2022年河北省邯郸市高考数学二模试卷

2022年河北省邯郸市高考数学二模试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求.

_2

1.若复数2=1—83贝卜=（）

Z

「1>/3,八1-/3.

一1H—wI"•一2—w1

2.设集合/=任|-xGN},B={x\y=y[3-x},则4GB=（）

A.{1,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

3.已知圆Ci：W+y2=25和圆Q：（「3）2+y2=/,则“q=2”是“圆Ci与圆Q内切”（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结

构的一个侧面中，自上而下第一层有2块筒瓦，以下每一层均比上一层多2块筒瓦，如果侧面共有11层

筒瓦且顶部4个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（）

A.440B.484C.528D.572

5.已知正三棱柱N3C-N/1C1，各棱长均为2,且点尸为棱CCi上一动点，则下列结论正确的是（）

A.该正三棱柱既有外接球，又有内切球

8

B.四棱锥尸-45必出的体积是]

C.直线481与直线8尸恒不垂直

71

D.直线5P与平面所成角最大为孑

第1页（共24页）

Xv

6.已知尸1、尸2是双曲线——三=1（6>0）的左、右焦点，点尸为双曲线右支上一点，且P在以尸1尸2

4bz

为直径的圆上，若尸尸1||尸尸2尸12,则tan/尸。尸2=（）

3434

A.-B.—C.—D.—

4355

7.已知函数/（x）=[lnx+ln（2TT-x）]・sinx,则下列结论正确的是（）

A.f（x）的图象关于直线X=TT对称B.f（x）的图象关于点（n,0）对称

C./（x）有2个零点D.f(TT+X)是偶函数

8.如图，在平面直角坐标系x0y中，将三角板N3C的端点N、C分别放在x轴和y轴的正半轴上运动,

点2在第一象限，且N/C3=2N4BC=60°,若BC=2,则点。与点3之间的距离（）

A.最大值为2B.最大值为■y-

u-，1+V13=-，7+V13

C.最大值为一--D.最大值为一--

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.我国小麦育种技术和水平已经达到国际先进水平，研究发现某品种小麦麦穗长度上加近似服从正态分

布N（11.24,1.132）.从该品种小麦中任取100株，估计其麦穗长度，则下列说法正确的是（）

附：P（|1-2。WXW|i+2。）七0.9545,P（|1-3。WXW（i+3。）-0.9973.

A.100株小麦麦穗长度的均值约为11.24C/M

B.100株小麦中约有2株小麦的麦穗长度大于13.

C.100株小麦中没有麦穗长度大于14.63cm的小麦

D.若随机变量y表示100株小麦中麦穗长度大于13.5c机的株数，则y近似服从二项分布8（100,

0.0455）

第2页（共24页）

10.已知函数f（%）=2cos（2%-看）+1,则下列结论正确的是（）

A./（x）在（需，系）上单调递增

B./（%）图象关于点（―看，0）对称

C.若/（XI）=3,f（X2）=-1,贝一%21力讥=5

D.若/（XI）=/（X2）=1且X1WX2,贝！J|%1一％2|小配=今

•.XV

11.已知直线/：歹=x+加与椭圆C：—+—=1,则下列结论正确的是（）

62

A.若。与/至少有一个公共点，则加32四

B.若C与/有且仅有两个公共点，则制<2/

C.若m=3®则C上到/的距离为5的点只有1个

D.若m=一鱼，则C上到I的距离为1的点只有3个

12.已知函数/（无）=^a-x2（a>0）有两个极值点xi和X2,且无i<X2，则下列结论正确的是（）

x

A.0<xi<lB.0<x1e^<1

C.0</（xi）<1D.aG（1-Ini,+°°）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.

_>T—T—>—T

13.已知a、b是不共线的两个单位向量，若|a—b|=V^b|,贝必与b的夹角为.

14.请写出一个函数表达式满足下列3个条件.

①最小正周期T=ir；②在［―『舟上单调递减；③奇函数.

15.同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件/="两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件3="两

枚骰子朝上的点数之和均为奇数”，则.

