河北省抚宁2021-2022学年高三年级下册一模考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了

一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间》和市场占有率V（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折

线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出V关于x的线性回归

方程为y=0.042x+a.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G手机市场占有率

能超过0.5%（精确到月）（）

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

77-7T

2.已知函数/（%）=sin（2x—-）的图象向左平移叭中＞0）个单位后得到函数g（x）=sin（2x+—）的图象，则（P的最小

44

值为（）

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

2

正视图侧视图

俯视图

A.24+万B.24—万

C.24—2TCD.24—3乃

4.过抛物线V=2px（p〉0）的焦点作直线交抛物线于4B两点,若线段中点的横坐标为3,且|A8|=8,则

抛物线的方程是（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=10%

5.如图，抛物线M：y2=8x的焦点为p,过点歹的直线/与抛物线M交于A,B两点,若直线/与以尸为圆心,

线段OP（。为坐标原点）长为半径的圆交于C,D两点,则关于值的说法正确的是（）

A.等于4B.大于4C.小于4D.不确定

6.使得（3%+」片］（〃£乂）的展开式中含有常数项的最小的n为（）

、xJ

A.4B.5C.6D.7

7.定义两种运算“★”与“♦”，对任意〃eN*,满足下列运算性质：①2*2018=1,2018*1=1；②（2n）

★2018=2[(2n+2)*2018],2018♦(«+1)=2(2018♦«),贝!J(201842020)(2020*2018)的值为()

8.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达3处，在C处有一座

灯塔，海轮在4处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在3处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么5,C两点间的距离

是()

4北

A.6逝海里B.6遍海里C.8近海里D.8逝海里

9.设z=：；~r+2i,贝！J|z|=

1+1

1

A.0B.-C.1D.V2

2

/(2)<12

10.已知函数/(x)=x24■加c+c，其中。，记函数满足条件:为事件A,则事件

/(-2)<4

A发生的概率为

004

11.设a=logoQ80Q4,b=log030.2,C=O,3,则。、b、。的大小关系为()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

x>\

12.已知实数尤,y满足线性约束条件x+y20，则山的取值范围为()

x-y+220”

A.(-2,-1]B.(-1,4]C.[-2,4)D.[0,4]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/(x)=sin2x-也cos2x的图像向左平移:个单位得到函数g(x)的图像.则g(x)在区间-上的

8oO

最小值为.

14.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩自服从正态分布N(100,cr2),已知

P（80<^<100）=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为

15.已知二项式（好-工］的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数_________.

16.在AA/C中，为定长，回+2园=3叫，若AABC的面积的最大值为2,则边的长为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建

立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消

除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品

加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2

万元.经统计A,3两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：

A市场:

需求量

90100110

（吨）

频数205030

3市场:

需求量

90100110

（吨）

频数106030

把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产〃吨该产品，在4、3两市场同时销售，以X

（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.

（1）求X>200的概率；

（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量“=190吨还是〃=200吨?并说明理由.

18.（12分）已知函数/'（%）=<zr-（a+l）lnx--+2（awR）.

X

（1）讨论函数/（X）单调性；

（2）当Q=—2时，求证：f（x）<ex—2x—.

19.（12分）已知在多面体A5CDE厂中，平面CDFE，平面ABCD,且四边形ECD厂为正方形，且OC//AB,

AB—3DC—69AD=BC=5,点尸，。分别是AD的中点.

（1）求证：PQ//平面EEC。；

（2）求平面AEE与平面PC。所成的锐二面角的余弦值.

22

20.（12分）已知抛物线6：必=4丫的焦点歹也是椭圆。2：与+鼻=1伍>6>0）的一个焦点，G与02的公共弦的长

ab

为2«.

（1）求。2的方程；

（2）过点歹的直线与C1相交于A、B两点,与。2相交于。、。两点，且衣与苑同向，设G在点A处的切线与

x轴的交点为"，证明：直线/绕点产旋转时，AMFD总是钝角三角形；

（3）尸为G上的动点，4、4为G长轴的两个端点，过点。作的平行线交椭圆于点R，过点。作4P的平行

线交椭圆于点S,请问AOHS的面积是否为定值，并说明理由.

21.（12分）如图，四棱锥尸-ABCD,侧面Q4D是边长为2的正三角形,且与底面垂直，底面ABC。是NA3C=6O。的

PM

菱形，M为棱PC上的动点，且五7=e[0,1]）.

