湖南省长沙市2024届中考数学四模试卷含解析

湖南省长沙市实验中学2024届中考数学四模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，。。的半径为1,△ABC是。O的内接三角形，连接OB、OC,若NBAC与NBOC互补，则弦BC的长为

()

A.73B.273C.373D.1.56

2.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

3.下列各数中，最小的数是（）

A.0B.72C.1D.一乃

4.如图，直线m〃n,Zl=70°,Z2=30°,则NA等于（）

5.圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,则它的侧面积是

A.36Q7Vcm2B.720^cm2C.1800^-cm2D.360071cm2

6.某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境:

请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）

7.有个零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的主视图是（）

8.如图，△ABC中，ZB=70°,则NBAC=30。，将△ABC绕点C顺时针旋转得AEDC.当点B的对应点D恰好落

在AC上时，ZCAE的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.若3x>-3y,则下列不等式中一定成立的是（）

A.x+y>0B.C.x+y<0D.x-y<0

10.如图，抛物线y=ax?+bx+c（a加）过点（1,0）和点（0,-2）,且顶点在第三象限，设P=a-b+c,则P的取值

A.-4<P<0B.-4<P<-2C.-2<P<0D.-1<P<O

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.计算：，，

rtaaffr

12.如图，将直尺与含30。角的三角尺摆放在一起，若Nl=20。，则N2的度数是一.

XF

13.反比例函数丁=幺的图象经过点（1,6）和（加3）,则.

X

14.如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸h的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线12

上取C、D两点，测得NACB=15。，ZACD=45°,若h、k之间的距离为50m,则古树A、B之间的距离为____m

15.一组数据1,4,4,3,4,3,4的众数是

16.化简二次根式的正确结果是.

17.哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次上调后，均价为每平方米12100元，则平均

每次上调的百分率为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3

个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.

求A,B两种品牌的足球的单价.求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球

A=但

3口口牌B品牌

的总费用.

19.（5分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

（1）直接写出AABC关于原点。的中心对称图形各顶点坐标：A耳

（2）将AABC绕5点逆时针旋转90。，画出旋转后图形•求AABC在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C

经过的路径长.

20.（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.如果x=

-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明

理由；如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

21.（10分）已知：如图，在R3A5O中，N5=90。，ZOAB^IO0,OA=1.以点。为原点，斜边。4所在直线为尤

轴，建立平面直角坐标系，以点尸（4,0）为圆心，M长为半径画圆，。尸与x轴的另一交点为N,点M在。尸上，

且满足NMPN=60。.OP以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为fs,解答下列问题：

（发现）（1）访v的长度为多少；

（2）当U2s时，求扇形（阴影部分）与R3ABO重叠部分的面积.

（探究）当。尸和△A3。的边所在的直线相切时，求点尸的坐标.

（拓展）当而与RtAA30的边有两个交点时，请你直接写出f的取值范围.

22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，点C（2,m）为直线y=

x+2上一点，直线y=-；x+b过点C.

4x+b与x轴交于点D,动点P从点D开始以每秒1个单位

求m和b的值；直线y=-

2

的速度向X轴负方向运动.设点P的运动时间为t秒.

①若点P在线段DA上，且AACP的面积为10,求t的值；

②是否存在t的值，使AACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

23.（12分）工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个

正方形.（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？

24.（14分）九（3）班“2017年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正

面有2张笑脸、2张哭脸.现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌.

（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖.她从中随机翻开一张纸牌，求小芳获奖

的概率.

（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会.小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌.他们翻开的两

张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖.他们获奖的机会相等吗？通过树状图分析说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

分析：作OH_LBC于H,首先证明NBOC=120,在RtABOH中，BH=OB«sin60°=lx2/1,即可推出BC=2BH=J^,

详解：作OH_LBC于H.

,/ZBOC=2ZBAC,ZBOC+ZBAC=180°,

.,.ZBOC=120°,

VOH1BC,OB=OC,

，BH=HC,ZBOH=ZHOC=60°,

在RtABOH中，BH=OB»sin60°=lx—=

22

/.BC=2BH=73.