第3页（共24页）

16.如图所示，/是平面a内一定点，8是平面a外一定点，直线N8与平面a所成角为45°.设平面a

内的动点C到N点、8点距离分别为由、必（0/2>0），且加=字.若点C的轨迹是一条直线,〃?=______;

a2

若点C的轨迹是圆，则m的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18〜22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列｛即｝的前〃项和为S”，满足见=1,且2s尸"即+1.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）求数列｛々｝的前n项和

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18.（12分）为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗

进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（MN

左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计7分；若冰壶能

准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知/队两名成员甲、乙每次将冰壶投

111

掷到营垒区的概率分别为-和一，2队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为一.假设两队投掷

232

的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.

（1）求/队每局得分X的分布列及期望；

（2）若第一局比赛结束后，A队得1分，8队得4分，求/队最终获得本场比赛胜利且总积分比B队高3

分的概率.

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19.（12分）已知△45。的内角/、B、。所对的边分别为a、b、c,且csiziB=Aos等.

(1)若a=6,c=V3&,求6；

（2）若点。在线段5C上，且CD=2助，40=1,求Q+6的最大值.

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20.(12分)如图，四棱锥E-/BCD,AB=AD=V3,CD=CB=\,AC=2,平面及1C_L平面/BCD,

平面4BEC平面CDE=l.

(1)若点M为线段/£中点，求证：BM//1-,

(2)若N/CE=60°,CE=\,求直线2C与平面4DE所成角的正弦值.

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21.（12分）平面直角坐标系中，点P在〉轴右侧，且到点尸（1,0）的距离与其到y轴距离之差为1.

（1）求点尸轨迹C的方程；

（2）过点尸的直线/与C交于N、B两点,。是y轴上一点.若△48。是正三角形，求直线/的斜率.

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22.(12分)设函数/(x)—jc^+ln(x+1).

(1)求曲线y=/(x)在(0,0)处的切线方程；

(2)证明：当"6N*且心2时，In(«+1)>9+东+…+詈・

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2022年河北省邯郸市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求.

2

1.若复数z=l—Wz•，则-=()

Z

1V31V31.-/3,143.

A.-——iB.-+-ic.-21—2-一2—2~

2222

解：Vz=l-V3/,

.=2=2(1+730=1V3.

，-1^7^-(1—阚(1+阚-2+Tl-

故选：B.

2.设集合/={x|-1WXW2,xGN},B={x\y=V3^x},则NC2=()

A.{1,2}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3)

解：4={x|-lW尤W2,xGN}={0,1,2},B={x|y=-x}={x|xW3},

则Nri8={0,1,2).

故选：C.

3.已知圆Ci：W+F=25和圆C2：(x-3)2+y1=a1,则，=2”是“圆。与圆C2内切”()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：当圆Ci：x2+f=25和圆C2：(x-3)2+y2=a2,相内切时，

贝ij3=5-a或3=q-5,

解得a=2或8,

当。=2时，两圆相内切.

故则“。=2”是“圆。与圆C2内切”的充分不必要条件；

故选：A.

4.位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结

构的一个侧面中，自上而下第一层有2块筒瓦，以下每一层均比上一层多2块筒瓦，如果侧面共有11

层筒瓦且顶部4个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？()

第10页(共24页)

A.440B.484C.528D.572

解：由题意得自上而下，每层瓦数构成等差数列｛为｝,a\=d=2,

故一个侧面筒瓦数11X2+卫罗x2=132,

故顶部结构共有132X4=528.

故选：C.

5.已知正三棱柱4BC-//1C1，各棱长均为2,且点尸为棱CQ上一动点，则下列结论正确的是（）

B

A.该正三棱柱既有外接球，又有内切球

8

B.四棱锥尸-4521/1的体积是一

3

C.直线/Bi与直线5尸恒不垂直

71

D.直线与平面/8当山所成角最大为

解：如图所示，^A\B^ABx=O,取/8、小历的中点分别为£、F,

连接ERCF过点尸作尸〃_1_斯交£/于点〃，连接8”,

显然CF_L平面48历4，又PH〃C\F,故班LL平面/ABi/i，

即ZPBH为直线BP与平面ABBiAi所成角,

又因为PH=C#=网,2<BP<2V2,

所以sin/PB"=然=品€俘，易，

因此当s讥=字时，有/尸瓦7的最大值半选项。正确；

V3

由于A/BC内切圆半径为可VI,所以该正三棱柱有外接球，无内切球，选项/不正确;

