初中数学 幂的乘方与积的乘方 知识梳理与考点分类讲解

塞的乘方与积的乘方（知识梳理与考点分类讲解）

/一•.知识梳理

【知识点一】幕的乘方

I.幕的乘方法则幕的乘方，底数不变，指数相乘.

即：用字母表示为（1）"=优（加，"都是正整数）

2.法则的拓展运用

（1）哥的乘法运算法则的推广：Kd）"]〃=a"（〃?，n,〃都是正整数）；

（2）暴的乘方法则也可以逆用，逆用时心』（优'）'=（4）"'Cm,"都是正整数）

特别提醒

1.“底数不变”是指塞的底数a不变，“指数相乘”是指基的指数m与乘方的指数n相

乘.

2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式.

【知识点二】积的乘方

b积的乘法法则

积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.即：用字母表示为

（仍）”=优6"（〃为正整数）.

2.法则的拓展运用

⑴积的乘方法则的推广：（人）=。？％"（"为正整数）.

（2）积的乘方法则也可以逆用，逆用时a*"=（ab）"（〃为正整数）.

特别提醒

1.积的乘方的前提是底数是乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即（a+W

a"+bn.

2.每个因数（式）可以是单项式，也可以是多项式.

3.在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一个.

在二.考点分类讲解

■

【考点目录】

【考点1】同底数幕相乘运算

试卷第1页，共4页

【考点2】同底数幕相乘与整体加减法综合运算

【考点3］利用同底数嘉相乘的法则求指数中字母的值

【考点4】同底数幕相乘的逆运算

【考点1】数的乘方运算与同底数暴相乘混合运算

［例1］（2023下•七年级课时练习）

1.计算：a-a2-a3+（-2a3-（-a）6.

【变式1］（2012上•重庆万州•八年级统考）

2.已知。=8P,6=27lc=961则”,仇c的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.a<b<cD.b>c>a

【变式2］（2018下•七年级课时练习）

3.计算：.

【考点2】数的乘方逆运算

【例2】（2022上•海南省直辖县级单位•八年级统考期中）

4.已知a，=—3,ay=3.求：

⑴产》的值；

（2）03,的值：

（3）/工+2》的值.

【变式11（2023下•七年级课时练习）

44

5.把255、3、533、622这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（）

55443322

A.25=<6-<3«<5»B.2<S<5<6

3344

C.5<255<622<3D.622<533<3*<255

【变式2】（2014下•江西抚州•七年级统考期末）

6.若a*=3,an=2,则武+"=.

【考点3】积的乘方运算与同底数哥相乘综合运算

【例3】（2023上•八年级课时练习）

试卷第2页，共4页

7.计算:

【变式1］（2023上•八年级课时练习）

8.下列各式的运算，结果正确的是（）

A.=x2y3B.（2a）3=6crC.（-ab）~=—ab°D.（2a）~=4a2

【变式2］（2023上•八年级课时练习）

9.已知a,6为任意非零实数，且（优斤・出『=，/。，贝|（3加）"=.

【考点4】积的乘方逆运算与同底数幕相乘的逆运算

【例4】（2023上•八年级课时练习）

10.（1）已知暧=5,a3"=8,求a""6，，的值；

（2）已知10。=5,10"=6,求IO?"3b的值.

【变式1］（2022下•吉林长春•七年级校考阶段练习）

11.x为正整数，且满足3也2,-32+1=63则x=（）

A.2B.3C.6D.12

【变式2】（2023上•八年级课时练习）

2023

12.计算：2022X52022X

31

【考点5】累的综合运算

【例5】（2023上•广东广州•八年级校考期中）

13.计算：28%89（+（-7X4/）+（2/）~.

【变式1】（2023•河北保定・统考二模）

14.下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是（）

试卷第3页，共4页

A.a2-a3B.(a2)3C.a^a-2D.a2-a4

【变式2】(2023・湖北襄阳•统考模拟预测)

15.+(。./)+°2=.

【考点6】幕的混合运算与逆运算

【例6】(2023上•全国•八年级专题练习)

16.计算：

(1)(2X2)3-X2-X4

(2)(-优甘(-6'尸

(3)(-3a3)2-a3+(-4a)2-a7-(-5a3)3

(4)(J)吗㈠。y+yx(一31产

【变式1】(2019上•福建厦门•八年级厦门双十中学校考期中)

17.2/可以表示为()

A.%3-?B.2X4-XC.x3+x3D.(2x『

【变式2】(2019上•辽宁鞍山•八年级统考期中)

18.已知ax=3,ay=9,JJlJa2x+y=.

试卷第4页，共4页

1.4/

【详解】原式=.6+4/-/=4/.

【易错点分析】幕的乘方中，当底数为负数时，如果指数为偶数，则结果为正数如果指数

为奇数，则结果为负数.合并同类项，要让同类项的系数相加减，字母和字母的指数不

变.

2.A

【分析】先把81,27,9转化为底数为3的幕，再根据幕的乘方，底数不变，指数相乘化

简.然后根据指数的大小即可比较大小.

【详解】解：••S=8P=(34}=33；

贝!]a>6>c.

故选：A.

【点睛】本题考查了幕的乘方，变形为同底数幕的形式，再比较大小，可使计算简便.

3."

【分析】先算乘方，再算同底数塞的乘法即可.

【详解】解：(a)./=/./=/；

故答案为：

【点睛】本题考查幕的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键.

