2024届福建省厦门市高三一模数学试题及答案

厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测

数学试题

2024.1

准考证号姓名

(在此卷上答题无效)

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.

3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改

液.

4.考试结束后，考生上交答题卡.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知z-i=z+l(i为虚数单位)，贝/z|=()

A.B.---C.1D.V2

22

2.设集合〃={x—2<x<2},N={yy=2x+1},则〃UN=()

A.[-2,+8)B.(1,2]c.[1,2]D.(l,+oo)

3.已知直线/与曲线N=/-x在原点处相切，则/的倾斜角为()

71C.网571

A.B.—D.——

~6446

4.已知万，B为单位向量，若15+B,则B与万一3的夹角为()

71712713万

A.B.—C.—D.——

234

5.已知/(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，/(X)=X2-2X+1,则/(2)+/(0)=()

A.2B.1C.-8D.-9

6.已知a=x+,，b=ex+Q~X,c=sinx+V3cosx,则下列结论错误的为()

X

A.3x,a>cB.3XG[-1,1],b>c

C.3xe[-l,l],a<cD.3xe[-l,l],b<c

7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数

分成许多类，如图所示的1,5,12,22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个

数为()

151222

A.51B.70C.92D.117

8.已知函数/(x)的定义域为R,\/x,yeR,f(x+1)/(j+1)=f(x+j)-f(x-y),若/(0)w0,

则/(2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=2sin12x—则()

JT

A./(x)的最小正周期为

B./(x)的图象关于点[事刀]成中心对称

C./(x)在区间0,TT1上单调递增

D.若/(x)的图象关于直线x=x()对称，则sin2x()=；

10.已知甲、乙两组数据分别为：20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙组数据的平均

数比甲组数据的平均数大3,则()

A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同

C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同

22

11.设椭圆C:二+占=1(。>6>0)的左、右焦点分别为F2,过片的直线与C交于4,8两点，若

ab

闺阊=2,且△/叫的周长为8,贝I()

A.a=2B.C的离心率为工

4

C.|45|可以为万D.NA4工可以为直角

12.如图所示，在五面体48CDEF中，四边形48CD是矩形，△4BE和△£)点均是等边三角形，且

AB=2G，EF=x(x>0),贝!I()

第12题图

A.EE〃平面A8C。

B.二面角N-E尸随着x的减小而减小

C.当8C=2时，五面体4SCDEE的体积K(x)最大值为2色7

D.当BC=—时，存在x使得半径为巨的球能内含于五面体ZBC7)£F

22

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若sin[a+z]=一1，则cos]a——.

14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一

种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种.

15.已知平面。的一个法向量为方=(1,0,1),且点幺(1,2,3)在。内，则点8(1,1,1)到。的距离为

16.设△48C是面积为1的等腰直角三角形，。是斜边48的中点，点P在△4BC所在的平面内，记

△PCD与△尸48的面积分别为E，邑，且邑=1.当|08|=而，且|尸图>|尸时，|尸山=

；记俨山-|尸邳=a,则实数a的取值范围为.(注：第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)

己知△4SC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且a2cos8+abcosZ=2c.

(1)求a；

(2)若幺=如，且△幺台。的周长为2+石，求△ZBC的面积.

3

18.（12分）

如图，在四棱锥£一28。。中，ADHBC,2AD=BC=2,AB=42,ABLAD,平面

ABCD,过点3作平面a_L8Z).

(1)证明：平面a〃平面£ZC；

(2)已知点尸为棱EC的中点，若EA=2,求直线幺。与平面必。所成角的正弦值.

19.(12分)

已知数列｛%｝的前〃项和为S",4=2%=4,当〃eN*,且“22时，Sn+l=3Sn-2Sn_x.

(1)证明：｛%｝为等比数列；

(2)设"=7——。——记数列也J的前"项和为加若图+—J>1，求正整数机的最小

值.

20.(12分)

已知甲、乙两支登山队均有〃名队员，现有新增的4名登山爱好者a,b,c,d将依次通过摸出小球的颜色来

决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其

余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个

放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重

复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至

乙队.

(1)求a,b,c三人均被分至同一队的概率；

⑵记甲，乙两队的最终人数分别为4,n2,设随机变量X=|〃「4|,求E(X).

21.（12分）

V—1

己知函数/（x）=alnx------有两个极值点X],x2.

x+1

(1)求实数a的取值范围;

⑵证明：/⑺一/⑸〉〜.

