四川省宜宾市2021届高三年级下册第二次诊断性考试文科数学试卷 含解析

宜宾市普通高中2021级第二次诊断性测试

文科数学试卷

（考试时间：120分钟全卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合要求.

]已知集合A={N—3<%<3},§={R—1<%<4},则AB=（）

A.{用-3<x<4}B.{x|-l<x<3}

C.{%|-3<x<-l}D.{x|-l<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】因为集合4={削—3<x<3},3={x[—l<x<4},

所以A3={x|-l<x<3}.

故选：B.

2.命题“Vx>l,lnx>0”的否定是（）

A.X/x>1,Inx<0B,Vx>1,Inx<0

C.>1,In%<0D,Bx<1,lux<0

【答案】C

【解析】

【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.

【详解】根据全称量词命题的否定有：命题“v无>1,1皿>0”的否定是：3x>l,liu<0.

故选：C

3.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则

两次都摸出红球的概率为()

1125

A.—B.—C.—D.一

3236

【答案】A

【解析】

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】记1个白球为A,2个红球分别为。、b,

现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有Aa、Ab.aA.ab、bA、ba共6个，

其中两次都摸出红球的有ab、ba,

21

所以所求概率尸=二=二.

63

故选:A

4.已知向量a=(l,2)]=(3,1),向量C满足cJ_a,a//(c+b),则°=()

A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)

【答案】C

【解析】

【分析】设出。=(羽y),根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.

【详解】设e=(x,y)，则c+3=(无+3,y+l),

由c_La，得x+2y=。,

又&//卜+b），得y+l-2（x+3）=0,即y=2x+5,

x+2y=Qx=-2

联立C解得<

y=2x+5g

.•.c=（-2,l）

故选：C.

5.已知a=logs?,/?=5°3,c=logfZ,则（）

A.c<a<bB.a<c<b

C.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的性质结合中间量法求解即可.

03

【详解】a=log52<l,/7=5>l,c=log62<l,

,c1,C1

又a=log52=：1------,c=log62=-------,>l<log25<log26,

log25log26

,11c

所以1〉^-->--7>0,即

log25log26

所以c<a<）.

故选：A.

y-N--------------------

6.根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型”NA一内，其中y（单位：万

（%）

辆）为第X年底新能源汽车的保有量，。为年增长率，N为饱和度，%为初始值.若该市2023年底的新

能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%,饱和度为1300万辆，那么2033

年底该市新能源汽车的保有量约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据：

ln0.887»-0.12,ln0.30»-1.2）

A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆

【答案】B

【解析】

N

y=7\

【分析】把已知数据代入模型I、N八一年，求出对应的值即可.

1+-----1e

bo）

【详解】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值，

y---1-3-0-0--------1=3-00-----

则2033年底该省新能源汽车保有量为/.1300八旬giol+64e12,

I20）

因为如0.30々-L2,所以12ao.30,

13001300

所以y=®64,

l+64e121+64x0.30

所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.

故选：B.

7.已知点P是直线x+y+3=。上一动点，过点尸作圆C:（x+1）2+/=1的一条切线，切点为A,则

线段E4长度的最小值为（）

A.273B.272C.72D.1

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得=-户,则当归。取得最小值时，线段E4长度的最小，利用点到直线

的距离公式求出\PC\的最小值即可得解.

【详解】圆。：（%+1）2+/=1的圆心。（-1,0）,半径r=1，

由题意可得AC,

则1PAi=^|PC|2-|AC|2=^|pc|2-r2=,

则当|PC|取得最小值时，线段长度的最小，

\\上

PCL1+0+3|5

1c'-7rzi-72,

【答案】D

【解析】

【分析】化sin12x+E）为cos

,利用二倍角公式即可即可求解.

故选：c

10.在数列｛%｝中，已知。1=2,4=1,且满足4+2+。“=。〃+1，则数列｛%｝的前2024项的和为

()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】用〃+1去换4+2+。“=4+1中的"，得%+3=4+2-4+1，相加即可得数列的周期，再利用周

期性运算得解.

