2024年中考数学核心素养-定值问题

备考2024年中考数学核心素养专题十三定值问题

一、选择题

1.如果a,b为定值时，关于x的方程鹫卫-耳红1,无论k为何值时，它的根总是2,则a+b的

Z4

值为()

A.18B.15C.12D.10

2.如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中A是正方形，B,C,D,E都是长方形,

这五个四边形的周长分别用1A，1B，1c，ID，片表示，则下列各式的值为定值的是()

B.1B+IDC.1A+1B+IDD.1A+lc+U

3.如图，长为y(czn),宽为x(czn)的大长方形被分割为7小块，除阴影a,B外,其余5块是形状、大

小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm,下列说法中正确的有()

①小长方形的较长边为(y-12)cm；

②阴影4的较短边和阴影B的较短边之和为。-y+4)cm；

③若久为定值，则阴影2和阴影B的周长和为定值;

④当久=20时，阴影4和阴影B的面积和为定值.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，在边长为8的正方形4BCD中，E是对角线BO上一点，且BE=BC,点P是CE上一动点，则

点P到边BD,BC的距离之和PM+PN的值()

A.是定值4鱼B.是定值8C.有最小值4鱼D.有最大值8

5.如图，E在线段BA的延长线上，Z.EAD=Z.D,乙B=LD,EF//HC,连接FH交2D于点G,Z.FGA

的余角比ADGH大16°,K为线段BC上一点，连接CG,GK,^CKG=^CGK,在乙4GK内部有射线GM,

GM平分NFGC,则下列结论：①2ZV/BC；②GK平分乙4GC；③乙DGH=37°；④ZMGK的角度为定

值且定值为16°,其中正确结论的个数有()

C.2个D.1个

6.如图，口ZBCD在第一象限内，点A是一次函数y=x图象上一动点，点B,C的坐标分别是(b,1),

(6+1,2),若反比例函数y=勺和y=§的图象分别经过点A,D,则下列代数式的值为定值的是

()

7.如图，在等腰RtaABC中，NC=90。，AC=6,F是AB边上的中点，点D,E分别在AC,BC

边上运动，且保持AD=CE,连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①4DFE是等

腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是定值9；③4DFE的面积最小值为4.5；④DE长度的最小

值为3.其中正确的结论是()

c

E

/\

AFB

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

8.如图，正方形ABC。的边长为4,G是对角线BD上一动点，GE1CD于点E,GF1BC于点F,连接EF,

给出四种情况：

①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BC上任意一点，则AG=EF；③点G

在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为2金.

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

9.如图，在边长为a的正方形4BCD中，E是对角线BD上一点，且BE=BC,点P是CE上一动点，则

点P到边BQ,BC的距离之和PM+PN的值()

A.有最大值aB.有最小值孝aC.是定值aD.是定值学a

10.已知无论％,y取什么值，多项式(3/-my+9)-(n/+5y-3)的值都等于定值12,则m+n

等于().

A.8B.-2C.2D.-8

11.如图，直线y="(k>0)与双曲线丫=/交于4B两点，BCIK轴于点C,连接4C交y轴于点D。

下列结论：®0A=0B-,②△2BC的面积为定值；③。是"的中点；④S“OD=今其中正确的结

论有（）

12.如图，在菱形4BCD中，AB=BD,点E,F分别是边4B,力。上任意点（不与端点重合），且4E=DF,

连接BF,DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H,下列结论：①AAEDmADFB；②ZBGE的大小

为定值；③CG与B。一定不垂直；④若AF=20F,贝ijBG=6GF,其中正确的结论有（）

A,①②B.①②④C.③④D.①③④

二、填空题

13.在平面直角坐标系xOy中，P,。是函数y1（x>0）图象上异于/。，1）的点，直线P。与

X

直线〉=x垂直，分别交x轴，了轴于点N.现给出以下结论：

①MP=NQ；

②NE4Q可能是直角；

2

③肱V-尸。2为定值；

④△XON的面积可能为2.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

14.已知关于x,y的方程组1：士；；二无论k取何值，％+9y的值都是一个定值，则这个定

值为.

15.若a、b为定值,关于％的一次方程驾必一上普=2无论k为何值时，它的解总是久=1,则（2a+

3^）2022的值为.

16.已知关于x,y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得k=-4；

②当x与y互为相反数时，解得k=3；③若4*8旷=32,则k=11；④无论k为何值，x与y的值

一定满足关系式％+5y+12=0,其中正确的序号是.

