重庆市梁平区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷 解析版

重庆市梁平区梁山集团2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

阅卷入人

——、单选题

得分

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（)

A-B.Vo^C.V4D.V5

2.使二次根式Vx+3有总又的X的取值范围是（)

A.%>3B.%>-3C.x之一3D.%>3

3.下列各组数中，以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是（）

A.a=1.5,b=2,c=3B.a=7,b=24,c=25

C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=5

4.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为（）

5.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm至D点，则

橡皮筋被拉长了（）

D

C

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

6.如图，平行四边形ABCD中，AD=5,AB=3,AE平分NBAD交BC边于点E,则EC等于

)

REC

A.1B.2C.3D.4

7.如图，正方形ABCD中，AE=AB,直线DE交BC于点F,则NBEF=()

C.60°D.55°

8.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且/AFB=90。，若AB=6,BC=10,则EF的长为

（）

C.3D.5

9.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在D，处，则重叠部分AAFC的

面积是（）

DC

D'

A.8B.10C.20D.32

10.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分/DBC交DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,

连结DF交BE的延长线于点H,连结OH交DC于点G,连结HC.则以下四个结论中：①OH〃:BF,

②GH=）BC,③OD==BF,@ZCHF=45°.正确结论的个数为（）

4Z

A.4个B.3个C.2个D.1个

阅卷入

二、填空题

得分

11.计算：（也）;V20=•

12.已知X=与Z,则为2+%+1=.

13.当*=时，二次根式V^TT取最小值，其最小值为.

14.如图，每个小正方形的边长为1,在AABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为

15.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具

之一，也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入

迷.如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=

6m）,踏板离地的垂直高度CF=4m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是m.

16.如图，在△ABC中，ZBAC=9O。，力B=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的

任一点，贝IMP+BP的最小值是.

17.如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC,EF±EC,DC=鱼，则BE的长为

18.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且ZEAF=45。，连接EF,则

BF的长为_________

阅卷人

—三'解答题

得分

19.计算及解方程组：

(1)y[3+(724—)—11—V21

⑵V6(2V2-V15)+(V3-

20.先化简，再求值：（1+々）.孕学，其中。=近一2.

'a—ly2a—2

21.如图，已知口A3CQ中，A石平分NA4O,CF平分NBCD,分别交3C、AO于石、F.求证:

DF=BE.

22.已知：如图，四边形ABCD中，AB±BC,AB=2,BC=4,CD=4,AD=6,求四边形ABCD的

面积.

D

BC

23.如图，在R3ABC中，ZB=90°,AC=60cm,/A=60。，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒

的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一

个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0＜区15).过点D作DFLBC

于点F,连结DE,EF.

(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(2)当t为何值时，ADEF为直角三角形？请说明理由.

24.如图，在矩形中，E、F分别是边ZB、CD上的点，AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交

于点0,且BE=BF,乙BEF=2ABAC.若BC=2遮，求的长.

25.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2奁=(1+

V2)2.善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b&=(m+nV可(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+/?应=m2+2层+②

a—m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+=(m+普四尸，用含m、n的式子分别表示a、b,

得：a—,b—；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+V3=(+_

V3)2;

(3)若a+4Vg=(TH+小巧)2,且a、m、n均为正整数，求a的值？

(4)化简：76+2V5-

26.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q.

(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQT^ABQ；

(2)当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的彳时，求DQ的长；

(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点P运动到什

么位置时，AADQ恰为等腰三角形.

答案解析部分

L【答案】D

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；

B、被开方数含分母，故B错误；

C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；

D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；

故选：D.

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同

时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

2.【答案】C

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：根据题意得，x+3>0,

解得xN-3.

故答案为：C.

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+320,即可得解.

3.【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】，分析/根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直

角三角形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形.

【解答】A、••152+22再2,.•.该二角形不是直角二角形，故A选项符合题意；

B、•••72+242=252,.•.该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；

C、•.•62+82=102,.•.该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；

D、•.•32+42=52,，该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意.

故选：A.