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显然CCi〃平面ABBiAi,因此点P到侧面ABB141的高/=PH=也,

故棱锥P-4BB141的体积为VpTBBMi=扣矩物BB1P=*f,选项B不正确;

当〃位于。时，尸OJ_平面/8历/1，BPABxLPO,

又力故/历，平面尸02,从而4B1LAP,故选项C不正确;

XV

6.已知尸1、尸2是双曲线——三=1（6>0）的左、右焦点，点尸为双曲线右支上一点，且P在以尸1尸2

4b2

为直径的圆上，若尸尸1||尸尸2|=12,则tan/尸。尸2=（）

解：如图，

%2y2

•双曲线——f=l(b>0),.\a=2,

4bz

则|尸尸1|-|尸产2|=4,又干尸ill尸尸2|=12,

解得|尸产1|=6,I?歹2|=2,

222

.,.4c=\PFr\+\PF2\=36+4=40,即c2=10,可得。尸|=|0仍|=V1U,

10+10-44

COSZPOF2=

2x710x710

2

：.sinZPOF2=11-(1)=I，tan/尸。尸2=1.

故选：A.

7.已知函数/（x）=\lnx+ln（2n-x）]*sinx,则下列结论正确的是（)

A.f（X）的图象关于直线X=TT对称

第12页（共24页）

B./(x)的图象关于点(m0)对称

C./(x)有2个零点

D.f(JI+X)是偶函数

解：f(x)的定义域为(0,如)，f(n+x)的定义域为(-mn),

且/(n+x)=[ln(n+x)+ln(TI-x)]*sin(n+x)=-[In(n+x)+ln(n-x)]*sinx,

记g(x)—f(n+x),则有g(-x)—f(n-x)=-[In(n-x)+ln(n+x)]・sinx=-g(x),

故/(ir+x)为奇函数，选项。错误；

又/(n-x)=[ln(7i-x)+ln(K+X)]*sin(n-x)=)=-[In(n-x)+ln(n+x)卜sinx=-f(n+x),

故/(x)的图象关于点(ii,0)对称，选项8正确，选项Z错误；

令/(x)=0,则有[历%+历(2ir-x)卜sim=0,即加什历(2n-x)=0或sinx=0,

22

解得x(2n-x)=1或x—n,即久1=兀+VTT—1<7i+兀=2n,x2=n—VTT—1>TT—n=0或犷

TT,

故/(x)有3个零点，选项C错误.

故选：B.

8.如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点力、。分别放在x轴和y轴的正半轴上运动,

点5在第一象限，且N/CB=2N4BC=60°,若BC=2,则点。与点5之间的距离()

A.最大值为2B.最大值为---

2

C.最大值为手D,最大值为手

解：过8作轴于设NC4O=a,(0°<a<90°),

AZACB=2ZABC=60°,若8C=2,AZBAC=90°,BA=V3,AC=1,贝ljN5/M=90°-a,

则题意可知V^sin(90°-a)=V3cosa,AM=V3cos(90°-a)=Vasina,CU=cosa,

・••点8的坐标为(cosa+Hsina,V3cosa),

*.\OB\=J(cosa+V3sina)2+(V3cosa)2=y/3+cos2a+2V3sinacosa

一171g.e「八、-1+同/甘+，Q_1、

=^2H—2~SITI(2,OC+6)W——(其中tan9=-T=)»

当sin(2a+0)=1时，即等号.

故选：C.

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.我国小麦育种技术和水平已经达到国际先进水平，研究发现某品种小麦麦穗长度北机近似服从正态分

布N（11.24,1.132）.从该品种小麦中任取100株，估计其麦穗长度，则下列说法正确的是（）

附：P（口-2。WXW|i+2。）-0.9545,尸（四-3。。）~0.9973.