17.如图，点P为定角乙4OB的平分线上的一个定点，且NMPN与乙4OB互补，若NMPN在绕点P旋转的

过程中，其两边分别与。4、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN恒成立；②。M+ON

的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变，其中正确的序号为.

18.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt^ABC,ZC=90°,并画出了两锐角的角平分线

AD,BE及其交点F.小明发现，无论怎祥变动Rt^ABC的形状和大小，NAFB的度数是定值.这

个定值为________.

19.如图，边长为1的正方形4BCD中，点E为20边上动点（不与A、D重合），连接BE,将△4BE

沿BE折叠得至必以〃，延长EH交CD于点F,连接BF,交/C于点N,连接则下列结论：①乙EBF=

45°；@ADEF的周长是定值2；③当点E是4。中点时,CN=辛;④点D至距离的最大值为&-1,

其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

三、综合题

20.项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘（质量忽略不计），测得物品质量x（kg）

与可变电阻y（Q）的多组对应值，画出函数图象（如图1）.图2是三种测量方案，电源电压恒为8V,

定值电阻为30。，与可变电阻串联.

图1图2

【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流I相等，/=g.可变电阻、定值电阻两端的电压之和为

8V,则有/(y+30)=8.

(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

(2)三个托盘放置不同物品后，电表A,乙，匕的读数分别为0.1A,6V,4V.请从以下方案中选

择一个，求出对应物品的质量是多少kg?

(3)小明家买了某散装大米65kg,为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重,

用方案一、二、三来进行检验，设大米为a(60<aW65)kg,前两次称合适的千克数，第3次用含a

的代数式表示，请填写下表.

第1次(方案一)第2次(方案二)第3次(方案三)

大米(kg)——

VQ=V1>

读数1=________A

VV

21.在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一条边长为7.5cm时，它的邻边长为8cm.

(1)设矩形相邻的两条边长分别为xcm,ycm,求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数

吗？

(2)若其中一个矩形的一条边长为5cm,求这个矩形与之相邻的另一条边长.

22.已知代数式/-6%+11,先用配再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数.

23.定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关

于n的“恒值点”，例如：点(1,2)是函数y=2久图象关于3的“恒值点”.

(1)判断点(1,3),(2,8),(3,7)是否为函数y=5x—2图象关于10的“恒值点”.

(2)如图1,抛物线、=2/+6:+2与*轴交于人，B两点(A在B的左侧)，现将抛物线在x

轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示.

I.求翻折后A,B之间的抛物线解析式.(不必写出x的取值范围)

II.当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c.

24.对于某一函数给出如下定义：如果存在实数,,当其自变量的值为0时，其函数值等于小则称。

为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数

的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0,例如，下图中的函数有0和1

两个不动值，其不动长度q为1.

y\I

/

/

VJ

——/------->

0|14

(1)下列函数①y=2x,②y=N+l,③y=N-2%中存在不动值的是(填序号)

(2)函数y=3N+fcr,

①若其不动长度为0,则6的值

为____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________;

②若-2<b<2,求其不动长度q的取值范围；

(3)记函数y=N-4x(x>Z)的图象为Gi,将Gi沿翻折后得到的函数图象记为G2,函数G

的图象由Gi和G2两部分组成，若其不动长度q满足g把5,则/的取值范围

为

25.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标的值与横坐标的值的平方相等的点称为“雅心点”，例如

点（-1,1）,（0,0）,（V2,2）,...都是“雅心点”，显然，这样的“雅心点”有无数个.

（1）求一次函数y=x+2上的所有“雅心点”的坐标为；

（2）若过点（1,-3）的直线上恰好只有一个“雅心点”，请求出符合要求的直线解析式；

（3）若二次函数y=a/一6a久+9a-1（a是常数，a>0）的图象上存在两个不同的“雅心点”，

且“雅心点”的横坐标的值都不大于2,试求实数a的取值范围.

26.我们规定，对于已知线段AB,若存在动点C（点C不与点A,B重合）始终满足NACB的大小

为定值，则称AABC是“立信三角形"，其中AB的长称为它的“立信长”，NACB称为它的“立信角”.