（I）求证：A/BC为直角三角形;

(H)试确定X的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值为

22.(10分)已知顶点是坐标原点的抛物线「的焦点产在V轴正半轴上，圆心在直线y=gx上的圆E与x轴相切,

且E,b关于点/(—1,0)对称.

(1)求E和「的标准方程；

(2)过点口的直线/与E交于4B,与「交于C,D,求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据图形，计算出京亍，然后解不等式即可.

【详解】

解：x=jx(l+2+3+4+5)=3,y=|x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1

点(3,0.1)在直线y=0.042%+&上

0.1=0.042x3+4,a=-0.026

j=0.042%-0.026

令$=0.042%一0.026>0.5

x>13

因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，

故选：C

【点睛】

考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.

2.A

【解析】

首先求得平移后的函数g(x)=sin+2。一,再根据sin+2。一=sin[2x+?]求°的最小值.

【详解】

根据题意，/Xx)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

g(x)=sin2(%+0)—?=sin(2x+2o—?)=sin(2%+?),

所以2夕——JT=2k7r+7T-,keZ,所以夕=Qr+T々T，左eZ.又°>0,所以。的最小值为T士T,.

4444

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

3.B

【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体为边长为2正方体A5CD-ABC'。'挖去一个以3为球心以2为半径球体的工，

8

1,

如图，故其表面积为24—3乃+W义4*%*22=24—乃，

故选：B.

【点睛】

⑴以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元

素间的位置关系及数量关系.

⑵多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的

面积之和.

4.B

【解析】

利用抛物线的定义可得,1AB\=\AF\+\BF\=Xl+^+x2+§把线段AB中点的横坐标为3,1|=8代入可得p值，

然后可得出抛物线的方程.

【详解】

2

设抛物线y=2Px(p>0)的焦点为居设点A(x1,y1),B(x2,y2),

由抛物线的定义可知IA31=|AF\+\BF\=xl+-^+x2+^=(xl+x2)+p,

线段A3中点的横坐标为3,又|AB|=8,r.8=6+。，可得。=2,

所以抛物线方程为丁=4%.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键.

5.A

【解析】

利用P的坐标为(2,0),设直线/的方程为％-〃9-2=0,然后联立方程得广，最后利用韦达定理求解即

my=x-2

可

【详解】

据题意，得点歹的坐标为(2,0).设直线/的方程为％-四一2=。，点A,3的坐标分别为(玉,%),(%,%).讨论：

y2_8%

当根=0时，石=々=2；当机W0时，据「，得龙2—(8根2+4)%+4=0,所以%々=4,所以

my=x-2

|AC|-|B£>|=(|AF|-2).(|BF|-2)=(^+2-2).(X2+2-2)=^=4.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题

6.B

【解析】

13s

二项式展开式的通项公式为C：(3x)~(丁)"若展开式中有常数项，则小r-大片0,解得〃二人当r取2时，n

Xy/X22

的最小值为5,故选B

【考点定位】本题考查二项式定理的应用.

7.B

【解析】

根据新运算的定义分别得出201842020和2020*2018的值，可得选项.

【详解】

由（2八）★2018=2[（2«+2）*2018],得（2〃+2）★2018=1（2n*2018）;

又所以；，，，

2*2018=1,2018=,6*2018=^8*2018=^…以此类推,

z1X1010-1z1X1009

2020*2018=（2x1010）★2018=1-1=1-1,

又2018♦5+D=2（2018♦力,2018*1=1,

所以2018*2=2,201843=2\201844=23，…，以此类推，2018♦ZOZO：2?。％

(、10。9

所以(2018>2020)(2020*2018)=-Ix22019=21010,

故选：B.

【点睛】

本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.

8.A

【解析】

先根据给的条件求出三角形A3C的三个内角，再结合A8可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40°=30°.ZACZ)=110o,:.ZACB=U00-65°=45°,

:.ZABC=180°-30°-45°=105°.又45=24x0.5=12.

在AABC中，由正弦定理得------=-------

sin45°sin30°

12BC

即变—1，,BC=6"

V2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

9.C

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轨复数，化简复数心然后求解复数的模.

