正弦定理(1)教学设计

正弦定理(1)教学设计第第页共10页正弦定理(1)教学设计【教材】人教A版高中数学必修5第一章第一节【课时安排】第1课时【教学对象】高一（下）学生【教材分析】正弦定理揭示了三角形的边与角的数量关系，是计算斜三角形边长或角度的重要工具之一。达到定理的言语连锁水平并进行简单应用并不难，但为了让学生掌握定理探索的一般思路和定理的本质，本节课的教学定位是：既教定理的理解运用，又教定理发现的探索思路；既强调学习该定理涉及的数学思想方法，又渗透定理体现的数学美。【学情分析】★认知基础：①已学过“大边对大角，小边对小角”的定性描述，具有寻找定量结论的心理期望；②已学过锐角三角函数及解直角三角形，利于接受由特殊到一般的过渡；③任意角的三角函数、三角函数的诱导公式为定理的证明和应用打下了基础；★认知障碍：①猜想的证明；②定理证明思路的切入点。【教学目标】★知识与技能①了解正弦定理的应用背景，探索与证明正弦定理；②理解正弦定理的“结构不变性”和表达这一不变性的“字母可变性”。③了解解三角形的概念，初步学会“正用”正弦定理解决三角形中“已知两角一边求其他”和“已知两边及其中一边对角求其他”的问题。★过程与方法①经历观察发现、猜想并证明正弦定理的过程，领悟定理发现的探索思路，学习由特殊到一般的思维方式；②通过尝试定理的证明，领悟分类讨论和化归的数学思想。★情感态度价值观①感受正弦定理的统一美、对称美、简洁美；②体会正弦定理的科学价值和应用价值，形成崇尚数学的精神。【教学重点】正弦定理的发现、证明及理解【教学难点】正弦定理的发现与证明【教学关键】探索时由特殊延伸到一般寻找三角形的边角数量关系；证明时将一般情形化归为已得证的特殊情形考虑。【教学方法】以问题驱动法为主【教学手段】板书、计算机、PPT、几何画板设计意图：将学生置于天文学应用背景中，由设计意图：将学生置于天文学应用背景中，由“大边对大角，小边对小角”的定性结论已无法满足量化需求来创设障碍，激发学生主动学习新知的动力,亦反映了生活问题—数学问题—数学形式化的发展轨迹。背景引入设置障碍背景引入设置障碍牛刀小试新知探究猜想证明新知探究猜想证明设计意图：从特殊入手，通过引导学生对“过去的经验”进行联系整合发现直角三角形中的正弦公式，从而搭建思维阶梯，使学生能顺阶而上，逐步击破。设计意图：设计意图：通过解决开头实际背景中的地月距离问题，利于学生初步体会定理的应用价值和科学价值，亦符合学生期望；再根据桑代克的练习律与效果律设计练习，初步尝试定理的简单应用，达到巩固新知的目的。应用定理应用定理反馈巩固设计意图：小结意在让学生理清定理探索的一般思路及探索过程涉及到的思维方式、数学思想方法，并上升到理解定理本质的层次；作业意在让学生巩固提高，拓宽思维和知识面，了解正弦定理更完整的结论。设计意图：小结意在让学生理清定理探索的一般思路及探索过程涉及到的思维方式、数学思想方法，并上升到理解定理本质的层次；作业意在让学生巩固提高，拓宽思维和知识面，了解正弦定理更完整的结论。课堂小结布置作业牛刀小试【教学过程设计】牛刀小试（一）背景引入，设置障碍（1）趣味引入：问题1：月亮离地球有多远？由2015年12月初的“嫦娥四号将实现世界首次月球背面软着陆”的新闻，以及嫦娥奔月、“嫦娥一号”等探月的图片吸引学生注意力，提出问题1，激发好奇心；并引出法国天文学家拉朗德和其学生拉卡伊在17世纪中下旬首次计算出了地月距离的背景：选取了几乎位于同一子午线的柏林和好望角A、B和月球上的一地点C，当时的技术手段只能测出AB两地间的直线距离和∠A、∠B的大小，但他们使用了一个十分便捷的运算工具，就分别把地球上这两个地点到月球的距离求出来了。揭示本节课的任务就是要挖掘出这个“便捷的工具”。设计意图：选取“计算地月距离”的天文学应用背景引入，不仅因为当时两位天文学家正是利用正弦定理代入角三角形联系起来，因此，对于猜想的证明，该法应该是学生从认知规律上比较容易尝试成功的方法，符合学生的认知水平发展。分组让学生分别尝试证明锐角、钝角三角形的情况，可提高学生课堂的参与度，确保学生的主体地位。由于此方法与教科书所涉及的方法大同小异，是面向全体学生的证明过程，且为了让学生更好地体会数学证明的逻辑演绎过程，采用学生表述、教师板演，以更好地让大多数学生理解掌握。