乙点叼本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关

系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

4.【答案】A

【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理

【解析】【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上.

A-10C1

•在直角ABOC中，OC=2,BC=b则根据勾股定理知OB=7oC2+BC2=万”=V5，

；.OA=OB=V5,

.*.a=-1-yfs-

故选A.

【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角ABOC中，根据勾股定理求得圆O的半

径OA=OB=V5,然后由实数与数轴的关系可以求得a的值.

5.【答案】A

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：RtAACD中，AC=1AB=4cm,CD=3cm；

根据勾股定理，得：AD=个A(^+C7)2=5cm；

AAD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉长了2cm.

故选A.

【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离.

6.【答案】B

【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义

【解析】【解答】解：:四边形ABCD为平行四边形，

・・・AD〃BC,

：.z.DAE=Z.BEA,

TAE平分乙BAD,

：.^BAE=^DAE,

：.z.BAE=ABEA,

：.BE=AB=3,

VBC=AD=5,

：.EC=BC-BE=5-3=2,

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质得出AD〃:BC,再根据平行线的性质和角平分线的定义求出ZBAE=

/-BEA,根据等角对等边得出BE=AB,根据平行四边形的性质求出BC长，最后根据线段的和差求EC即

可.

7.【答案】A

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】AB=AD.已知条件AB=AE,.\AB=AE=AD；AZABE=ZAEB,ZAED=ZADE.四

边形ABED的内角和=360。，

ZBAE+ZEAD=90°,/.ZABE+ZADE+ZBED=270°.又：NABE+NADE=/BED,

.,.ZBED=135°,

/.ZBEF=180°-135°=45°.

8.【答案】B

【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】VDE为公ABC的中位线，

ADE=1BC=5,

VZAFB=90°,D是AB的中点，

；.DF=|AB=3,

；.EF=DE-DF=2,

故答案为：B.

【分析】根据三角形的中位线定理DE=*BC=5,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出

DF=1AB=3,再根据线段的和差即可得出答案。

9.【答案】B

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：依题意，：AB〃CD,

・・・NACD=NCAB,

•・・△ACD/由^ACD翻折而成，

・・・NACD=NACD,

・・・NACD=NCAB,

・・・AF=CF,

\・BF=AB-AF=8-AF,

ACF2=BF2+BC2

AAF2=(8-AF)2+42

；.AF=5,则BF=8-AF=8-5=3

*e•SAAFC=SAABC-SABFC=10.

故答案为：B.

【分析】根据折叠的性质得出AF=CF,进而勾股定理求得AF,根据SAAFC=SAABC-SABFC即可求解.

10.【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】如图所示，作ENLBD于N,连接EF.保存进入下一题

①,/BE平分NDBCEC=EN

.•.等腰直角ADNE丝等腰直角AECF,DE=FE

ZHEF=45°+22.5°=67.5°

ZHFE=22.5°,

ZEHF=180o-67.5°-22.5°=90o

：DH=HF

；.011是4DBF的中位线

：.OH//BF,故①正确；

②根据OH是小BFD的中位线，

.•.GH^CF,由GH号BC,故②错误；

③•；OH是ABED的中位线，BE平分NDBC,

；.BD=BF,

VOD=|BD,

.,.OD=1BF；

④：ZHCF=90°-22.5°=67.5°,ZHFC=45°+22.5°=67.5°,

ZCHF=45°

故答案为：B.

【分析】①作ENLBD于N,连接EF,由全等三角形的判定定理可得△DNE/aECF,再由平行线的

性质得出0H是△DBF的中位线即可得出结论；②根据0H是ABFD的中位线，得出GH=；CF,由GH

<|BC,可得出结论；③由三线合一得出BD=BF,即可得出结论；④根据/HCF=9C)o-22.5o=67.5。，

ZHFC=45°+22.5°=67.5°,即可求出结论。

11.【答案】3；2V5

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：(遍)2=3；V20=2A/5

故答案为：3,2A/5.

【分析】根据二次根式的性质即可求解.