故选A.

点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.

2、C

【解析】

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

【详解】

设参加酒会的人数为x人，依题可得：

—x(x-1)=55,

2

化简得：x2-x-110=0,

解得：Xl=ll,X2=-10(舍去)，

故答案为C.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

3、D

【解析】

根据实数大小比较法则判断即可.

【详解】

一兀<0<1<也,

故选D.

【点睛】

本题考查了实数的大小比较的应用，掌握正数都大于0,负数都小于0,两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解

题的关键.

4、C

【解析】

试题分析：已知m〃n,根据平行线的性质可得N3=N1=7O。.又因N3是△ABD的一个外角，可得N3=N2+NA.

即/人=/3—/2=70。-30。=40。.故答案选C.

考点：平行线的性质.

5、D

【解析】

圆锥的侧面积=5x807rx90=360（hr（cm2）.

故选D.

6、C

【解析】

设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40-x）本，乙种笔记本的单价是（j+3）元,

根据题意列出关于小y的二元一次方程组，求出小y的值即可.

【详解】

解：设甲种笔记本买了X本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40-X）本，乙种笔记本的单价是（y+3）

元,

孙=125

根据题意，得：

孙+(40-x)(y+3)=300-68+13'

x=25

解得：＜

。=15’

答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本.

故选C.

【点睛】

本题考查的是二元二次方程组的应用，能根据题意得出关于X、y的二元二次方程组是解答此题的关键.

7,C

【解析】

根据主视图的定义判断即可.

【详解】

解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故C正确.

故选：C.

【点睛】

此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键.

8、C

【解析】

由三角形内角和定理可得NACB=80。，由旋转的性质可得AC=CE,NACE=NACB=80。，由等腰的性质可得

ZCAE=ZAEC=50°.

【详解】

VZB=70°,ZBAC=30°

.,.ZACB=80°

•.,将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.

；.AC=CE,ZACE=ZACB=80°

.,.ZCAE=ZAEC=50°

故选C.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键.

9、A

【解析】

两边都除以3,得x>-y,两边都加y,得：x+y>0,

故选A.

10、A

【解析】

解:•••二次函数的图象开口向上，...a,：!.

•.•对称轴在y轴的左边，，-9<1....bAL

2a

•.,图象与y轴的交点坐标是（1,-2）,过（1,1）点，代入得：a+b-2=1.

.,.a=2-b,b=2-a./.y=ax2+（2-a）x-2.

把x=-1代入得：y=a-（2-a）-2=2a-3,

Vb>l,：.b=2-a>l./.a<2.

,-•a>l,/.l<a<2./.l<2a<3./.-3<2a-3<1,即-3VPCL

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、3+

【解析】

本题涉及零指数塞、负指数幕、绝对值、特殊角的三角函数值4个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算,

然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【详解】

原式=2x；+2--j+l>

=2-5+2--j+L

=3+：.

【点睛】

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数

塞、零指数塞、特殊角的三角函数、绝对值等考点的运算

12、50°

【解析】

先根据三角形外角的性质求出NBEF的度数，再根据平行线的性质得到N2的度数.

【详解】

如图所示：

30^

AB

；NBEF是AAEF的外角,Zl=20°,ZF=30°,

.,.ZBEF=Z1+ZF=5O°,

VAB//CD,

/.Z2=ZBEF=50°,

故答案是：50°.

【点睛】

考查了平行线的性质，解题的关键是掌握、运用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和）.

13、-1

【解析】

先把点（1,6）代入反比例函数y=',求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把点（m,-3）代入即可得

x

出m的值.

【详解】

解：•.•反比例函数y=K的图象经过点（1,6）,

X

k

6=—,解得k=6,

...反比例函数的解析式为y=g.

X

・・•点（m,-3）在此函数图象上上，

/.-3=—解得m=-l.

m9

故答案为-L

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此

题的关键.