A.100株小麦麦穗长度的均值约为11.24c〃？

B.100株小麦中约有2株小麦的麦穗长度大于13.5cro

C.100株小麦中没有麦穗长度大于14.63cm的小麦

D.若随机变量y表示100株小麦中麦穗长度大于13.5c机的株数，则y近似服从二项分布8（100,

0.0455）

解:对于/,•.•小麦麦穗长度以加近似服从正态分布N分1.24,1.132）,

:.E（X）«11.24,o2=1.132,故月正确，

对于8。，,:P（9.98WXW13.5）-0.9545,

：.P（X>13.5）x1-。产5=0Q2275,因此随机变量¥近似服从5（100,0.02275）,

.•.100株小麦中约有100X0.02275-2株小麦的麦穗长度大于13.5cm,故8正确，。错误，

对于C,P（7.85WXW14.63）心0.9973,根据3。原则，麦穗长度大于14.63c机是小概率事件，但是也

有可能发生，故C错误.

故选：AB.

10.已知函数/（%）=2cos（2x-卷）+1,则下列结论正确的是（）

A.f（x）在（碧，船上单调递增

B./（x）图象关于点（一看，0）对称

C.若/（XI）=3,f（X2）=-b则由一%21nl讥=今

D.若/（XI）=/（X2）=1且如制2,则—％21m讥=t

解：选项/：令£=2%-看，则y=2cos什1,

由于>=cosf的增区间为[冗+2衍I,2IT+2AH],kEZ,

第14页（共24页）

■JT

即n+2加W2x—zo<211+2^11,k£Z,

771137r

故/（x）的增区间为［石■+ATT,+AJI］,任Z,

取左=0,则/（x）在［工，上单调递增，

又因为港泊唔岩，

因此/（X）在（碧，等）上单调递增，故选项/正确;

选项6：由于y=cos£的对称中心为（Mr+夕0）,左6Z

令t=2x-5=ATC+5,则x=-?■+5,k£Z,取k=~1,则有x=-5,

62Z3o

因此/G）图象关于点（-看，1）对称，因此选项8错误；

选项C：若/（xi）=3,f（X2）=-1,

则/G）在x=xi和X=X2处分别取最大值和最小值，

因此|打-工2|=（2左+1）..=（211）兀,左EN,故|xi-X21加片皆选项C正确；

选项。：若/（知）=f（X2）=1,则XI和X2是函数＞=2cos（2x-3）的零点，

TZz-TT-TT___

故|%1-初=左•2=三，因止匕|肛-%2|加就=2,选项。不正确.

故选：AC.

%2y2

11.已知直线/：y=x+m与椭圆C：—+—=1,则下列结论正确的是（）

62

A.若C与/至少有一个公共点，则巾＜2或

B.若C与/有且仅有两个公共点，则|加|＜2/

C.若m=35则C上到/的距离为5的点只有1个

D.若m=-V2,则C上到I的距离为1的点只有3个

y=x+m

解：联立x2y2,消去y得4x2+6加x+3川-6=0,则判别式△=12（8-加2）,

（T+T=1

A：令△=12（8-〃，）20,则有制式2/，错误；

B：令A=12（8-m2）＞0,则有＜2夜，正确；

C：令直线/与椭圆C相切，则A=12（8-m2）=0,即m=±2近，

直线y=%+3近与y=%-2鱼的距离d=感+2⑶1=5,正确；

D：如图，直线y=%-&分别与y=%-2或和y=x的距离均为1,因此，C上到/的距离为1的点只

第15页（共24页）

有3个，正确.

故选：BCD.

12.已知函数/G)(«>0)有两个极值点XI和X2,且X1<X2,则下列结论正确的是()

X2

A.0cxi<1B.0<xre<1

C.0<f(xi)<1D.ae(1-ln2,+°°)

x

解：f(x)=exa-2x,令f(x)=0,则?=2e°,

考虑函数g(x)=《，则g'(x)=

xX

当xE(-8,o)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当(0,1)时，g'(x)VO,g(x)单调递

f

减，当xC(1,+8)时，g(%)>0,g(x)单调递增，

故g(x)的大致图象如图所示，

依题意，若/G)有两个极值点，则2e">e,即-加2,因此选项。正确；

注意到/(0)=/">(),，(1)=e「"-2V/2-2=0,故存在RE(0,1),使得/(xi)=0,

因此选项4正确；

X1a22

又e%i—。=2%)故/(%i)=e~—xr=2/—=1—(1—x1),

由于xiE(0,1),故OV/Gi)<1,因此选项C正确；

国力/'(工1)=。日口(靖1一。=2%i4-^e%1xi%

因为忆,、c,即1x.-an，故=-,0即n久x

由于X1E(0,1),X2>1，所以％从而％故选项B错误.