(j)(j)+2i

详解:Z=—+2i=

1+i(Ji)0+i)

=—i+2i=i,

则|z|=l,故选C.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共

朝复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式

相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

10.D

【解析】

/(2)<12[4+2Z?+c<12由图可知，P（A）=1.

由[<,分别以上。为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,

/(-2)<4[4-2ZJ+C<4

11.D

【解析】

202lo1=0b=lo

因为a=log0080.04=210go080-=log师>g^os>So.30.2>log031=0,

所以工=log。，7008,y=log。，0.3且y=log02x在（0,+。）上单调递减，且疝丽<0,3

所以一〉7，所以

ab

又因为〃=log^^。♦2>log^^=1,c=O.3004<0.3°=19所以

所以b>a>c.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间

值"0,1''比较大小.

12.B

【解析】

作出可行域，以表示可行域内点尸(％,y)与定点Q(0,-1)连线斜率，观察可行域可得最小值.

X

【详解】

作出可行域，如图阴影部分(含边界)，山表示可行域内点尸(x,y)与定点连线斜率，A(l,3),

X

七4=h0=4,过。与直线x+y=o平行的直线斜率为一I,...-1(心

1-0

【点睛】

本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题山表示动点尸(X,y)与定点

X

连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-73

【解析】

7TTT

注意平移是针对自变量X,所以g(x)=/(x+—)=2sin(2x—-),再利用整体换元法求值域(最值)即可.

812

【详解】

由已知，/(x)=sin2x-gcos2x=2sin(2x-—),g(x)=/(%+—)=

.._71.TT...._71.__7137r,,_71712万_,

2sinr[2(zx+-)--]=2sinz(2x-—),又无£一,^2%--er，

o312l_33」1233

2sin(2x-匚)e[-G,2],所以g(x)的最小值为—右.

故答案为：-6

【点睛】

本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.

14.10

【解析】

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得.

【详解】

解：PC>120)=1[l-2P(80<JV100)]=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=10份.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查正态分布曲线，属于基础题.

15.-672

【解析】

先令x=l可得其展开式各项系数的和，又由题意得2〃=512,解得〃=9,进而可得其展开式的通项，即可得答案.

【详解】

令尤=1,则有2〃=512,解得〃=9,

则二项式—21的展开式的通项为4+1=C；(x2)9-r(-1)r=(-2)r-C；x18-3r,

令r=3,则其展开式中的第4项的系数为(-2)3C；=-672,

故答案为：-672

【点睛】

此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题.

16.2

【解析】

设3C=a,以5为原点，8C为x轴建系，则C(a,0),设4(龙》),ywO,

\AB+2Ac\=\(2a-3x,-3y^=3a,利用求向量模的公式，可得[%—+y2=a2(y*0),根据三角形面积公式

进一步求出。的值即为所求.

【详解】

解：设5C=a,以3为原点，为x轴建系，则B(0,0),C(«,0),设A(x,y),ywO,

贝!］限+2叫=|(2a—3x,-3刈=J(2a-3x『+9/=3a,

即+y2=a2(y^0),

i2

^S^c=-BC-\y\,可得曰了归十=2.

乙乙乙

则BC=。=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)0.42；(2)”=200吨，理由见解析

【解析】

(1)设“A市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件A,4，4,“3市场需求量为90,100,110吨”分别记为

事件名，由题可得，，，()，PB),代入

g,B2,P(A)P(4)P(A)P4P(B3),

),计算可得答案；

P(x>200)=P(AB3+A.B2+

(2)X可取180,190,200,210,220,求出"=可0吨和〃=200吨时的期望,比较大小即可.

【详解】

(1)设“4市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件4，4,“3市场需求量为90,100,110吨”分别记为

事件与，则

B2,B3,

p(4)=0.2,P(4)=0.5,P(A)=0.3,

p(4)=0.1,P(S2)=0.6,P(B3)=0.3,

p(x>200)=为+A§3)

P(AB3+A

=P(4)P(B3)+P(A)P(B2)+P(A5)P(B3)

=0.5x0.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

(2)X可取180,190,200,210,220,

P(X=180)=P(A4)=02x0.1=0.02

P(X=190)=P(4JB1+4B2)=0.5X0.1+0.2X0.6=0.17

当〃=190时，E(r)=(180x5-10x2)x0.02+190x5x(1-0.02)=948.6

当“=200时，£(7)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1-0.02-0.17)

=985.3.