/⑸一手）.

【解析】

过点A作AM_LDC于点M,过点B作BNLDC于点N.则AM=BN.通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、

CN的长度，则易得MN=AB.

【详解】

解：如图，过点A作AMLDC于点M,过点B作BNJ_DC于点N,

贝!|AB=MN,AM=BN.

在直角AACM,VZACM=45°,AM=50m,

.,.CM=AM=50m.

'在直角ABCN中，NBCN=NACB+NACD=60。，BN=50m,

=BN50506

(m),

tan60°^33

/.MN=CM-CN=50-(m).

3

则AB=MN=(50-迎3m.

3

故答案是：（50-迎叵）.

3

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数

学问题.

15、1

【解析】

本题考查了统计的有关知识，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

【详解】

在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1.

故答案为1.

【点睛】

本题为统计题，考查了众数的定义，是基础题型.

16、-aJ—a

【解析】

-a3>0,:.a<0.

=\/—ci-cT=—yj—Cl,

17、10%

【解析】

设平均每次上调的百分率是x,因为经过两次上调，且知道调前的价格和调后的价格，从而列方程求出解.

【详解】

设平均每次上调的百分率是X,

依题意得10000(1+x『=12100,

解得：X]=10%,X2=-210%(不合题意，舍去).

答:平均每次上调的百分率为10%.

故答案是：10%.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出

方程，再求解.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；(2)1.

【解析】

(1)设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球

共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答；

(2)把(1)中的数据代入求值即可.

【详解】

2x+3y=380x=40

(1)设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，依题意得：｛,-“c，解得：｛1An.

4x+2y=360y=100

答：一个A品牌的足球需40元，则一个B品牌的足球需100元;

(2)依题意得：20x40+2x100=1(元).

答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1元.

考点：二元一次方程组的应用.

717后

19、(1)4(3,—3),四(4,—1),G(0,—2)；(2)作图见解析，面积=万+^乃，/=皆".

【解析】

(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得从、月、

G的坐标；

(2)由旋转的性质可画出旋转后图形△ABC?，利用面积的和差计算出SAA/C,，然后根据扇形的面积公式求出

S扇形eg，利用AABC旋转过程中扫过的面积S=S5Bg+S扇形CBC2进行计算即可•再利用弧长公式求出点C所经过

的路径长.

【详解】

解：(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得：

A(-3,3),3(-4,1),C(0,2),

；与AABC关于原点对称，

.••4(3,—3),B/4,-1),C/0,-2)

(2)如图所示，A4BQ即为所求,

•••BC=7(-4-0)2+(1-2)2=V17，

・q90万万>“17)217兀

••口扇形

360——4一丁

1117

••q

•0A4BC=4x2—xlx2—xlx3xlx4=一，

22222

AABC在旋转过程中所扫过的面积:

717

S=S应BC?+S扇形CBQ=5+丁"

点C所经过的路径：

,90^-xVnTn

I=------------=------71•

1802

【点睛】

本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键.

20、（1）△ABC是等腰三角形；（2让ABC是直角三角形；（3）xi=0,x2=-1.

【解析】

试题分析：（1）直接将x=-1代入得出关于a,b的等式，进而得出2=也即可判断△ABC的形状；

(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式，进而判断AABC的形状；

(3)利用△ABC是等边三角形，则a=b=c,进而代入方程求出即可.

试题解析：(1)AABC是等腰三角形；

理由：•；x=-l是方程的根，

:.(a+c)x(-1)2-2b+(a-c)=0,

a+c-2b+a-c=0,

Aa-b=0,

:.a=b,

/.△ABC是等腰三角形；

(2)・・,方程有两个相等的实数根，

/.(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,

/.4b2-4a2+4c2=0,

:.a2=b2+c2,

AAABC是直角三角形；

(3)当△ABC是等边三角形，J(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,可整理为：

2ax2+2ax=0,

/.x2+x=0,

解得：Xl=0,X2=-1.

考点：一元二次方程的应用.

