2024年高考数学总复习 数列的概念 教师版

2024年高考数学总复习数列的概念

【考试要求】L了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是

自变量为正整数的一类特殊函数.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列｛斯｝的第n项二与它的序号”之间的对应关系可以用

通项公式

一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

递推公式

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列｛”“｝的把数列｛斯｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛斯｝

前n项和的前n项和，记作S”即2H------1~斯

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

递减数列其中wGN*

项与项间的

常数列

大小关系

从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列｛斯｝是从正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到实数集R的函数，其自变量是庄

号力对应的函数值是数列的第九项斯,记为斯=/（〃）.

【常用结论】

[Si，n—l,

1.已知数列｛©,｝的前〃项和S〃，则=

（Sn—Sn-i，2.

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ICln1，1，

2.在数列｛a〃｝中，若a“最大，贝1“（心2,"GN*）；若斯最小，则[（〃》2,

1。”^斯+11a”1^a”+i

wGN*）.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）数列的项与项数是同一个概念.（X）

（2）数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.（V）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（X）

（4）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.（V）

【教材改编题】

1.（多选）已知数列｛斯｝的通项公式为诙=9+12〃，则在下列各数中，是｛诙｝的项的是（）

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由数列的通项公式得，<71=21,42=33,<212=153.

2.已知数列｛诙｝的前〃项和为S”且&=层+〃,则02的值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由题意，$2=2~+2=6,Si—H-1—2,所以“2=$2—51—6—2—4.

3.在数歹!]1,1,2,3,5,8,13,21,%,55,…中，尤=.

答案34

解析通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x=\3

+21=34.

■探究核心题型

题型一由与当的关系求通项公式

例1（1）已知数列｛斯｝的前〃项和为S,，6=2,S„+i=2S„-l,贝ijaio等于（）

A.128B.256C.512D.1024

答案B

解析：S,+i=2S"-1,...当“22时，S.=2Si—1,两式相减得“+1=2%.当”=1时，句

+”2=2。1-1,又的=2,.,.02=1..,.数列｛斯｝从第二项开始为等比数列，公比为2.则」410=02X28

=1X28=256.

（2）已知数列｛诙｝的前〃项和为S”且满足S.=2"+2—3,则斯=.

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解析根据题意，数列｛为｝满足S,=2〃+2—3,

当心2时，有a“=S”一ST=(2"+2—3)—(2"+i—3)=2"+i,

-5n=l,

当〃=1时，有m=Si=8—3=5,不符合斯=2"",故〃〃=入“+1

[2,n^2.

思维升华&与见的关系问题的求解思路

(1)利用〃〃=S〃-SLI(〃22)转化为只含S〃，S〃—i的关系式，再求解.

(2)利用与-5〃—1=。〃(〃22)转化为只含斯，的关系式，再求解.

跟踪训练1(1)已知正项数列｛斯｝中，区+47+…+的=迹#,则数列｛斯｝的通项公式

为()

A.Un=〃B.Cln~~/

nn2

C.CLn=~2D.斯=了

答案B

角窣析9>9y[a\+y[a2-\---卜、/^=硬苧"，

yj~ai+V^2^----卜。斯-1I'22),

两式相减得丽=及/一迹尸=〃(〃、2),

=2

/•dnn(n2),①

1X2

又当Yi—1时，y[ui――2—=1»“1=1,适合①式，

2

an=n9〃£N*.

(2)设工是数列｛诙｝的前几项和，且〃i=-1,an+i=SnSn+^则<=.

答案廿

解析因为斯+1=5〃+1—Sn,即+1=5〃3〃+1,所以由两式联3L得Sz+i—Sz=S〃Sz+i.因为&W0,

所以卷一?一=1,即?一一1=—1.又1=—1,所以数列号是首项为一1,公差为一1的等

dn+1dn+ll^nj

差数列.所以9=—1+(〃-1)X(—1)=一小所以s”=一

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2设国表示不超过x的最大整数，如[-3.14]=—4,[3.14]=3.已知数列｛斯｝满足：勾=1,

a”+i=a〃+w+l(wGN*),则仁+上+为----等于()

A.1B.2C.3D.4

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答案A

解析由斯+1=斯+九+1,得斯一斯-i=〃(九N2).又〃1=1,

所以an—{an-an-1)+(an-1—an-i)~\-----1~(〃2—〃D+〃i=〃+(〃-1)+(〃12)H------1-2+1=

如+1，

2(〃〜"2),

当n=l时，a\=l满足上式，

则9品H/*)

所以5+9…+土

_2023

=1012,

2023_

所以~+~+--\---\-~-~=1

\_ai。2。3"2023.1012

命题点2累乘法

n—1

例3在数列｛斯｝中，〃1=1,斯=一厂斯—1522,几金N*),则数列｛〃〃｝的通项公式为.