【详解】由题意得4+2=4+1，用72+1替换式子中的〃，得4+3=4+2-4+1，

两式相加可得4+3=-4，即。“+6=-4+3=4，所以数列｛4｝是以6为周期的周期函数.

又。］=2,“2=1,a3=—1,a4=—2,a5=—1,a6=l.

所以数列｛%｝得前2024项和S2024=337(q+a2+L+4)+^+%=3.

故选：A.

Y2v2b

n.设耳，工是双曲线c：j-斗=1(〃〉0”>0)的左、右焦点，。是坐标原点，尸是渐近线/:y=——x

aba

上位于第二象限的点，若|OP|=a,cos/gPO=g，则双曲线C的离心率为()

A.6B.石C.2D.3

【答案】D

【解析】

ha

【分析】根据题意，求出sinNPO6=—,cosNPOB二一一，进而求出sinNP60,在$尸。工中,

cc

由正弦定理列式求得2=2忘，再根据离心率公式运算得解.

a

b

【详解】如图，根据题意可得tanNPOE=——,

a

ha

sinZPOF2=—,cosZPOF2=——,

cc

又cosNF2Po=与，；.sinNF2Po=',

ZPF2O=n-(ZOPF2+ZPOF2),

又g⑴=一1＜0,g（2）=ln2＞0,所以存在/G（1,2）,使得且伍卜。，即％—2+ln/=。,

/.xe（O,xo）,g（x）＜0,即/'（x）＜0；（九o，+oo）,g（尤）＞0,即/'（九）＞0,

所以函数/（九）在（0,尤o）上单调递减，在（5,+"）上单调递增，

:二鹏，又由％o—2+ln/=。，可得%0e产0=e2,

1—XQ—InXQ1—XQ+XQ-21

x（）e"e2e2.

1

Q>—.

e

故选：A.

1—y-Ini*1—x—Inx

【点睛】思路点睛：由题意问题转化为a＞----；—,尤＞0,构造函数/（%）=-----；—,利用导数

xe%e

求出/（九）的最小值，即只要a＞/（%）..

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数z=一-（，为虚数单位），贝蛔=__.

1+i

【答案】1

【解析】

【分析】根据复数的除法运算计算得z=7,再根据复数的模长公式可得结果.

【详解】•』匕=士匚=出1

1+z（1+0（1-02

.•.|z|=L

故答案为：1.

【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的模长公式，属于基础题.

14.数列｛叫中，S”是数列｛4｝的前“项和，已知q=1,%=7,数列｛log?（%+1）｝为等差数列，则

*=

【答案】57

【解析】

【分析】根据题意，求出数列｛log2（%+l）｝的通项，进而求得与，利用分组求和得解.

【详解】令％=log2（“"+l），Q%=1,%=7,二4=1,4=3,

又数列｛2｝为等差数列，所以公差d=l,

:.bn=l+n-l^=n,即log?(a”+1)=〃，

a”=2"-1,

,、＜、2(1-25)

S=%+%+L+%=(2+2~+L+2)-5=--------------5=57,

51一2

故答案为：57.

15.所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点/、N,则线段MV长度的最大值

为.

【答案】2底

【解析】

【分析】根据题意，正四面体的外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，求出外接球半径R,

内切球半径"，线段"N长度的最大值为R+r得解.

【详解】由正四面体的棱长为6,则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，

设球心为。，如图，连接A0并延长交底面5CD于〃，

则AHL平面5CD,且H为底面△3CD的中心，

所以BH=®x6=2布,

3

在RtAAHB中，可求得AH=^AB2-BH2=^62一=2屈，

设外接球半径为R,内切球半径为「，

则7?2=收+0以2=12+(2卡—町，

解得R=域,r=0H=2瓜—R=^，

22

所以线段MN长度的最大值为R+r=2

故答案为：2乖.

A

16.已知尸为抛物线。：必=-8y的焦点，过直线/：y=4上的动点/作抛物线的切线，切点分别是

P,Q,则直线P。过定点.

【答案】（O,T）

【解析】

【分析】设。（%,%）,0（%，％），4（/，4），根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点从

而可确定直线尸。的方程，进而可得出答案.