21、［发现X3)AN的长度为三⑵重叠部分的面积为3；【探究】:点P的坐标为(1,0);或(冬8,0)或(-2叵,0);

MN3833

【拓展】f的取值范围是2</W3或4W/<5,理由见解析.

【解析】

发现：(3)先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；

(2)先求出PA=3,进而求出PQ,即可用面积公式得出结论；

探究：分圆和直线A5和直线05相切，利用三角函数即可得出结论；

拓展：先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论.

【详解】

［发现］

(3)VP(2,0),：.OP=2.

•.•04=3,：.AP=3,的长度为华三=g.

1803

jr

故答案为丁；

3

(2)设。P半径为r,贝!j有片2-3=3,当/=2时，如图3,点N与点A重合，.•.物=片3,设MP与A3相交于点0.在

RtAABO中，VZOAB=30°,ZMPN=60°.

,：ZPQA=90a,：.PQ=-PA=~,AAg=APxcos30°=—,二5重叠部分=54且.

~22228

即重叠部分的面积为1.

8

［探究］

①如图2,当。尸与直线A8相切于点C时，连接PC,则有PCLA3,PC=r=3>.

'：ZOAB^3Q°,：.AP=2,，OP=Q4-AP=3-2=3；

点尸的坐标为（3,0）；

②如图3,当。尸与直线相切于点。时，连接P。，则有PD_L05,PD=r=3,：.PD//AB,二NOP0=N043=30。,

：.cosZOPD=—,：.OP=---=宜3,.•.点P的坐标为（汉i,0）；

OPcos30033

③如图2,当。尸与直线。5相切于点E时，连接PE,则有同②可得：0尸=，±；

点尸的坐标为（―即，0）；

［拓展］

，的取值范围是2〈江3,2<t<4,理由:

如图4,当点N运动到与点A重合时，MN与RSAbO的边有一个公共点，此时U2；

4-1

当，>2,直到。尸运动到与A3相切时，由探究①得：0P=3,：.t=—=3,MN与RSA3。的边有两个公共点,

：.2<t<3.

如图6,当。尸运动到PM与05重合时，MN与R3A30的边有两个公共点，此时U2；

直到。尸运动到点N与点。重合时，MN与R3A3。的边有一个公共点，此时白4；

：.2<t<4,即：f的取值范围是2c姓3,2<t<4.

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关

键.

22、（1）4,5；（2）①7；②4或12—40或12+40或8.

【解析】

（1）分别令y=0可得b和m的值；

（2）①根据ACP的面积公式列等式可得t的值；

②存在，分三种情况：

i）当AC=CP时，如图1,ii）当AC=AP时，如图2,造）当AP=PC时，如图3,分别求t的值即可.

【详解】

（1）把点C（2,m）代入直线y=x+2中得：m=2+2=4,

二点C（2,4）,

直线y=」x+b过点C,

2

4=--x2+b,b=5；

2

（2）①由题意得：PD=t,

y=x+2中，当y=0时，x+2=0,

.-.A（-2,0）,

y=—x+5中，当y=0时，—x+5=0,

22

x=10,

.-.D（10,0）,

AD=10+2=12,

・・,.ACP的面积为10,

.-.1（12-t）-4=10,

t=7,

则t的值7秒;

②存在，分三种情况:

i）当AC=CP时，如图1,过C作CELAD于E,

..PD=12—8=4,

即t=4；

ii）当AC=AP时，如图2,

.•.DR=t=12-40,

Dg=t=12+4A/2；

「./BAO=45，

.•./CAP=/ACP=45，

.•./APC=90，

.•.AP=PC=4,

PD=12—4=8,即t=8；

综上，当t=4秒或(12-40)秒或(12+40)秒或8秒时,_ACP为等腰三角形.

【点睛】

本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形

的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题.

23、裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dmN

【解析】

试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm,则制作无盖的长方体容器的长为(10-2x)dm,宽为(6-2x)dm,根据长

方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.

试题解析：

设裁掉的正