故选：ACD.

第16页(共24页)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.

T—>———>——

13.已知a、b是不共线的两个单位向量，若依一切=应叫，则a与b的夹角为90°.

解：根据题意，若向一切=应叫，贝！J（a-/?）2=2b2,

变形可得2-2cos6=2,则有cos0=O,

则之与「垂直，即会与「的夹角为90。；

故答案为：90°.

14.请写出一个函数表达式y=-sin2x（答案不唯一）满足下列3个条件.

①最小正周期T=m

②在［―『舟上单调递减；

③奇函数.

解：根据三角函数的图像与性质，可以写出了=-sin2x,y=-tanx等函数表达式，都满足条件.

故答案为：y=~sin2x（答案不唯一）.

15.同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件/="两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件3="两

枚骰

子朝上的点数之和均为奇数”，则尸（四"）=|.

解：两枚质地均匀的骰子抛掷一次，样本空间Q所含全部的样本点个数为36,

事件”两枚骰子朝上的点数之积为偶数”包含样本点27个，

其中事件“两枚骰子朝上的点数之和为奇数”包含样本点18个，

273181

尸a-----尸a5-----

364362

1

-2

如

尸2

-p(--=-

CP33

-

4

-,2

故答案为：

第17页（共24页）

16.如图所示，4是平面a内一定点，8是平面a外一定点，直线N8与平面a所成角为45°.设平面a

内的动点C到/点、8点距离分别为小、d2（力，d2>0），且血=意.若点C的轨迹是一条直线，m=

1_；若点c的轨迹是圆，则机的取值范围是（0,i）u（i,VI）.

解：如图所示，作点8在平面a上的投影点E,连接/E和CE,显然BE,平面a.

—>—>―>—>

以E为坐标原点，EA,EB分别为x,z轴的正方向，作Ey,瓦4,

以Ey为y轴正方向，建立空间直角坐标系E-孙z.

由于直线48与平面a所成角为45°,所以

设BE=AE=p(p>0),则/(p,0,0),B(0,0,p)；

设C(无，y,0),则di=\AC\=Y(x-p)2+*,=\BC\=yjx2+y2+p2,

22222222

故n=md20d(x—p)2+产=+y+p<=>(m—l)x+(m—l)y+2px+(m—l)p

0(*)

显然，m>0,

（1）当机=1时，（*）式0x=0,即点C的轨迹为直线班,

(2)当时，(*)式"+V+%X+p2=oo(乂+%)2+=J-卷：/

若上式表示圆的方程，则1-（m2-1）2>0,解得0<〃，<2,

又心#1且m>0,故0<m<1且1On<VX

即me(0,1)U(1,V2).

故答案为:

A

第18页（共24页）

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18〜22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”满足m=l,且2S〃=W"+i.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求数列a｝的前n项和Tn.

解：(1)因为2s劭+i,

所以2s什1=(〃+1)斯+2,

两式相减得2an+i—(〃+1)an+2劭+1,

即(几+2)an+i=(〃+1)即+2,

%1+2_%1+2

即，(neN*),

71+271+1

J^,Q2=2QI=2,QI=1,

itana2al.

故r—=—=],

n21

因此，数列｛等是每项都是1的常数列,

从而cin=n,

(2)因为斯=〃，所以%=吟由，

,一1211

从而==-----=2(------),

Snn(n+l)nn+1

11111111

因止匕7^=2X(1一5+5一5+5-7+…H-----TT=2X(1=11•

n'22334nn+-1)7'n+17n+1

18.(12分)为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗

进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区

(MN左侧)掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计7分；

若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知/队两名成员甲、乙每

11

次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为-和-，B队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为

23

假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.

2

(1)求/队每局得分X的分布列及期望；

(2)若第一局比赛结束后，N队得1分，8队得4分，求N队最终获得本场比赛胜利且总积分比8队

高3分的概率.

