2023届丽江市高三年级下册一模考试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

*=()

1.

1-z

l+3z3+z3-z-l+3z

A.B.——c.------D.---------

2222

2.已知集合4=｛%|x-2x-3<B=x<2^,则A8=()

A.(1,3)B.(1,3]c.[-1,2)D.(-1,2)

3.设S“是等差数列｛?｝的前〃项和，且其=。4+3,则%=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知命题p：若a>l,b>c>l,则loga<log,命题q：3XO(O,-K»),使得2"。<logs/”，则以下命题为真

命题的是()

A.P八qB.C.(「p)八qD.A(—

5.如图，在平面四边形ABC。中，ABLBC,ADLCD,ZBAD^12Q,AB^AD=1,

若点E为边C。上的动点，则ABBE的最小值为()

05

6.已知a=log35,b=O,4»c=log25,则a,b,c的大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

7.已知S“是等差数列｛a“｝的前九项和，若y+q=S2，%=6,则$5=（）

A.5B.10C.15D.20

8.若函数/(x)=x3-JWC2+2x(m£7?)在x=1处有极值，则“X）在区间［。，2］上的最大值为（)

14

A.—B.2C.1D.3

27

9.已知锐角。满足2sin2o=l-cos2。，则tana=（)

1

A.-B.1C.2D.4

2

若集合4=卜|?|<01,3={》|一1<%<2},则A

10.B=()

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

11.直线y=Ax+l与抛物线C：d=4y交于A,B两点,直线〃/AB,且/与C相切，切点为P,记上钻的面积

为S,则S—的最小值为（）

12.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为

()

左视图

俯视图

A.47rB.87rC.6+4A/2D.—7T

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项

式值的一个实例，若输入九，x的值分别为4,5,则输出v的值为.

14.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，q=2,且2%q,3%成等差数列，则.

15.已知函数/(x)=/—二―1,则关于％的不等式;■(2%)+/(%+1)>—2的解集为.

16.边长为2的菱形ABCD中,AC与BD交于点0,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD相交于点尸，若

Z&4D=60。,则BEEF•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛%｝的前〃项和为S",2s"+4=1(〃wN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若4=：；——+------,7；为数列｛g｝的前几项和.求证：T“〉2n——.

11-an+｝3

18.(12分)已知函数ln(x+a)(。〉0).

(1)证明：函数/'(X)在(0,+电)上存在唯一的零点；

(2)若函数“X)在区间(0,+8)上的最小值为1,求a的值.

19.(12分)已知函数f(x)=|x-a|+|x+2].

(1)当a=1时，求不等式f(x)W3的解集；

(2)3x0eR,f(x0)<3,求a的取值范围.

20.(12分)已知函数/(x)=(x—a/—2xlnx,其导函数为/'(x),

(1)若。=0,求不等式/(x)>l的解集；

(2)证明：对任意的0<s</<2,恒有<1.

s—t

21.(12分)交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性

驾驶员，其中平均车速超过90切1//1的有30人，不超过90初〃〃的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速

超过90碗/〃的有5人，不超过90切2//z的有15人.

(1)完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90初2/丸与驾驶员的性

别有关；

平均车速超过90k〃//z平均车速不超过

合计

的人数90km//z的人数

男性驾驶员

女性驾驶员

合计

(2)根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车,记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90初〃/2

的人数为假定抽取的结果相互独立，求占的分布列和数学期望.

金―n(ad-bc)2

参考公式：K=-------------------------其中〃=〃+/?+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P(K2..k)

00.0500.0250.0100.0050.001

k°3.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知a>0,b>0,函数/(x)=|2x+d+|x—耳的最小值为g.

(1)求证：a+2b=l；

(2)若2〃+人2勿匕恒成立，求实数।的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2+i_(2+，)(l+，)_2+3，+/_1+3，_13.

T7-(l-i)(l+z)-2—-2—521

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

2.C

【解析】

解不等式得出集合4根据交集的定义写出ane.

【详解】

^^•A={x|x2-2x-3<0}={x|-l<x<3},

B={x|x<2},/.AnB={x|-1<x<2}

故选C.

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

3.C

【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得的的值.

【详解】

由于等差数列{。“}满足S4=%+3,所以％+g+/+4=4+3,ax+a2+ai=3,3a2=3,G2=1.

故选：c

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

4.B

【解析】

先判断命题。应的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

,1,111

logi,a=Z-----7，logea=------，因为a>l,b>c>\,所以0<logaC<loga〃，所以----->-----即命题p

log,6log/logaclogflb

为真命题；画出函数y=2、',和y=log3》图象，知命题q为假命题,所以。△(「［)为真.

故选:B.

【点睛】

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题。应的真假，难度较易.

5.A

【解析】

分析：由题意可得人钻。为等腰三角形，BCD为等边三角形,把数量积AE.5E分拆，设。E=tDC(0<r<l),

数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而ABLBCADLCD,所以一BCD为等边三角形，

BD=&设DE=QC(0<t<l)

----23-2

AEBE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE=-+BDDE+DE

=3Z2--Z+-(O</<1)

22

所以当/=工时，上式取最小值4,选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用

向量共线转化为函数求最值。

6.D

【解析】

与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小.