•.•948.6<985.3,

.•.〃=200时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量n=200吨.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.

18.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)根据/(九)的导函数进行分类讨论/(九)单调性

(2)欲证/(x)</—2x—L只需证lnx+2<e',构造函数g(x)=lnx—/+2,证明g(x)1mx<。，这时需研究

g(x)的单调性，求其最大值即可

【详解】

解：(1)y(x)=tzx-(a+l)lnx——+2的定义域为(0,+8),

X

ax2++1

/(力="^^+4=22

XXXX

①当时，由/"(xlvO得X>1,由/''(%)>(),得无<1,

所以/(九)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减;

②当0<。<1时，由/''(x)<0得1<X<L,由/''(X)>。，得1<1,或x>L,

所以/(%)在(0,1)上单调递增，在［1,J单调递减，在，,+［单调递增；

③当a=l时，/(力=(尤-2I'2所以/(%)在(O，+。)上单调递增；

④当°>1时，由/'(九)<0,得:<X<1,由/'(X)>0,得x<：，或X>1，

所以/(%)在(o,£|上单调递增，在单调递减，在(1,+8)单调递增.

(2)当。=—2时，欲证/(x)〈陵—2x—工，只需证Inx+2<el

令g(x)=lnx-e*+2,XG(0,+OO),则<(%)=,一凡

因存在1e(0」)，使得,=*成立，即有/=-In%,使得g'(%)=0成立.

当X变化时，g'(x)，g(x)的变化如下:

X(。，~)%

g'(x)+0—

g(x)单调递增g(x0)单调递减

所以g(x)max=g(Xo)=lnXo_e苑+2=_/_工+2=_x+—

0+2.

%0I尤0J

因为七«0,1),所以/+,〉2,所以g(x)max<—2+2=0.

%，

即g(x)=lnx-e'+2Wg(x)1mx<0,

所以当a=—2时，/(x)</—2x—,成立.

【点睛】

考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.

17

19.(1)证明见解析；(2)—.

【解析】

(1)构造直线P。所在平面P〃Q,由面面平行推证线面平行；

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的

余弦值.

【详解】

(1)过点PHLBC交BC于H点,连接Q”,如下图所示:

因为平面CD尸E，平面ABC。，且交线为CD,

又四边形CDEE为正方形，故可得CELCD,

故可得CE_L平面ABC。，又CBu平面ABC。,

故可得CELCB.

在三角形CBE中，因为P为班中点，PHLCB,CELCB,

故可得PH〃CE,H为CB中点;

又因为四边形ABC。为等腰梯形，”,。是。3,4。的中点,

故可得HQ〃CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且P〃,〃Qu平面P〃Q,CD,"u平面EC,

故面PHQ〃面EEDC,

又因为PQu平面「〃Q,

故PQ//面庄C£>.即证.

(2)连接AE,AC,作DM,AB交AB于M点,

由（1）可知CE,平面ABC。，又因为DF〃CE,故可得D-，平面A3CD,

则。尸，。河,。尸，。C；

又因为AB〃CD,DMLAB,故可得£>MJ_DC

即DM，DC,Z）厂两两垂直,

则分别以DM，DC,DF为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-肛z,

则DM=siAD2-AM2=752-22=721,

£)(0,0,0),4(0,0,2),E(0、,2,2),

A(7H,-2,0),P3,1,C(0,2,0)

~r7

设面的法向量为诩=(苍%z),则丽=(0,2,0),AF=(-721,2,2),

[m-FE=0f2y=0

则｛—/—，

m-AF=0^-V21x+2y+2z=0

可取沅=(2,0,A/21),

设平面PDC的法向量为为=(x,y,z),则方亍=(0,2,0),方声=

2y=0

n-DC=0_

则#x+3y+z=(/

n-DP=0

可取万=(2,0,—向)，

可知平面AEF与平面PC。所成的锐二面角的余弦值为

CIn-ml|2x2-21|17

COSu—■；~；-；—r——----------——

|n||m|2?+2125

【点睛】

本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.

20.(1)匕+三=1；(2)证明见解析；(3)是，理由见解析.