（1）如图（1）,已知立信4ABC中“立信长ZB=2,“立信角2ACB=90°,请直接写出立信AABC

面积的最大值；

（2）如图（2）,在4ABD中，AD=BD=2,AB=243,C是立信AABC所在平面上的一个动

点，且立信角乙4cB=60。，求立信AABC面积的最大值；

（3）如图（3）,已知立信长4B=a（a是常数且a>0）,点C是平面内一动点且满足立信角乙4cB=

120°,若/ABC,NBAC的平分线交于点D,问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求

出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由.

27.在正方形ABCD中，等腰直角AZEF,乙4FE=90。，连接CE,H为CE中点，连接BH、

BF、HF,发现普和乙HBF为定值.

（1）①嚣=_Jk_;

②4HBF=▲.

③小明为了证明①②，连接AC交BD于O,连接OH,证明了器和需的关系，请你按

他的思路证明①②.

(2)小明又用三个相似三角形(两个大三角形全等)摆出如图2,需=胃=々,Z.BDA=LEAF

e(o°<0<90°)

求①器=(用人的代数式表示)

②新(用晨，的代数式表示)

图1

如图1,某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线AB上的三点4(1,3)，

B(2,5)，C(4,9)，有kAB==2，kAC==2，kAB=kAC,兴趣小组提出猜想:

若直线y=kx+b(kA0)上任意两点y),Q(x2/丫2)(%17工2)，则须。=翁三^是定值.

通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kpQ是定值，并且是直线y=kx+b(kH0)中的k，

叫做这条直线的斜率.

(1)请你应用以上规律直接写出过5(-2,-2),7(4,2)两点的直线ST的斜率

ksT=-

(2)探究活动二：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不

和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.

如图2,直线DE与直线DF垂直于点D,且DQ,2),E(L4),F(4,3).请求出直线DE与

直线DF的斜率之积.并写出你发现的结论.

(3)综合应用：

如图3,M(L2),N(4,5),请结合探究活动二的结论，求出过点N且与直线MN垂直的直

线的解析式.

29.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一

部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为

飞行距离计分的参照点，落地点超过点K越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台

的起跳台的高度OA为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为h(m)(为定值).设运

动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离之间的函数关系式为y=ax2+bx+c(a/)).

(1)c的值为.

(2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=-击，b=磊，求基准K点的高度比

(3)若a=-需时，运动员落地点要超过点K,则b的取值范围是.

(4)若运动员飞行的水平距离为257n时，恰好达到最大高度76血，试判断他的落地点能否超过点

K,并说明理由.

四'实践探究题

30.【问题】探究一次函数y=kx+k+l(k,0)图象特点.

【探究】可做如下尝试：

y=kx+k+l=k(x+1)+1,当x=-1时，可以消去k,求出y=l.

【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数丫=质+1<+1的图象一定经过一个固定

的点，该点的坐标是4；

【应用】一次函数丫=(k+2)x+k的图象经过定点P.

①点P的坐标是▲；

②已知一次函数丫=(k+2)x+k的图象与y轴相交于点A,若AOAP的面积为3,求k的值.

31.阅读材料：

对于两个正数a、b,则a+b>2Vab(当且仅当a=b时取等号).

当ab为定值时，a+b有最小值；当a+力为定值时，ab有最大值.

例如：已知,若y=x+-,求y的最小值.

%>0JX

解：由a+bN2Vab，得y-x+->2lx--=2*JI=2，当且仅当x=工即久=1时，y

x7xx

有最小值，最小值为2.

根据上面的阅读材料回答下列问题：

(1)已知%>0,若y=4久+*,则当%=时，y有最小值，最小值为；

(2)已知久>3,若旷=久+怎，贝U支取何值时，y有最小值，最小值是多少？

(3)用长为100小篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方

形花园面积最大，最大面积是多少？

32.(发现问题)

小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值的矩形中，

其周长的取值范围如何呢？

(解决问题)

小明尝试从函数图象的角度进行探究：

(1)建立函数模型

设一矩形的面积为4,周长为m,相邻的两边长为x、y,则x-y=4,2(x+y)=m,

即y=>y=-x+^,那么满足要求的(x,y)应该是函数y=S与'=—久+号的图象在

第象限内的公共点坐标.

(2)画出函数图象

①画函数y=S(x>0)的图象；

②在同一直角坐标系中直接画出y--x的图象，则y=-%+y的图象可以看成是由y--x

的图象向右平移▲个单位长度得到.