4.(1)-9

⑵-27

(3)-243

【分析】本题主要考查幕的乘方、同底数幕的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关健

(1)利用同底数幕的乘法的法则进行运算即可；掌握同底数幕的乘法法则是解题的关键；

(2)利用幕的乘方的法则进行运算即可；掌握暴的乘方的法则是解题的关键；

(3)利用同底数基的乘法的法则及塞的乘方的法则进行运算即可；掌握相关运算法则是解

题的关键.

答案第1页，共7页

【详解】(1)解：优+>=优"=-3x3=-9.

(2)解：a"=(优)=(―3)3=—27.

(3)解：a3x+2y=a3x-ay=(a1■(ay)2=(-3)3•32=-27x9=-243.

5.A

【详解】先根据幕的乘方法则，把4个数化成指数相同的数，再根据底数的大小比较即可.

•.-255=(25)"=32%344=(34)"=8111,533=(53)"=125",6??=⑹)"=36"，且，

...255<622<3*<533.

【易错点分析】与塞有关的计算，需要用到如下策略：把不同底数的幕化为同底数的幕；把

不同指数的暴化为同指数的暴；把已知幕化为特殊底数的哥.

6.18

【分析】根据幕的乘方和同底数募的乘法的逆运算法则求解即可.

【详解】解：=3,a"=2,

.■-a2m+"=a2m-a"

=(a〃)2d

=32X2

二18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查察的乘方和同底数累的乘法，利用累的乘方和同底数塞的乘法逆运算法则

是解答的关键.

7.(l)37x6y12；

(2)-16x6.

【分析】(1)先利用积的乘方运算法则求解，再加减求解即可；

(2)先利用同底数幕的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可.

【详解】⑴解:(-2xy2)6+(-3x2/)3

=64/y2-27x6y2

=37/y2；

(2)解:(-2X2)3+X2-X4-

答案第2页，共7页

=-SX6+X6-9X6

=-16x6.

【点睛】本题考查同底数幕的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则并正确求解

是解答的关键.

8.D

【分析】根据积的乘方运算法则逐项计算，即可判断.

【详解】故该选项错误，不符合题意；

B.(2a)3=8a3,故该选项错误，不符合题意；

C\-ab^=a2b2,故该选项错误，不符合题意；

D.(2ay=4/,故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了积的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.

9.36

+1=3

【分析】利用同底数募的乘法、积的乘方计算得到十+力-2="/,推出据此计

["+2=4

算即可求解.

[详解】解：・；a"'b2-abn=am+'b"+2,

(amb2-ab”、=(a""*?丫=0%2。=丫，

.■.am+lbn+2=a3b4,

"a,b为非零实数，

m+1=3,〃+2=4,解得m=2,n=2,

故(3加)"=32x22=36.

故答案为：36.

【点睛】本题考查同底数嘉的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关

键.

10.(1)320；(2)5400.

【分析】(1)根据同底数幕的除法法则计算即可；

(2)根据暴的乘方以及同底数哥的乘法法则计算即可.

答案第3页，共7页

【详解】解：□)■■am=5,a3n=8,

.一加+6"m6n

••a=a'a

=屋".("".叫

=5x(8x8)

=320；

⑵•••10。=5,10:6,

...[02a+3b=l()2a•10防

=(10fl)2.(10A)3

=52X63

=5400.

[点睛】本题主要考查了同底数累的乘法逆用以及累的乘方与积的乘方的逆用，熟记幕的运

算法则是解答本题的关键.

11.C

【分析】先逆用同底数幕的乘法法则，将原式变形，再提取公因式，然后逆用积的乘方，即

可得到x的值.

【详解】原式可化为3,32X-3,2"2=66,

提取公因式，得3,2(3-2)=66,

.­.(3x2)A=66,

x—6.

故选：C.

【点睛】本题考查了累的运算同底数第的法则的逆用、积的乘方的逆用，解题的关键是掌

握累的运算性质.

【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可.

1

【详解】

15

故答案为：

答案第4页，共7页

【点睛】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键.

13.0

【分析】本题考查了募的混合运算，利用同底数募的除法运算法则及积的乘方即可求解，熟

练掌握相关运算法则是解题的关键.

【详解】解:原式=-4/+4/

=0.

14.A

【分析】分别根据同底数幕的乘法法则，哥的乘方运算法则进行计算，得出结果再进行判断

即可.

232+35

【详解】A、a-a=a=a-,

B、)=a2x3=a6；

C、2=/(-2)=a6；

D、a2'a4=a2+4=a6;

故选：A.

【点睛】本题主要考查了同底数暴的乘法以及累的乘方，解此题的关键是熟记事的运算和负

整数次塞运算法则.

15.2a2

【分析】先根据累的乘方和同底数塞的乘法进行计算，再根据同底数累的除法进行计算，最

后合并同类项即可.

【详解】解：(/丫

=a'+a~+“-

—Cl2+Q2

=2a之

故答案为：2a2.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键,

注意运算顺序.

16.⑴7/

(2)-2a3nb2n

(3)150a9

答案第5页，共7页

(4)-七

【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键.

(1)先计算幕的乘方以及同底数幕的乘法，再算减法即可；

(2)先计算募的乘方再算减法即可；

(3)先计算累的乘方再算加、减法即可；

(4)观察底数的特征，利用累的运算法则将底数转化进行运算.

【详解】(1)解:原式=8人尤6

=7x6；

(2)解:原式

=-2a3"b2n;

(3