-x2a-\

22.(12分)

在平面直角坐标系x0P中，点尸(1,0),点/为动点，以线段4P为直径的圆与y轴相切，记/的轨迹为

r,直线4?交「于另一点3.

(1)求「的方程；

(2)△048的外接圆交「于点C(不与O,A,2重合)，依次连接。，A,C,2构成凸四边形。4c5,

记其面积为S.

(i)证明：△4BC的重心在定直线上；

(ii)求S的取值范围.

绝密★启用前试卷类型：A

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数学试题答案及评分参考2024.1

一、单项选择题:

题号12345678

答案BACBDDCA

二、多项选择题:

三、填空题:

316.，26;(―\^,2).

14.24：15.亚;

5

三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)

己知△/3C的内角B,。的对边分别为a，h,c,n.a2cosB+abcosA=2c

(1)求夕：

2冗

(2)若4=彳，且△ZBC的周长为2+逐，求的面积.

解：(1)Va2cosB+abcosA=2c,•*-o(acosB+bcosA)=2c,...................................1分

由止弦定理，(sinyicosB+sinBcos//)=2sinC,.......................................................2分

即asin(Z+7?)=2sinC,....................................................................................................3分

9：A+B+C=it.：.sin(A+B)=sinC,............................................................................4

/.asinC=2sinC♦

'/0<C<7t»/.sinC>0,

:.a=2.................................................................................................................................5分

(2)由(1)知4=2,

12._2_2L2.2_A

在△/48CLp,由余弦定理，得cos4=----------------=----------------,.................................6分

2bc2bc

・,・"-+厂—4二_1,整理得：b2+c2+bc=4①，...............................................7分

2bc2

^a+b+c=\[5+2r:•b+c=4^②,....................................................................8分

高三数学参考答案及评分标准第I页共10页

rtl①，②得6:+c'+切=（方+c）‘-6c=4,Be=1,9分

记△/3C的而手1为S,

:.S=-besinA--sin—=—.10分

2234

18.（12分）

如图，在四棱锥E-//8CD中，ADUBC,2AD=BC=2,AB=6,ABLAD,EAL

平面为BCD,过点8作平面

（1）证明：平面a〃平面E4C；

⑵一知点”为棱£C的中点，若加=2,求直.线力力才I'：面用。所成角的小弦值.

（第18题图）

证明：（1）设，。与8。的交点为。,

'：ADUBC,.W.AB1AD，.'.ABLBC,

VAD=],AH=4i<ABLAD,

UAB=6,BC=2,ABLBC,

2分

：.ZABD=ZBCA,

ZBAC+ZABD=ABAC+ZBCA,

•/Aii±BC,ABAC+ABCA=90°,

N/MC+4/30=90°,

即ZBAO+ZABO=9Q°,：.4106=90°,

AAOIBO,即ZC_L8D,4分

V胡，平面ABCD,8。u平面ABCD,

高二数学参考答案及评分标准第2页共10贝

EALBD,

VEAC\AC=A,占4/。(=平面也(7,

；.BDJ,平面EAC,

又a_LBD,且Be平面EAC,

平面a//平面£4C...................................................................................................5分

(2)(方法一)〈4BLAD,£4_L平面

AAB,AD,NE两两垂直.

如图，以月为原点，AB,AD,花分别为x轴，

y轴，z轴，建立空间直角型标系/-型，

则4(0,0,0),。(0,1,0),5(-72,0,0),

£(0,0,2),C(一点,2,0),

二而=(0,1,0),丽=(返，1,0),前=(0,2,0)，丽=(0,0,2),......................8分

；点斤为极比的中点，

.♦.而=；(前+函=(冬1,1),...............................................................................9分

设平面在8D的一个法向量为〃=(x,y,z),

[BD-n=Q,|6Y+y=°，

则v—：二正

Bb-n=0,—.x+y+==Q,

取x=2,得y———,z-，

/.平面FBD的一个法向5为〃=(2,-2五，JI),........................................................10分

记宜线AD与平面FBD所成角为。,

e-八，F,|而•川|-2⑨2"

则sin0=cos<AD,n>=---=----/

\AD\\n\lxj4+8+2~T~

直线AD与平面FBD所成角的正弦值为空.