答案斯=:

〃—1

解析an=一1斯—1(〃22),

.n—2n—3_1

・•"〃一1—1〃〃—2，—2—3，

n-ln~2

以上(九一1)个式子相乘得，

12几一1ai1

dn=Q1K2G'3■■■,n=n=n—.

当〃=1时，ai=l,符合上式，・•・〃〃=[

思维升华(1)形如〃〃+i—斯=/(九)的数列，利用累加法.

(2)形如：一=/(〃)的数列，利用an=,/丁・••••~~(n22)即可求数列｛斯｝的通项公式.

跟踪训练2(1)在数列｛诙｝中，刃=2,斯+i=a”+ln(l+5)，则诙等于()

A.2+lnnB.2+(n~l)lnn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

答案A

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解析因为诙+i—a〃=ln—1=ln(〃+l)—In〃，

所以〃2—=In2—In1,

。3—Q2=ln3—In2,

。4—〃3=ln4—In3,

斯—斯-i=ln〃一In(九一1)(〃22),

把以上各式相加得斯一Qi=Inn—In1,

则斯=2+ln〃(几22),且6=2也满足此式,

因此斯=2+ln〃Oz£N*).

(2)已知数列可，詈，…，—,…是首项为1,公比为2的等比数列，则log2a.=________.

Cln—\

比安双〃―1)

口木2

解析由题意知，的=1,a=lX2Li=2Li(〃22),

。凡―1

n(n—l)

所以斯=-^-X组」义…义殁Xai=2"—1X2〃—2义…义1=22(几22),当〃=1时，。1=1适

。八-12

合此式，

所以log2a,=/9

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4设数列｛④｝的前〃项和为S”且\/〃GN*,an+1>an,S〃2S6.请写出一个满足条件的数列

｛诙｝的通项公式an=.

答案n—6,〃GN*(答案不唯一)

解析由VwGN*,即+1>许可知数列｛期｝是递增数列，又S〃2S6,故数列｛斯｝从第7项开始为

正.而期乏0,因此不妨设数列是等差数列，公差为1,a6=0,所以斯=〃一6,wCN*(答案

不唯一).

命题点2数列的周期性

例5若数列｛斯｝满足。1=2,«，i+!=.",则02024的值为()

1斯

A.2B.—3C.D.g

答案D

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1」

1+3

也上匚上帝*41+21—3121

解析由魏思知，。1=2,42=]_2=-3,的=]+3=-29"4=T=§'〃5=j"-2,〃6

1+

「2匕

1+2__1

厂工=-3,…，因此数列｛斯｝是周期为4的周期数列，所以〃2024〃505X4+4—〃4-

命题点3数列的最值

例6已知数列｛斯｝的通项公式为何=^^,其最大项和最小项的值分别为（）

111

1--3--C-

A.17B.7771,11

答案A

解析因为“GN*,所以当时，诙=万六＜0,且单调递减；当〃三4时，斯=吩%＞0,

且单调递减，所以最小项为的=J钎―，最大项为04=江==1-

思维升华（1）解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据an+x-an的符号判断数列｛斯｝是递增数列、递减数列还是常数列.

（2）解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

跟踪训练3⑴观察数列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…，则该数列的第11

项是（）

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由数列得出规律，按照1,In2,sin3,…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，

由11+3=3余2,所以该数列的第11项为In11.

2〃—1Q

（2）已知数列｛斯｝的通项斯=："_21，"GN*,贝傲列｛诙｝前20项中的最大项与最小项分别为

答案3--1

解析a尸-—―=1+^77,当心11时,17开＞0,且单调递减；当1W//W10

2n~212n—212n—212n—21

时，了专2＜0,且单调递减.因此数列｛斯｝前20项中的最大项与最小项分别为第n项，第

10项.=〃io=-1.