98

【解析】

96

(D根据两个曲线的焦点相同，得到储一廿=1,再根据G与c的公共弦长为2n得出F+K=I，可求出/和

匕2的值，进而可得出曲线C2的方程；

(2)设点根据导数的几何意义得到曲线G在点4处的切线方程，求出点〃的坐标，利用向量的数量积

得出丽•西>>0，则问题得以证明；

⑶设直线OR：y=%x,直线。S:y=&x，火(%为)、。(％%)、。(不，为)，推导出秘2=-苫以及

8

SAORS=g|(K—%)为%|，求出后和H,通过化简计算可得出4S：ORS为定值,进而可得出结论.

【详解】

(1)由。1：/=4丁知其焦点厂的坐标为(0,1),

•••R也是椭圆。2的一个焦点，.•・1—必=1，①

又G与02的公共弦的长为2#,G与02都关于y轴对称，且G的方程为必=4W

由此易知G与G的公共点的坐标为卜6，|[，•.•白+'=1，②

22

联立①②，得储=9,尸=8,故C的方程为匕+工=1;

98

(2)如图，4(%,%)，由必="得y'=],

・•.G在点A处的切线方程为y—X=](x—xJ,即丁=三一号，令y=0,得x/,即〃生。],

uuu__,___丫22

而用=(%,%-1),于是丽.丽=会-%+1=十+1>0,

因此是锐角，从而=Z47皿是钝角.

故直线/绕点/旋转时，AMED总是钝角三角形；

⑶设直线OR：y=Kx,直线OS:y=&x,火(%%)、。(％%)、0(如为)，

、9_9/_9

则尢幺=%+3稣3_笫98；9,

^0X。X；x；8

设向量砺和巫的夹角为。，

则AORS的面积为

SAORS=J网•网sin8=gj阿•网,(I—cos?©)

=；匡%-=3|左2七%一8乙七|=](%-%)退工/，

22

-^+―=1272272

由＜98'可得'同理可得石="'

y=k[X

2727272x72（k；+甘-2k目

故有4S%RS=（尢-左2）

9+8左；9+8后—64后代+72(将+甘)+8/

9

又％.k?=——,故

,72x72（Z；+g一2左#2）72x72（6+盾—2左/2）

二（9丫（、J72（#+%）+侬

64x1+72（灯+石）+81、J

72x72,2+代+；［72义［72（#+W）+162］,

~72（甘+后）+162—72（片+片）+162一

则S：°RS=18,因此，AORS的面积为定值3也.

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程,

构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题.

21.（1）见解析；（II）2=1.

【解析】

试题分析：（1）取入。中点。，连结以。为原点，oc为x轴，⑺为y轴，。尸为z轴，建立空间直角坐标

系，利用向量法能证明AP5C为直角三角形；（2）设M（a,b,c）,由黑=X（Xe［O,l］）,得"（后,0,Q—J交），

求出平面AMD的法向量和平面R4D的法向量,，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.

试题解析：⑴取AO中点。，连结OROCAC,依题意可知AB4O,AACQ均为正三角形，所以OC,AD,

又OCcOP=O,

所以平面R9C，

又PCu平面POC,所以ADLPC,

因为3C//AZ）,所以5CLPC,即NPCfi=90°,

从而A/ZC为直角三角形.

（H）法一：由（I）可知PO，AD,又平面PAD，平面ABCD,平面PAD「平面ABCD=AD,

POu平面Q4D,所以POL平面ABC。.

以。为原点，建立空间直角坐标系O-孙z如图所示，则

尸（0,0,百）,A（0,-1,0）,D（0,1,0）,C（^,0,0）,PC=（73,0-V3）

由两=X定=%（百,0,一百）可得点M的坐标（四,0,73-732）

所以而=（732,1,73-732）,DM=（732,-1,73—后），

AM=0

设平面他4。的法向量为"=(x,%z),贝"

nDM=Q

令z=/l,得〃=(2—1,0,>1),

显然平面PAD的一个法向量为OC=(73,0,0),

,—\n-OC\173(2-1)12小

依题意卜。式〃,，

1OC)1=〃||。。|=荷J+(4—1?)2L.g=5

解得;1=!或几=—1(舍去)，

所以，当4=:时，二面角P—A£>—M的余弦值为空.

35

法二：由⑴可知AO,平面POC,所以

所以NPOM为二面角P—AD—M的平面角,

即cosZPOM