（8）得到定理:说明定理揭示了三角形中所蕴含的十分巧妙的边角数量关系，让学生再次共同感受定理的数学美：如此独特的美妙关系，也只有我们数学语言能如此简练地描述出来。（三）应用定理，反馈巩固（1）了解应用：问题6：正弦定理能解决哪些数学问题？举两个简单例子启发学生发现“知三求一”的特点，结合三角形内角和定理，便可初步得出定理的应用范围：（1）已知三角形两个角和一条边，求其它边和角；（2）已知三角形两条边和其中一边的对角，求其它边和角。实际应用：问题7：你能用正弦定理得到地月距离的求解思路了吗？回顾引入环节的地月距离问题，教师与学生共同探讨解题思路，寻找隐含条件，在定理表达式中标记出已知条件和隐含条件，直观体现“知三求一”：由三角形内角和定理可求角C；由正弦定理可表示出AC、BC。【解决思路】在△ABC中，已知∠A和∠B的大小、AB的长，则由三角形内角和定理可得∠C=180°-∠A-∠B，故由正弦定理得，即，.只要代入具体数据，地月距离便迎刃而解，至于具体数据是多少、怎么测的，鼓励学生课后上网查找资料拓展知识面。该距离问题的求解过程就是正弦定理的应用；一个简单的定理居然会在天文学中会被用到，其实它在许多领域测量距离或高度的问题中也很有帮助，下节课就可以见分晓。这节课先试着解决简单的纯数学问题。（3）了解解三角形的概念：把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。（4）练习解三角形：（学生先练习，后讲解，检验是否符合“大边对大角”）根据已知条件求三角形的其他边和角。①在△ABC中，已知A=60°，B=45°，c=20cm；②在△ABC中，已知a=15cm，b=10cm，B=30°.【学情预设】①，，由正弦定理得，，故，。②由正弦定理得，，故,故，从而有，∴，∴。设计意图：由于本节课只是《正弦定理》的第一课时，定理的应用还不是重点，所以该环节不做过多复杂的实际计算，只是让学生解决开头实际背景中的地月距离问题，既体现问题设置的有效性，又符合学生运用新知解决问题的心理期望。由学生运用所学新知识表述思路、解决问题，初步体会定理的应用价值，并简单引入其他领域的应用，为下节课的开展设置悬念，激发学习动机；而两道带有简单数据的纯数学解三角形问题则可让学生初步尝试正弦定理的两类简单应用。（四）课堂小结和作业布置（1）课堂小结：借助流程图与学生共同总结梳理本节课的定理发现思路：为了探究三角形的边角数量关系，从特殊的直角三角形入手，经历观察——实验——猜想——证明——得到正弦定理——应用定理；并引导学生上升到理解定理本质的层次，即理解其“结构的不变性，字母的可变性”。同时揭示本节课涉及的特殊到一般的发现思路、分类讨论和化归的数学思想。并留下悬念：正弦定理还有更令人惊叹的结论！即它的比值是一个可以由三角形自身确定的常量，是什么呢？结合课后题就会有重大发现。设计意图：借助框图梳理思路，包括定理的发现与探索过程、定理的证明、涉及的数学思想方法等，并让学生掌握定理学习的本质，潜移默化地让学生感受到有时过程比结果更重要。（2）作业布置：必做：①习题1.1之A组第1、2题；②完成钝角三角形中的正弦定理的证明过程；③平面向量是沟通角度和长度的重要工具，请尝试平面向量的相关知识证明定理。思考：任意△ABC中定理表达式的值会等于什么？结合习题1.1之B组第1题。设计意图：必做作业是定理的简单应用，学生可能会碰到有两解的问题，且在这一点上容易出错，为下节课学习定理应用的关键点作铺垫。而让学生尝试运用平面向量再次证明定理，既可巩固学生对平面向量的理解，又可拓宽学生的证明思路。思考作业是对定理比值问题的发现与解决，可让学生进一步了解正弦定理的完美，发现任意三角形与其外接圆直径的数量关系。【板书设计】附：本教学设计的创新之处①以7个问题为线索，问题驱动，环环紧扣，层层深入。让学生通过经历定理探索的一般思路，学的不仅仅是正弦定理一个知识点，而是日后学习千千万万个定理的一般思维方式，达到知一晓三，亦能提升“做数学”的条理性和严谨性。②让学生了解正弦定理的真实应用背景，拓宽了学生的数学文化知识面；比起创设虚拟情境来得真实和震撼，能让学生感受到小小定理的强大科学价值和应用价值，亦让数学课堂不再是冰冷的数字和单调枯燥的纯数学问题。③引导学生将研究对象由特殊延伸到