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课时精练

qg础保分练

YI—1

1.已知那么数列｛。"｝是（）

A.递减数列B.递增数列

C.常数列D.摆动数列

答案B

解析以=1—鬲，将斯看作关于"的函数，"GN*,易知数列｛斯｝是递增数列.

2.已知数列｛诙｝的前"项和a满足SS=S〃+i（"eN*）,且的=2,那么劭等于（）

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因为数列｛诙｝的前"项和S,满足SS=S"+i（"GN*）,勿=2,

所以S.+i=2S“，即梁=2,所以数列｛S.｝是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以S.

6

=2X2〃-1=2〃.所以当时，斯=5〃-5〃—1=2"—2〃-1=2〃-1.所以a7=2=64.

3.已知数列｛斯｝满足〃i=l,斯一斯+1=〃斯斯+i（〃£N*）,则斯等于（）

几2一几几2—九+222

A-2B.-2-C.〃2—“D.——〃+2

答案D

解析由题意，得‘—-；="，则当"22时，；一」一="一1,二一一」一="一2,…，；一

*1,所以卜卜1+2+…+（广1）=宁（G2）,所以*V+1=吠*，即%

Cl\ClnCl\乙Clfi乙乙

22

=〃2几।2（几22）,当“=1时，=1适合此式，所以斯=〃2寸।2,

4.设数列｛诙｝满足：的=2,a„+i=l-A记数列｛斯｝的前〃项之积为P,”则尸2024等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析01=2,斯+1=1—a，#02=1，a3=—l,04=2,。5=；，…，所以数列｛斯｝是周期为3

的周期数列.且尸3=-1,2024=3X674+2,所以尸2024=（—1）674涛的人=1.

5.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国

传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第

41项为（）

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A.760B.800C.840D.924

答案C

I2—132—152—1

解析由题意得，大衍数列的奇数项依次为丁，丁，丁­,…，易知大衍数列的第41

412—1

项为840.

6.（多选）已知数列｛如｝的通项公式为小=（"+2）行，则下列说法正确的是（）

A.数列｛斯｝的最小项是

B.数列｛斯｝的最大项是44

C.数列｛斯｝的最大项是。5

D.当“25时，数列｛诙｝递减

答案BCD

(〃+2)哈＞N(〃+l).凯i,

1,

解析假设第〃项为｛斯｝的最大项，则所以

On》a“+i,(w+2＞停〉》(叶3)(加,

后5,『A5

心4,又〃三，所以〃=4或『5,故数列｛”,｝中。4与。5均为最大项’且“4

当〃25时，数列｛斯｝递减.

7.5〃为数列｛斯｝的前〃项和，且log2（S〃+l）=〃+l,则数列｛拆｝的通项公式为.

3,〃=1,

答案

2〃，

解析由log2(S〃+l)=〃+l,得5+l=2#i,当〃=1时，〃i=N=3；当〃22时，an=Sn~

3,n=l9

5〃—1=2",显然当〃=1时，不满足上式.所以数列｛斯｝的通项公式为斯

2",〃22.

8.若数列｛如｝的前几项和S〃=层一10〃（〃6N*）,则数列｛恁｝的通项公式,数列

｛几见｝中数值最小的项是第项.

答案2^—113

=2=

解析Snn—10n9，当〃22时，an=Sn~Sn-i2n—11；

当〃=1时，〃i=Si=—9也适合上式.・••斯=2〃-

记人〃）=〃〃〃=〃（2〃-11）=2层一11几，此函数图象的对称轴为直线〃=?■,但〃£N*,

・・・当〃=3时，#〃）取最小值・・・・数列｛〃为｝中数值最小的项是第3项.

9.在①九念+i—5+1）斯=〃5+1）；②S〃=2/—1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上,

并解答.

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若数列｛斯｝的前"项和为S〃，。1=1,且数列｛斯｝满足

(1)求。2,CZ3；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解⑴选择①：42—2.1=1X2,则公=4.

2<?3—3a2=2义3,贝(]的=9.

选择②：02=52-51=2X22-1-1=6.

03=53—52=2X32-1-2X22+1=10.