12分

7

(方法二)如图，取/C中点V,连接FM,

；尸为棱EC的中点，

：.EW=—=1,JIFM//EA,

2

・・・E41平面14。。，

高二数学参考答案及评分标准

FM1平面ABCD,6分

；OMu平面ABCD,：.FM1OM,

VABA.AD,ABIBC,

BD="JAB2+AD2=Vs>AC=-JAB2+BC2=>/6»....................7分

易知△。“。〜△。/切,

.OADA1

・♦------——,

OCBC2

。/=空=立，^OA=—=—,

2233

y.AM=—=—,：-OM=AM-OA=—,

226

VFM=I,且EWJ.O.M,=8分

V3。J_平面胡C,OFu平面EAC,

:.BDLOF,

.,.SVWJ=-x5PxOF=-x^x./^=—,...............................9分

22v64

VAD=\,AB=41'u.ABIAD,'-S^BD=­Z........................10分

设。为/到平面8")的距离，

■IIr

•匕1-BFT)=^F-ABD9♦•*FN，

即如x/?=更xl,解得力="，.........................................11分

427

记直线AD与平面FBD所成角为。，®Jsin<?=—=-1

AD7

.•.宜战/。与平面卜BD所成角的正弦值为2立................................12分

7

19.(12分)

已知数列｛%｝的前〃项和为S”，%=2q=4,当〃eN,，且“N2时，5„+1=35„-25„,,.

(1)证明：｛%｝为等比数列；

(2)设吟：；，记数列也｝的前〃项和为7；,若求正整

1%I八/川I)/XZ

数〃?的最小值.

解：(I)当〃eN*,且"N2时,S“+|=3S“一2s“_1，

高三数学参考答案及评分标准第4页共10页

，当〃22时，S,,「S,,=2(S,,/T),

a”.-2a“(〃N2),........................................................3分

V%=24=4,J.q,+i=2a“(〃eN"),目.4=2,

A{a,,}是以首项为2,11公比也为2的等比数列................................5分

(2)由(1)易知的通项公式为％=2"(〃eN),...............................6分

.,4,2"11八

M--W+IH

•(a„-l)(anil-1)(2"-1)(2-1)-2-12'"-1，

T—(1--)+(-----)H---F(：----------)+(---------：­)=1-----：--->......9分

"3372'"'-12"-V2U_12,,_|-12"^-1

...2/H+1-1>7X2'"-2,KP8x2"-2-l>7x2"''2,...................................10分

2™-2>1,-2>0,m>2,

二加23,即正整数掰的最小值为3............................................12分

20.(12分)

已知甲、乙两支登山队均有〃名队员，现有新增的4名登山爱好者b,c,4将

依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如卜：在一个不透明的箱中放

行红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外.儿余完全相同.先III第•名新增登山爱好

者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的幻:球和黑球各1个放入箱中；接着

由下一名新增登山爱好者摸出I个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重

曳，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球，则被分

至甲队，否则被分至乙队.

(I)求b.c三人均被分至同一队的概率；

(2)记甲、乙两队的最终人数分别为〃-%,设随机变苣X=网-%|，求E(X).

解：(I)a,b,。三人均被分至同一队当FL仅当三人同分至甲队或同分至乙队.

设事件/="。被分至甲队"，8="b被分至甲队“，C="被分至甲队”，

当a即将摸球时♦，箱中有2个红球和2个黑球，则。被分至甲队即。摸出红球的概率为

当a被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则6被分至甲队即6推出红球的概率为

。2

P[B\A)=-^-=-,........................................................2分

2+33

高三数学参考答案及评分标准第5页共10页

当。，分均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则。被分至甲队即c摸出红球的

21

概率为P(C|/B)=—=：,...........................................3分

2+43

121

・・・P(AB)=P{A}P[B\J)=-Xy=-,

:.P(ABC)=P(AB)P[C|AB)=lx1=,............4分

同理可知，新增登山爱好者a,b,c均被分至乙队的概率也为七，

112

a，6,c.人均被分至同一队的概率为\+春啧......................5分⑵

由题设可知，X的可能取值为4,2,0,...........................6分

X=4表明新增的4名登山爱好者均被分至甲队或乙队,

2x2x2x2__4

尸(X=4)=2x7分

4x5x6x7W5

X=2表明新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名则被分至另一队,

设新增的笫&e=L2,3,4)名登山爱好者被单独分至甲队或乙队,

2x3x3x3_92x3x3x3_9

贝ijq=P(k=l)=2xg=P(左=2)=2x

4x5x6x7704x5x6x770

....….2x2x4x34,,„..32x2x2x52

/1=/>(〃=3)=2x---------=——,M=/>(A=4)=2x---------=—

34x5x6x7354x5x6x721

9分

7

：.P(X=2)=Pt+P2+Pi+PA=—；......................................10分

X=o表明新增的4名登山爱好者中各行2名被分至甲队和乙队，

：.P(X=0)=l-尸(K=2)-P(X=4)=盖；...........................II分

/.X的数学期望£(X)=4X2+2X2+0X*篇..................12分

IvzKJIJIJ〃J

21.(12分)

Y—1

已知函数/(X)=<7111JC-----有两个极值点后.