【详解】

11

5

0.4°<1，log35>1,X0<log52<log53,：.------->------Bplog25>log35,

l°g5，l°g5J

：.c>a>b.

故选：D.

【点睛】

本题考查塞和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数第比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数,

可借助中间值如0,1等比较.

7.C

【解析】

利用等差通项，设出内和d,然后，直接求解S5即可

【详解】

令%=%+(〃—1)2,则3a1+3*；一+弓=a,+q+d,%+3d=6,q=-3,d=3,

.•应=5x(-3)+10x3=15.

【点睛】

本题考查等差数列的求和问题，属于基础题

8.B

【解析】

根据极值点处的导数为零先求出M的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.

【详解】

解：由已知得/'(%)=3炉—2如+2,.•./'(1)=3—2加+2=0,=经检验满足题意.

/./(x)=x3~~^2+2%,/(x)=3x2-5x+2.

22

由/'(x)〈。得由/'(幻>0得％或%>1.

22

所以函数/(%)在0,j上递增，在-,1上递减，在［1,2］上递增.

则“X)极大值=/［1］="2)=2,

由于/(2)>/(%)极大值，所以/(x)在区间［0,2］上的最大值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题.

9.C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2(z=1-2sin2a代入计算即可.

【详解】

由已知，4sin(zcos(z=2sin2a，因a为锐角，所以sintzwO,2coscr=sine,

即tantz=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.

10.C

【解析】

求出集合A,然后与集合5取交集即可.

【详解】

由题意，A=|x|^|<oj={x|-2<x<l},B={x|-l<x<2},则AB={x\-l<x<l},故答案为C.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题.

11.D

【解析】

设出A3坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离,

得到APAB的面积为S,作差后利用导数求最值.

【详解】

/、/、y=kx+i

2

设B[x2,y2)9联立彳2_,Mx-4Ax-4=0

则石+々=44，%+%=左(玉+%)+2=4左2+2

2

则\AB\=yi+y2+p=4k+4

■1

由x?=4y,得y=2—=)/=—x

742

2

设。(面,先),则^^=左nXo=2k,y0^=k

则点P到直线y=Ax+l的距离〃=护石21

从而S=邳・d=2(左2+I).〃2+I

S—|叫=2伏2+°.7F+1-4(F+1)=2d3-4d2

令/(%)=2丁-4d=>/f(x)=6x2-8%(x>1)

当iWxwg时，/'(x)<0；当x>g时，r(x)>0

故/(Hmin=/口=一|1,即STM的最小值为福

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用

构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.

12.B

【解析】

由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积.

【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面

垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径,

则(2R)2=4R2=2?+2?=8,那么S外接球=4兀%=8%.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1055

【解析】

模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.

【详解】

模拟执行程序如下：

〃=4,x=5

v=1,z=3,满足z>0,

v=8,i=2,满足z>0,

v=42,z=1,满足/>0,

v=211,z=0,满足iiO,

v=1055,z=-l,不满足120,

输出v=1055.

故答案为：1055.

【点睛】

本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.

14.2"

【解析】

利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于q的方程，解方程求出4代入等比数列通项公式即可.

【详解】

因为2%%,34成等差数列，

所以2%=2q+34，

由等比数列通项公式得，

a3=axq~=2q~,a2=axq=2q,

所以2x2/=2x2+6(y,

解得好2或［=_；,

因为a”>0,所以q=2,

所以等比数列｛4｝的通项公式为

a“=4尸=2x2"T=2".

故答案为：2"

【点睛】

本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数

列通项公式是求解本题的关键；属于中档题.

/1、

15.(--,+°o)

【解析】

判断g(x)=/(x)+l的奇偶性和单调性，原不等式转化为g(2x)>3(x>)=g(—x—)，运用单调性，可得到所

求解集.

【详解】

令g(x)=/(x)+l,易知函数g(x)为奇函数，在R上单调递增，

/(2x)+/(x+l)>-2o/(2x)+l+/(x+l)+l>0,

即g(2x)+g(x+l)>0,

•••g(2x)>T(x>)=g(-%-)

/.2x>—x—l,即x>—

3

故答案为：]一?，+°°]

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

1

16.-

4

【解析】

取基向量AD，AB>然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将BE，E歹表示为基向量后再相乘可得.

【详解】

如图：

DC

B

设AF=A,AD+(1—A)AC9又=—AD+—AO=—AD+—AC,

且存在实数/使得

/.AAD+(1-A)AC=^tAD+^tAC9

I—A——t

4

AF=-AD+-AC

33f

,EF=AF-AE=-AD+—AC

6129

BE.EF=(AE-AB).EF=(AD+DE—AB).EF=(AD+-DB-AB).(-AD+—AC)

=(AD+^-A5-^AD-AB).(|AP+^AC)

3.311

=(-AD——AB).(-AD+—AB)

44412

32I2I

=—AD——AB——AB.AD

16168

))「

=——3x4—'-1x4—1x2cx2x一1

161682

~4

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(2)证明见解析

【解析】

S],〃=1

求得数列｛｝的通项公式.

