高三数学一轮复习讲义正态分布教师

课题：正态分布知识点一、正态分布1.正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。的图象称为正态曲线。2.正态分布的期望与方差：若～，则标准正态分布曲线3.正态曲线的性质：标准正态分布曲线（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交；（2）曲线关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ时位于最高点．（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，向它无限靠近；（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4.在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率即时，则的值可在标准正态分布表中查到时，可利用其图象的对称性获得来求出，5.两个重要公式：（1）（2）xyOxyO6.与的关系：（1）若～，则～，有（2）若～，则【典型例题】例1.已知随机变量服从正态分布，，则（A）A． B． C． D，例2.已知随机变量服从标准正态分布，则(A)例3.设随机变量服从标准正态分布，若，则（D）A.B.C.D.例4.设随机变量，且，则c等于（D）例5.设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)=()A.B.—p C．l2p D．【答案】C因为,所以P(2<X<4)=,选 C．例6某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400[解析]记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.【举一反三】1．设随机变量服从正态分布，记，则下面不正确的是（D）A．B．C．D．2．以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（B）A.B.C.D.3．设随机变量服从标准正态分布，已知，则(C)4．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为eq\f(6,7)，则口袋中白球的个数为()A．3B．4C．5D．2[答案]A[解析]设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C7－x2,C72)＝eq\f(7－x6－x,42)，P(ξ＝1)＝eq\f(x·7－x,C72)＝eq\f(x7－x,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(Cx2,C72)＝eq\f(xx－1,42)，∴0×eq\f(7－x6－x,42)＋1×eq\f(x7－x,21)＋2×eq\f(xx－1,42)＝eq\f(6,7)，∴x＝3.5．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝eq\f(1,\r(2π)σi)e－eq\f(x－μi2,2σi2)(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3[答案]D[解析]正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.【课堂巩固】1．标准正态分布的均数与标准差分别为()A．0与1B．1与0C．0与0D．1与1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2．正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A．越大B．越小C．越大D．越小答案：C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。3．已在个数据，那么是指（）A．B．C．D．答案：C。解析：由方差的统计定义知。4．设，，，则的值是。答案：4。解析：，5．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E（X）=。答案：。解析：。∴。6．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是。(1)(2)(3)(4)答案：(1),(2),(4)。解析：。7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则V（X）=。答案：。解析：，按定义计算得。【课后练习】正确率：__________1．已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为（）答案：B。解析：，。2．正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()A．95%B．50%C．97.5%D．不能确定（与标准差的大小有关）答案：B。解析：由正态曲线的特点知。3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）A．32B．16C．8D．20答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)，。4．如图，两个正态分布曲线图：1为，2为，则，（填大于，小于）答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。5．下列函数是正态分布密度函数的是（）A．B．C．D．答案：B。解析：选项B是标准