(3)研究函数图象：平移直线y=-久，观察两函数的图象；

①当直线平移到与函数y=S(x>0)的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为▲,

周长m的值为▲；

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对

应周长m的取值范围.

(4)(结论运用)面积为10的矩形的周长m的取值范围为

33.对于任意正实数，（口—Vb）2>0,/.a—2y[ab+b>0a+b>2y[ab，只有Q=b时，

等号成立.结论：在a+b>14ab（,均为正实数）中，若为定值,贝!Ja+b>2^fab,只有当a=b

时，a+b有最小值2VP.根据上述内容，回答下列问题：

（）初步探究：若,只有当n=时，有n+-最小值；

1n>0n

（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的

长和宽分别为，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证a+b22属，并指出等号成

立时的条件；

，点是第一象限内的一个动点，过点向

坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48,求四边形面积的最小值以及此时点的

坐标.

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】B

U.【答案】C

12.【答案】B

13.【答案】①③

14.【答案】7

15.【答案】1

16.【答案】①②③④

17.【答案】①②③

18.【答案】135°

19.【答案】①②④

20.【答案】(1)解：根据图象得：y是x的一次函数，设丫=左久+8,

将(0,60),(30,。)代入,得｛。发，解得｛晨/

...所求函数表达式为y=-2%+60

自变量X的取值范围是0<%<30.

(2)解：选择方案一：由题意得0.1x(y+30)=8,则y=50,

将y=50代入y=-2%+60,得X=5,即物品的质量是5kg；

选择方案二：由题意得/=关=0,2,则旷=用等=10,

将y=10代入y=—2久+60,得久=25,即物品的质量是25kg；

选择方案三：由题意得电阻之比等于电压之比，即磊=占，二、=30,

将y=30代入y=-2%+60,得％=15,即物品的质量是15kg.

(3)

第1次(方案一)第2次(方案二)第3次(方案三)

大米(kg)2020a—40

读数1=0.16AVci—4V匕＞2V

21.【答案】(1)解：设矩形的面积为Sen?,则S=7.5x8=60(cm2),.'y关于x的函数解析式是

这个函数是反比例函数.

(2)解：当x=5时，y榨=12,

,这个矩形与之相邻的另一条边长为12cm.

22.【答案】解:由题意，得：%2-6%+11=(%-3)2+2,

V(%-3)2>0,

3)2+2>2,

二(X-3)2+2>0

,这个代数式的值总是正数.

设代数式的值为M,则有M=/—6x+ll,

：.M=(x—3>+2,

/.当x=3时，这个代数式的值最小为2.

23.【答案】(1)解：把点(1,3),(2,8),(3,7)代入y=5%—2

检验得：(1,3)和(2,8)是函数y=5%—2上的点，

：1=3力10,2+8=10,

.,.点(2,8)是函数y=5久一2图象关于10的“恒值点”；

(2)解：I.①抛物线y=2/+6久+2的顶点为J2,驾好)，

4o

由翻折得新抛物线的顶点坐标为吗3),

48

翻折后抛物线解析式为y=-2(x+令2+匕竺

4o

即得y=-2x2—bx—2；

II.由(2)知新图象解析式为y=-2/一人％一2或y=2/++2,

设图象上的点为(x,—2%2—6%—2)(x,2x2+bx+2)

V新图象上有关于c的“恒值点”，

Ax—2%2—bx-2=c①，X+2X2+bx+2=c②，

;两方程恰有3个解，

二①△=(b-1)2-8(2+c)=0,

②^二(b+1)2-8(2-c)>0；或①△>(),②△=(),

解得：c="+四2-16或0=3-『16；

24.【答案】(1)①③

(2)解：①1②由题意得：y=3x?+bx=%,3x2+bx-x=0,x(3x+b-1)=0,解得：x=0

或早；q=早，-Wb%解得：号?一即

、，、Q

(3)2<m<5或mV—

o

25.【答案】(1)(2,4)或(-1,1)