(2)选择①：由na„+1—(n+1)cz„=n(w+1),

dn。建—1.。八一1an—2

所以卜…+当—ai~\~ai=n-1+l=n,

nnn~1n~1n~2

2

所以an=n.

=2

选择②：当〃22时，anSn—S〃—i=2几?一1一[2(〃-I)—1]=4〃一2；

当〃=1时，ai=Si=l,不符合上式，

故｛为｝的通项公式为斯=、[1,〃一〃2,=1,

〃£N*.

10.(2023•长沙模拟)已知数列｛金｝满足Cl+肃[=*p"GN*,&为该数列的前“项

和.

⑴求证：数列用为递增数列;

(2)求证：S„<1.

⑴因为Cl=1,品+1_______W

证明

金+1-1Cn—1

所以C〃W1,C〃W0,

111

两边分别取倒数可得1

整理可得士—==会―1>>°,

所以数列15,为递增数列.

金+1Wm,日金+1—1+11+1

⑵由金—1仔Cn+\—\C—\即六1=金+占，

Gi+L1n

]]

所以金

Cn+1—lcn-l

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=

所以SnCl+c2~\----\~Cn

11,11..11

——十一十•••十一

C2-1C1—1C3-1C2-1Cn+1-1Cn~1

=—^—'=—^+2,

Cn+1—1Cl—1金+1-1'

又;2；=2,所以金+i£(0,5),

ClX.A/

所以——1，即SSL

Cn+1—1

口综合提升练

11.在数列｛念｝中，41=1,。=（〃，斯），＞=（即+i，〃+1）,且。_1方，则。100等于（）

100B.一瑞C.100D.-100

AA•国

答案D

an+i几+1

解析因为a=(ji,an)9b=(an+i9n+l)9且aA-b,所以九斯+i+(九+1)斯=0,所以1

ann

所以詈=—,，詈=—今…，署=—黑.以上各式左右分别相乘，得臂=—100,因为。1=1,

a\1〃2z〃99yya\

所以。100=-100.

12.（2022•全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗

环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛为｝:

仇=1+\,Z?2=l+―Lp/?3=1+Lj—，…，依此类推，其中四£N*（左=1,2,…）.则

（）

A.B.b3Vb8

C.b6Vb2D.b4＜bi

答案D

解析方法一当〃取奇数时，

由已知bi=l+；,%=1+------\—，

四十r

因为；〉----、一，所以仇＞仇，

内十r

02+―

。3

同理可得人3泌5,Z?5泌7,…，于是可得"泌3＞。5泌7＞…，故A不正确;

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当几取偶数时，由已知历=1+——P

a\+一

。2

仇=1+---------\-------，

«1+j-

念+

。3十一

。4

因为：〉------Lj—,所以b2Vb4,

a2।i

&十r

03+―

。4

同理可得64＜加，66Vb8,…，于是可得力2＜仇＜66＜68＜…，故C不正确；

因为—Lp所以历＞历，

（XI।1

«1+—

Q2

同理可得。3＞》4，&5＞&6，厉＞88，

又仇＞加，所以匕3＞。8,故B不正确；故选D.

方法二（特殊值法）

不妨取以=1/=1,2,…），则d=1+；=2,

岳=1+士=1+5=1+91,

1+1

加=1+;^^=1+»1+|=|，

1十1

1+1

1QQ

所以。4=1+v~=1+7=7,

。353

,,,1-513

/=1+反=i+w=g，

%=1+及=1+万=不

,-1,,1334

岳=1+&=1+五=亓

,,,1,,2155

^8=1+-=1+-=-

逐一判断选项可知选D.

13.已知数列｛斯｝中，前〃项和为s.,且斗=、一斯，则巫的最大值为

答案3

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F_LL〃+2,〃+2〃+lr八、)Cln〃+1

====

斛析,**Sn­Q-an,・・•当〃》2时，anSn-Sn-i-o—斯——o—斯-1,可化为=71

333an-in-1

+-7,由函数y==7在区间(1,+8)上单调递减，可得当„=2时,三取得最大值2.；.0

Z?LX1〃L一1

的最大值为3.

14.已知田表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]=2,[―1.7]=-2.在数列｛斯｝中,a„=[lgn],

记S”为数列｛斯｝的前"项和，则。2024=