12.【答案】^275

4

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【解答】解：x2+x+l

=x(x+l)+l

_V5—2/店—2.11

5-2V5

--------------4A----+1

9-275

4

故答案为：9—2底.

4

【分析】将％=与之弋入原式，根据二次根式的性质进行计算即可求解.

13.【答案】-1；0

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，得x+GO,则xN-1.

所以当x=-1时，该二次根式有最小值，即为0.

故答案为：-1,0.

【分析】根据二次根式有意义的条件，得X+G0,则XN-1,从而可以确定其最小值.

14.【答案】浮

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：观察图形

AB=Vl2+52=V26，AC=V32+32=3V2,BC=722+22=2V2

.•.AC2+BC2=AB2,.•.三角形为直角三角形，

..•直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

；.CD=B.

2

【分析】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性

质求解.

15.【答案】竽

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：设绳子长为xm,

在RtAADC中，

AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)m,

CD=6m,AC=xm,

AAD2+DC2=AC2,

即x2=(x-3)2+62,

解得：X考，

二绳索AC的长是竽m.

故答案为：竽.

【分析】设绳子长为xm,根据勾股定理列方程，解方程即可.

16.【答案】4

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：连接PC.

・・・BP=PC.

，PA+BP=AP+PC.

，当点A,P,C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值为AC=4.

故答案为：4.

【分析】根据对称性可得，当点P在AC上时，AP+BP有最小值.

17.【答案】2

【知识点】勾股定理；三角形全等的判定(AAS)

【解析】【解答】在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB=CD=V2,

.\ZAFE+ZAEF=90°,

VEFXEC,

；.NFEC=90°,

.\ZAEF+ZDEC=90°,

；.NAFE=NDEC,

在小AEF和小DCE中，

Z.A-Z.D

^AFE=乙DEC

EF=EC

AEF且△DCE(AAS),

.•.AE=DC=d2=AB,

在RtAABE中，BE=VXF2+AB2=2.

故答案为：2.

【分析】先证明△AEFgADCE,得AE=DC=AB,在RtAABE中由勾股定理可求得BE的长.

18.【答案】2

【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定(SAS)

【解析】【解答】证明：•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,

将△ABF绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使AB与AD重合，如图：

----------ID

E

B

・・・NBAF=NDAG,

VZBAD=90°,NEAF=45。,

・・・NBAF+NDAE=45。,

・,.NEAF=NEAG,

•・・NADG=NADC=NB=90。,

・,.NEDG=180。，点E、D、G共线，

在^AFE和aAGE中，

AG=AF

^FAE=Z.EAG,

、AE=AE

・・・△AFE之△AGE(SAS),

・・・EF=EG,

即：EF=EG=ED+DG,

YE为CD的中点，边长为6的正方形ABCD,

・・・CD=BC=6,DE=CE=3,ZC=90°,

・••设BF=x,贝I」CF=6-x,EF=3+x,

在RQCFE中，EF2=CE2+CF,

即(3+x)2=32+(6-x)2,

解得：x=2,

・・・BF=2,

故答案为：2.

【分析】将△ABF绕点A逆时针旋转90。至AADG,可使AB与AD重合，证明△AFE2ZXAGE,进而

得至l」EF=FG,即可求解.

19.【答案】(1)解：翼三6/24-2-|1-V2|

+62A/6-)-+1

Sx迈一或+1

-V2+1

10

=1-^V2.

(2)解：V6(2A/2-V15)+(V3-2)2

=4A/3-3V10+7-4V3

=-3V10+7.

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】(1)根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；

(2)根据二次根式的混合运算进行计算即可求解.

2

20.【答案】解：原式士)+维?

%—1a—ly2(a—1)

a+22(a—1)

—"1(a+2)2

2

=a+2f

当a=&—2时，

原式=遍

2

F

=V2.