(1)利用an=<4

Sn-Sn_vn>2

(2)先将c”缩小即1>2—,由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.

【详解】

⑴.••2S，M=l(〃eN*)，令〃“得41

_1

又2s“T+4-1=1(«>2),两式相减得----T.

-3

3"3"+i11

-----1---i--=2—-----1---i--

3"+13,,+1-13"+13n+1-l

又

c11cl

=2n-\----r——>2〃——・

3向33

T〉2Tl—.

3

【点睛】

本小题主要考查已知S“求％,考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

18.(1)证明见解析；(2)g

【解析】

(1)求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明了'(X)在(0,+8)上存在唯一的零点即可；

⑵根据导函数零点尤。，判断出了(%)的单调性，从而“X)111m可确定，利用/(x)1rfli=1以及y=L-lnx的单调性,

X

可确定出七,a之间的关系，从而。的值可求.

【详解】

(1)证明：V/(x)=-ln(x+a)(a>0),二/'(x)=产一"———.

x+a

；e'j在区间(0,+s)上单调递增，一1一在区间(0,+s)上单调递减，

x+a

・・・函数/(%)在(0,+8)上单调递增.

1Z7—

又r(0)=”〃—±=^~^,令g(a)=a—"(a〉0),g'(a)=1—e0<0,

aaea

则g(a)在(0,+8)上单调递减,g(a)<g(0)=—1,故尸(0)<0.

令7〃=a+1,则f\m)=f\a+1)=e--------->0

2a+1

所以函数/'(x)在(0,+8)上存在唯一的零点.

(2)解：由(1)可知存在唯一的/6(0,+8),使得/(%)=1-"一一—=0,即/「〃=」一(*).

+ax0+a

函数f'(x)=ex-a-——在(0,+8)上单调递增.

x+a

.•.当xe(O,x0)时，尸(%)<0,/(x)单调递减；当％e(%,+8)时，f'(x)>0,/(元)单调递增.

/(x)min=/(/)=*一"-ln(x0+a).

由(*)式得了OOmin=/(%)=^-—ln(X0+G).

-----ln(x+o)=l,显然/+。=1是方程的解.

冗。+a0

又•••y=」-lnx是单调递减函数，方程」-一M(/+。)=1有且仅有唯一的解/+。=1,

X%0+〃

把飞=1—a代入(*)式，得e-2°=i，.♦.a=g,即所求实数。的值为g.

【点睛】

本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度

较难.(1)判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；(2)函数的“隐零点”问题,

可通过“设而不求”的思想进行分析.

19.(1)|x|—2<%<ij；(2)[-5,1].

【解析】

(1)当a=l时，y(x)=|x—1|+|x+2|,

①当xW—2时，/W=-2x-l,

令〃x)W3,即—2x—1<3,解得x=—2,

②当—2<x<l时，/(%)=3,显然/(尤)<3成立，所以—2<x<l,

③当xNl时，/(x)=2x+l,

令〃x)W3,即2x+lW3,解得x=l,

综上所述，不等式的解集为{R-

(2)因为/(x)=|尤+|尤+2|2|(尤_。)_(尤+2)|=,+2],

因为有/(x)W3成立，

所以只需|。+2归3,

解得一5<Q<1,

所以a的取值范围为[—5,1].

【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

20.(1){x|x>l}(2)证明见解析

【解析】

(1)求出/Xx)的导数，根据导函数的性质判断函数Ax)的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；

(2)构造函数9(x)=/(x)-x,利用导数判断9(x)在区间(0,2)上单调递减，结合0<s<f<2可得结果.

【详解】

(1)若a=0,则/(x)=/-2xlnx,/'(x)=2x-2(l+lnx).

,2

设/z(x)=2x-2(l+lnx),贝！|)=2——,

所以以X)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增.

又当尤—0时，/z(x)-+OO;当x=l时，/z(x)=0；当％f+CO时，丸(x)f+oo,

所以丸(幻2。

所以/(X)在(0,+8)上单调递增，

又/⑴=1，所以不等式/3>1的解集为{x|x〉l}.

(2)设g(x)=r(x),再令"(x)=g(x)—x=x—2—21nx—2a,

9(x)在(0,2)上单调递减，

又0<s</<2,

"(s)<。⑺,

:.g(s)-s>g(t)-t,

:.g(s)-g(t)>s-t,

s—t<0,

.g(s)-g«)31

s-t

即/'(s)T'«)<i

s—t

【点睛】

本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.

21.(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90k〃/丸与性别有关(2)详见解析

【解析】

(1)根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90初i/丸

与性别有关.

(2)利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.

【详解】

(1)

平均车速超过90的z/〃平均车速不超过

合计

的人数90kmi方的人数

男性驾驶员301040

女性驾驶员51520

合计352560

因为K?=60x(30xl5-5xlO)、3^]37i,

40x20x35x257

13.71>10.828,所以有99.9%的把握认为，平均车速超过9(Km//z与性别有关.

(2)J服从«3,引，即中小

”|)=喧1T磊

PS"["(/心

所以4的分布列如下