(2)解：设符合要求的直线解析式为：y=kx+b(kW0)代入点(1,-3)得，

k+b=—3

y=kx-k—3

设直线的“雅心”的坐标为(x,X2),

kx—k—3=x2

x2-kx+k+3=0

•・•直线上恰好只有一个“雅心点”，

.,.4=0

・•.k2-4(/c+3)=0

・•・(k-6)(k+2)=0

；・k=6或/c=-2

・•・直线解析式为y=6%-9或y=-2%-1

(3)解：设二次函数y=a%2—6a%+9a—i(a是常数，a>0)的图象上的“雅心”为(x,x2),

ax2—6ax+9a—1=%2

即(a—l)x2—6ax+9a—1=0

・・,二次函数y=a/一6Q%+9a-1(a是常数，a>0)的图象上存在两个不同的“雅心点”，

・・.(a-I)%2-6ax+9a-1=0有两个不相等的实数根，

pnfa-1^0

即1(-6a>-4(a-l)(9a-1)>0

解得Q>且aW1

设(a—I)%2—6ax+9a—1=0的两个根为石，x?，

6a9a—1

•■-X1+X2=^l,…=钎亍

由题意设%1<2,血<2贝！J,

巧+%244

X\,%2—2(%i+%2)+4之0

9a—112a

+4>0

.d—1CL—1

一2<a<1

.••告<a<l时，二次函数丫=以2—6取+9。-1（a是常数，a>0）的图象上存在两个不同的“雅心

点”，且“雅心点”的横坐标的值都不大于2,

.,.二次函数y=a/-6ax+9a-1（a是常数，a>0）的图象上存在两个不同的“雅心点”，且至少有

一个“雅心点”的横坐标的值大于2,

26.【答案】（1）解：1

（2）解：如图，过点。作DE14B于点E,

AD=BD—2,AB=2V5,

AE=EB=V3,乙DAB=ADBA,

DE=1,

+yn1V3

.•.tanzDXE=^=7==1->

4DAB=乙DBA=30°,

乙ADB=120°,

v乙ACB=60°,

・•.C在以4）为半径，。为圆心的上运动，当ECLAB时，SAABC取得最大值，

设。。的半径为r,贝忏=4。=2,

当E,D,C三点共线时，SMBC取得最大值，此时CE=DE+r=l+2=3,

此时SMBC=xCF=1x2V3x3=3V3

(3)解：如图，当C位于ZB上方时,

•••AB=a,^ACB=120°,

•••ABC,/BAC的平分线交于点D,

1

NADB=180°+NCB4)=150°,

在。。的ADB上运动，

•••4ADB=150°,

所对的圆心角为60°,即乙4OB=60°,

则AAB。是等边三角形，则。。的半径为a,

.••点D的运动轨迹为ADB,长度为ADB=像兀Xa=^,

1OU3

当C点位于2B的下方时，同理可得4DB=詈，

综上所述，点D的运动轨迹长度是等.

27.【答案】(1)解：®V2；@45°；③证明：如图所示:

BA

由正方形性质得：需=或，O为AC的中点

又为CE的中点，则0H〃AE,OH=*AE

：.AAEF是等腰直角三角形

：.AE=V2XF

•AF区AB

9"0H=y/2=B0

9：OH//AE

C.^LCOH=^CAE,^CAE=^DAF

:.乙COH=Z.DAF

又上BOC=Z.BAD=90°

，乙BOH=^BAF,又•:洗=粽=遮

：.△BOH~ABAF

RFL

A|^=V2,乙HBO=4FBA

・"HBF=乙HBO+乙DBF=4FBA+乙DBF=4DBA=45°

(2)2；J/c2—4/ccos0+4

牙k

28.【答案】(1)|

(2)解：\・。(2,2)，E(L4)，口(4,3)，

.1_4-2Q_3-2_1

••KDE=Y^——z9Kdf=4^2=29

.1

••kpE义kpF=-2X]=­1，

结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于・L

(3)解：设过点N且与直线MN垂直的直线为PQ，解析式为y=kPQx+b,

VM(1,2),N(4,5)，

.7_5-2_.

・・KMN-4zry=1'

9：PQ1MN,

：•kpQxI^MN=-1)

••kpQ——1,

;直线PQ经过点N(4,5),

：.5^-lx4+b,解得6=9.

二过点N且与直线MN垂直的直线的解析式为y=-x+9.

29.【答案】(1)66

(2)解：,.，a=一春，6=白，

运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离之间的函数关系式为：y=—春/+3工+66,

由题意得：点K的横坐标为：75,

二令久=75,贝Uy=21,

，K(75,21),

求基准K点的高度h为：21；

、Q

(3)6〉前

(4)解:他的落地点能超过点K,理由如下：

由题意设函数表达式为：y=a(x—25/+76,

把4(0,66)代入函数关系式为66=a(0-25)