；∵△AEB≌△AFC，∴∠ABE＝∠ACF＝120°，，∴∠FCE＝60°，在Rt△CHF中，∠CFH＝30°，，则，∴，∵，则；∴；；故③正确；综上所述，正确的是①③，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．（3分）分解因式：4a﹣ax2＝a（2+x）（2﹣x）．【解答】解：4a﹣ax2＝a（8﹣x2）＝a（2+x）（5﹣x）．故答案为：a（2+x）（2﹣x）．12．（3分）函数中自变量x的取值范围是x≥1．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥1．13．（3分）请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限y＝x2+x﹣1（答案不唯一）．【解答】解：开口向上，顶点在第三象限2+x﹣1．故答案为：y＝x6+x﹣1（答案不唯一）．14．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，立一标杆，长一尺五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为四丈五尺．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，∴＝，解得x＝45（尺），45尺＝四丈五尺．故答案为：四丈五尺．15．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为﹣1．【解答】解：，x+x﹣1＝﹣m，，∵关于x的分式方程有增根，∴，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．16．（3分）小明沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了26米，则他距离地面的垂直高度升高了10米．【解答】解：设坡度的高为x米（x＞0），则水平距离为：2.5x米，则：x2+（2.3x）2＝262，解得：x＝10，答：他距离地面的垂直高度升高了10米．故答案为：10．17．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（36+4）π.（结果保留π）【解答】解：依题意知，这个几何体是圆锥和圆柱的组合体，圆锥的底面半径＝4÷2＝3，母线长为，圆柱的底面半径＝4÷2＝4，高为8，则S表面积＝S圆柱侧面积+S底面积+S圆锥侧面积＝4π×4+π×22+π×5×＝36π+）π．故答案为：（36+2）π．18．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接DH、EH，当DE＝EH时；运动过程中，△DEH的面积的最小值是．【解答】解：连接FH，∵△EGH≌△BCF，∴∠DCB＝∠G＝90°，FC＝GH，∴FC∥GH，BE＝CG，∴四边形FCGH是平行四边形，∴四边形FCGH是矩形，∵BE＝CF，∴CG＝CF，∴四边形CGHF为正方形，∴EH＝CF，设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x，∴EC＝3﹣x，∵DE＝EH，∴（3﹣x）8+22＝32+x2，解得x＝，∴CF＝FH＝，∴DF＝2﹣x＝2﹣＝，∴DH＝＝＝；∵S△DEH＝S△DEC+S梯形DCGH﹣S△EHG＝（3﹣x）×7+＝﹣x+3＝）2+，∵＞0，∴△DEH的面积的最小值是．故答案为：，．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．）19．（8分）（1）计算：．（2）化简：．【解答】解：（1）＝4+（﹣3）+×＝1﹣2+＝﹣2+；（2）＝•＝•＝x+2．20．（8分）（1）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．（2）解不等式组．【解答】解：（1）2x2﹣8x﹣1＝0，x5﹣2x＝，x2﹣2x+4＝，（x﹣7）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝8﹣；（2），解不等式①得x＞﹣7，解不等式②得x≤5，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤7．21．（10分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E（1）求证：△DAF≌△ECF；（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．【解答】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD＝BC＝EC，在△DAF和△ECF中，，∴△DAF≌△ECF（AAS）；（2）∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF＝∠ECF＝40°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAF＝90°﹣40°＝50°，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠CAB＝25°．22．（10分）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息某校学生阅读课外书籍情况统计表图书种类频数频率科普常识840b名人传记8160.34中外名著a0.25其他144c（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a，b的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？【解答】解：（1）∵1﹣28%﹣38%＝34%．∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．（2）∵816÷0.34＝2400，∴a＝2400×5.25＝600，b＝840÷2400＝0.35．（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，∴全校学生总人数为204÷34%＝600．∴该校学生平均每人读课外书：2400÷600＝4．答：该校学生平均每人读2本课外书．23．（10分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；故答案为：；（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的8个选项，a，b，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为：．24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA交BC于点D．（1）求证：∠OAC与∠B互余；（2）若AD＝6，BD＝10，CD＝8【解答】解：（1）证明：延长AD交圆O于E，连接CE，由AE是直径，得∠ACE＝90°，得∠OAC+∠B＝∠OAC+∠E＝90°，即∠OAC与∠B互余．（2）解：由∠B＝∠E，∠ADB＝∠CDE，得△ADB∽△CDE，得，由AD＝6，BD＝10，得DE＝，得AE＝，得⊙O的半径为．25．（10分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？【解答】解：（1）由题意，设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，解得：．答：1盆盆景的利润为140元，7盆花卉的利润为20元．（2）由题意可知，第二期有盆景（50+x）盆．由题意得：①W1＝（140﹣3x）（50+x）＝﹣3x2﹣10x+7000，W2＝（20+x）（50﹣x）＝﹣x8+30x+1000．②W＝W1+W＝﹣3x8﹣10x+7000+（﹣x2+30x+1000）＝﹣4x6+20x+8000＝﹣4（x﹣）2+8025，∵a＝﹣4＜8，抛物线开口向下，∴当x＝2或3时，W取得最大值，Wmax＝8024，∴当x＝4或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大．26．（10分）如图，已知△ABC中，AC＝AB．（1）请在图1中用圆规和无刻度的直尺作⊙O，使得⊙O经过点A，同时圆心O落在边AB上（2）在（1）的条件下，若AC＝5，I为△ABC的内心，则⊙O的半径长为，DI＝．【解答】解：（1）如图1所示：∴⊙O即为所求；（2）由（1）知AE⊥BC，OD⊥BC，∴AE∥OD，∴△BOD∽△BAE，∴，∵AC＝AB，∴AD是等腰△ABC底边上的中线，即，∵AC＝5，BC＝8，在Rt△ABD中，AB＝AC＝4，则，设⊙O半径为r，则，解得；如图2所示：∵I为△ABC的内心，∴⊙I是△ABC的内切圆，设其半径为R，则，即，解得，∵△BOD∽△BAE，∴，即，解得，则，在Rt△DEI中，，故答案为：；．27．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，点F为CD边上的动点．（1）E为边AD上一点，连接EF，将△DEF沿EF进行翻折，①求DE的长；②求tan∠GFC的值．（2）如图2，延长CD到M，使DM＝DF，BM与AF交于点N，连接DN（x＞0），DN＝y，求y关于x的函数表达式，直接写出点N运动路径的长．【解答】解：（1）①连接AC，AG，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2．∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵BG＝GC，∴AG⊥BC，BG＝GC＝1．∴AG＝．∵AD∥BC，∴AG⊥AD．由题意得：ED＝EG．设EG＝ED＝x，则AE＝2﹣x，在Rt△AEG中，∠GAE＝90°，∴AG2+AE8＝EG2．∴，∴x＝．∴DE＝；②过点G作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，∵AB∥CD，∴∠BCH＝∠B＝60°．∴∠CGH＝30°，∴CH＝CG＝．由题意得：FD＝FG，设FG＝FD＝m，