X+1

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：----1——-

X)-ci—1

a2ax2+2(a-\)x+a,八、

解：(1)易知了'(x)双x+1)叱⑵1分

x(x+1)2

若aM0,则f\x)40在(0,+8)上恒成立,

高三数学参考答案及评分标然第6页共10页

在（0,+oo）上单调递减，不可能布■两个极位点，灯题设矛后,

/.a＞0,.................................................2分

V/（x）有两个极值点X],x2,

...关于X的方程a^+Zg-Dx+auOS＞。）有两个相异的正实数根玉，%，.....3分

△=4(4-1尸-4a2=4(1-2a)>0,

a—\

----->0,.........................................4分

a

a>0,

解得0<67<—»

2

二实数。的取值'范围为(0,g).................................................5分

(2)由(1)知，0<a<―,]^x+x^=―—―,玉马=1,..........................6分

2]a

不妨设0＜M＜1＜々，

iX[—].—1aln旦-二步）…

zynY--!----"InY4—-—23

化简可得f(%m_"9+i2-+i占（$+1）（三+1）

玉一七*一9

aIn工

^227分

X]-x2x[x2+1+X]+%

-Wnxi-ho、)2_a(\nxA-Inx2)

玉一9Xif2+2。一公8分

a

/a)-/(%):a-2/\-2aInx-IriAfo,aInx-\nx.

欲证,只需证不7'〈学「一】，只需证匚r不丁

玉一马a-\

玉-i

只需证，〈心电二只需证小五＜且_,

x}+x2x]-x22x22+]

令r=匕（0＜，＜l）,贝i]需讦.Llnt＜3,.......................................

10分

占2t+\

由(1)知>当。=5时，ux~+2(a—l)x+ci=—(x—1)'>0>即f\x)20,

高三数学参考答案及评分标准第7页共10页

•・./(幻=上1始无一Y」-1在(0,X0)卜.单调递增，...................................11分

2x+1

VO<Z<I,/(r)</(l)=o,即2_卜£一3<0,即1用£<3,

2f+12f+1

./(3)-/(电)”2〃

•.------------>------.....................................................12分

X|-x2<7-1

22.(12分)

在平面直角坐标系x°y中，点/>化0),点/为动点，以线段/〃，为直径的网与歹轴相切,

记4的轨迹为「，立线/产交「了另一点8.

(1)求r的方程：

(2)△。一43的外接留交1于点C(不与。，A,5重言依次连接。，A,C,2构

成凸四边形。4CB,记其面积为S.

(i)证明：△/3C的重心在定直线匕

(ii)求S的取值范围.

解：(1)设则线段4P的中点坐标为(空,§),........................1分

•.•以线段/p为直径的圆与y轴相切，二号■乎P|=；J(XT)"2，.........2分

化简，得F=4x.........................................................3分

(2)⑴如图，设4(%,弘),B(x2,y2),C(x3,y3),

(方法一)：。，A,C,8四点共圆，

；.NOAB=ZOCB,........................4分

由对称性可知直线04,AB,0C,8c的斜率存在,

不妨设其分别为匕，卜,k3,自，

.11.0A,AB>0C,8c的倾斜角为5,a2,%,%,

/.Z.0AB=%一，，Z-OCB=a4-as,

VZ.0AB=Z.OCB,AtanNOAB=tanZOCB,

.>一收一44个

5分

,•\+"2-\+呼4D

k一必_乂_4

/一一1一

再1v2必'

4必

444

二同理可得e=------,勺=一

乂+%%必+必

高二数学参考答案及评分标准第8页共10页

代入①并化简，得一丁及丁工=,%、次

6分

弘（乂+%）+16%（％+%）+16

即K（%+外）=%。'2+必），即（M-%）（%+%+必）=0,

；）,产为，二凹+%+丛=°，即+%+为）=0，

；△ABC的重心的纵坐标为+M+必），

/.△ABC的重心在定直线y=0上..............................................7分

（方法：）•：0,A,C.3四点共网，设该囤方程为X?+必+小+吵=0,

x1+V1+dx+ev=Q,,一

联、'/：〈,‘消去》，得黄+（4d+16）0+16a=0,..............................4分

y=4x,

即MV'+（4d+\6）y+16e）=0,

二耳，乃，必即为关于，的方程/+（44