第19页(共24页)

M

解：(1)•••若冰壶未到达营垒区，计-1分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，且已知4队两名成员

11

甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为一和一，

23

.•./队每局有三种情况，即两个人的冰壶都未到达营垒区，一个人的冰壶到达营垒区一个人的冰壶未到

达营垒区，以及两个人的冰壶都到达营垒区，

.••X的所有可能取值为-2,1,4,

11111ill11

:・P(X=-2)—(1—2)x(1—W)=W，P(X=1)=2x(1—引+(1—2)x可=2’P(X=4)=]x可=

・・・X的分布列为:

X-214

P111

326

：.E(X)=-2x1+lx1+4x^=1.

(2)设5对每局得分为匕同理可得丫的分布列为:

r-214

p111

424

记4队，5队在后面两局总得分分别为x,歹，则包含的情况如下:

/队总得分X258

B队总得分》-4-12

1111II13

:.P(x=2,y—-4)=(-x—x2+-x—)xx-y=

J362244576

11111

P(x=5,y--1)=2X6X^X4X2X^=京

P(x=8,y—2)=zxzxJx?y+斤x7x2)=匚7/,

/66'，，44，576

131643

故4队最终获得本场比赛胜利且总积分比B队高3分的概率为=+—+—=

57624576576

19.(12分)已知△45。的内角4、B、。所对的边分别为a、b、c,且cs讥8=bcos等.

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(1)若〃=6,c=V3d,求b；

(2)若点。在线段5C上，且CD=25。，4D=1,求a+b的最大值.

八,、、A+B

解：(1)由正弦7E理可知：sinCsinS=sin5cos------，又sinSWO,A+B+C—n,

2

.TC-CCCTCCC

故sinC=cos------，贝U2sin-cos-=cos(———)=sin—,

222222

,C1,Cn2TT

・・cos-=—,・・一=-,..C=-5-.

22233

由余弦定理可知：c2=6z2+fe2-2abeosC,即36c2=36+Z)2+6Z),

解得6=6或6=-3(舍去);

7TCDACAD

(2)设NC4O=ae(0,-),由正弦定理可得:

sinasinz.CDAsinC

2a

b12V3.73.

即d-7=-----.故a=V3sina,b=—丁sina+cosa,

sinasin(a+芋)V333

2

从而a+6=^^sina+cosa=(a+<p),其中tan<p=孚6(f,1),

当a+(p=鄂寸，有a+b的最大值为

20.(12分)如图，四棱锥E-43CD,AB=AD=V3,CD=CB=\,AC=2,平面E4c，平面/BCD,

平面48EC平面CDE=l.

(1)若点M为线段NE中点，求证：BM//1；

(2)若N/CE=60°,CE=1,求直线3c与平面/DE所成角的正弦值.

解：(1)证明：如图，设NO,NC中点分别为尸，G,连接ME,FG,GB,

又点M为线段/£中点，

：.MF//ED,FG//DC,又GC=*4C=1=2C,

又由AB=4。=百，CD=CB=1,AC=2,

,1

得cosAACD—cos^ACB-

TT

：.ZACD=ZACB=?

・・・ABCG为等边三角形，

TTTT

：.NCGB=全又/AGF=ZACD=J,

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TT

：.ZAGF=CGB=全

：.F,G,8三点共线，

：.MF//ED,FB//DC,又MFCFB=B,

，平面AffiG〃平面EDC,又MBu平面ASG,

〃平面EDC,又Affiu平面48E,且平面ABEA平面CDE=/,

(2)如图，由题意知NCLB。，

又平面ENCLL平面/BCD,过E作EO垂直NC于点O,则EO_L平面/8C£),

又乙1CE=60°,CE=l,

：.OE=CE'sm60°=.,OC=CE-cos60°=1=1GC,

为GC的中点，易知四边形G8CO为一个角为60°的菱形，

二。在上,

且/O=/C-OC=2—»去OD=OB=W，

分别以直线。8,AC,OE为x,y,z轴建立空间右手直角坐标系,

,V313J3V3

则8（一，0,0）,C（0,0）,A（0,",0）,D（一铮0,0）,E（0,0,一），

22222

T巧1T3V3T反3T

:・BC=（—亏,一，0）,AE=（0,一，­），AD=（—亍,一，0）,设平面/DE的一个法向量为：n=

222222

（%,y,z）,

\n•AE=[y+噂z=0