【知识点】分式的化简求值

【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。

21.【答案】证明：•.•四边形ABCD为平行四边形，

，AB=CD,ZB=ZD,ZBAD=ZBCD,

：AE平分NBAD,CF平分/BCD,

.\ZBAE=ZBAD,ZDCF=ZBCD,

ZBAE=ZDCF,

,乙B=乙D

在△ABE和△CDF中，ABCD，

/BAE=乙DCF

.*.△ABE^ACDF(ASA),

；.DF=BE.

【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定(ASA)

【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD,ZB=ZD,ZBAD=ZBCD,再利用“ASA”证明

△ABE^ACDF,最后利用全等的性质求解即可。

22.【答案】解：如图：连接AC

D

BC

VABXBC,AB=2,BC=4

AC2=BC2+AB2=42+22=20,BPAC=2V5

VAD2=62=36,CD2=42=16,

.\AC2=AD2-CD2

/.△ACD为直角三角形

/•SABCD=SAABC+SAACD=1AB-BC+|AC-CD=|X2X4+|X2V5X4=4+4V5.

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】连接AC,勾股定理求得AC,进而勾股定理的逆定理求得△ACD为直角三角形，根据

SABCD=SAABC+SAACD,即可求解.

23.【答案】(1)解：能.

理由：在ADFC中，ZDFC=90°,NC=30。，DC=4t,

・・・DF=2t,

又,「AE=2t,

・・・AE=DF,

VABXBC,DF±BC,

・・・AE〃DF,

又・.・AE=DF,

・・・四边形AEFD为平行四边形，

当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，

即60—4t=2t,解得t=10.

・••当t=10秒时，四边形AEFD为菱形；

(2)解：①当NDEF=90。时，由⑴知四边形AEFD为平行四边形，

AEF/7AD,

・・・NADE=NDEF=90。，

VZA=60°,

・・・NAED=30。，

.•.AD=^AE=t,又AD=60-4t,即60—4t=t,

解得t=12；

②当/EDF=90。时，四边形EBFD为矩形，

在RtAAED中/A=60。，则NADE=30。，

；.AD=2AE,

即60—4t=4t,解得t=竽；

③若/EFD=90。，则E与B重合，

D与A重合，此种情况不存在.

综上所述，当1=竽或12秒时，ADEF为直角三角形

【知识点】含30。角的直角三角形；菱形的性质；矩形的性质

【解析】【分析】(1)先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，根据菱

形的性质即可求解；

(2)分三种情形讨论，①当NDEF=90。时，②当/EDF=90。时，③若NEFD=90。，则E与B重合,

D与A重合，此种情况不存在.

24.【答案】解：如图所示，连接OB,

：.^BAC=乙FCO,

在△^。后和4C。尸中，

Z-OAE=Z-OCF

^AOE=乙COF,

、AE=CF

：.AAOE=△COFQAAS)

：.OE=OF,OA=OC,

•:BE=BF,

：.BO1EF,

・••在中，^BEF+^ABO=90°,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=0C,

：.^LBAC=^ABO,

又•・•LBEF=2乙BAC,

：.2^BAC+Z.BAC=90°,

：.^BAC=30°,

,:BC=2后

：-AC=2BC=4V3,

'-AB=y/AC2-BC2=6.

【知识点】含30。角的直角三角形；矩形的性质；三角形全等的判定(AAS)；直角三角形斜边上的中线

【解析】【分析】连接OB,证明AAOE三△COF(AAS),由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可

知：。4=。8=。配进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解.

25.【答案】(1)m2+3n2；2mn

(2)4；2；1；1

(3)解：由(1)可知，。=巾2+3九2,£)—2mn=4,

4

・・.mn=3=2

而a、ri均为正整数，

：.m=1,n=2或者TH=2,n=1,

当m=1,n=2时，a=m2+3n2=1+3x2z=13；

当zn=2,n=1时,a=m2+3n2=2?+3x1=7.

综上，a=13或者a=7.

(4)解：由题意得：

=JrV5+1；

=|V5+1|

=V5+1.

【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算

【解析】【解答】(1)+bV3=(m+nV3)2

a+by/3=m2+3n2+2y/3mn

Aa=