【详解】设尸&,乂）,。（々,％），”（/，4），

由x?=-8y,得y=-豆x?,贝Uy，=——x,

则抛物线C在点P处得切线方程为y-％（x—%）,

nn112

即y=_W西x+［玉+x，

21

又再=一8%，所以,

又因为点M&4）在切线Mq上，所以4=—；芯/—%,①

同理可得4=_；工2/_为，②

由①②可得直线PQ的方程为4=一工方—y,

4.

所以直线尸。过定点（0,-4）.

故答案为：(OT).

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方

程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

(3)求证直线过定点(%,%)，常利用直线的点斜式方程y—%=左(4—/)或截距式＞=自+6来证明•

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必做题：共60分.

17.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,4c,J=L2Z?cosA=ccosA+acosC

(1)求角A的大小；

(2)若a=J7,6+c=4,求的值.

JT

【答案】(1)y

(2)3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简计算可求

出角A,

(2)利用余弦定理结合已知条件直接求解

【小问1详解】

S2/?cosA-ccosA+acosC,

所以由正弦定理得，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,

所以2sinBcosA=sin(A+C)=sin(万一5)=sinB,

因为sin5w0,所以cosA='，

2

rr

因为Aw(O,»)，所以A=§

【小问2详解】

因为Q=b+c=4,A=—,

•rr

所以由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccos—,

3

所以7=16—3Z?c,解得6c=3

18.如图，在四棱锥P—A5CD中，。。，平面人5。,45//。。，

AB，AD,AB=2PD=2C£>=2AD=4,E是丛的中点.

(2)求三棱锥P-BCE的体积.

【答案】(1)证明见详解

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)先证明1平面R4。，再根据线面垂直的判定定理证明；

(2)根据题意匕“CE="c-PBE，又CD//平面PAB,所以Vp-BCE=VJPBE=yD-PBE得解•

【小问1详解】

因为？D=A£>，E是P4的中点，所以。E，/%,

又P£)_L平面ABC£>,ABu平面ABCD,

：.PD±AB，又ABLAD,AD,PDu平面QA。，

.:AB1平面PAD,DEu平面QAD,

..DE±AB,尸448<=平面243,

二。石,平面？A5.

【小问2详解】

根据题意，得Vp_BCE=L.PBE，

又CD//AB,CD（Z平面？AB，ABu平面MB，

所以CD//平面R43，

所以点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离，

又SVPBE=：PE.AB=；X①乂4=2母,又平面B43，DE=g，

：』

"BCE=VE=VD-PB£=|X2V2XV2=|.

19.某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定

价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（%.，K）（i=L2,,5）,如表所示:

单价X（千

45678

元）

销量y（百

6764615850

件）

（1）若变量乂丁具有线性相关关系，求产品销量v（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程

y=bx+a；

（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与玉对应的产品销量的估计值少.当销售数据（务X）对应的残

差的绝对值花一刈,,1时，则将销售数据（七,y）称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个,

求“精准销售”至少有1个的概率.

55

参考数据：2%%=1760,2%,2=190

i=li=l

_n

2七%一加・》

参考公式：线性回归方程中b,a的估计值分别为B=号----------,a=y-bx

%2-nx—2

Ei=l

【答案】19.y=-4x+84

9

20.—

10

【解析】

【分析】（1）按照所给的参考公式，计算可得到线性回归方程；

（2）先求出5个销售数据中精准销售的个数，再根据古典概型的概率公式计算.

【小问1详解】

--67+64+61+58+50…

由题意，n=5,X=6，y=-------------------------=60,

结合参数数据得限*"=4.•.a=60-(-4)x6=84,

所以线性回归方程为§=Tx+84.

【小问2详解】

当x=4时，3=68，%=67,则［所以（玉,乂）为一个精准销售，

当x=5时，£=64，%=64,贝心2—%|=041，所以（%，%）为一个精准销售，

当％=6时，%=60，%=61，则校3—%|="1，所以（%%）为一个精准销售，

当x=7时，孔=56，％=58,则位厂以|=2>L所以（%%）不是一个精准销售，

当％=8时，丸=52,第=50,贝川%―%|=2>1,所以（%，%）不是一个精准销售.

记三个精准销售为A,B,C,两个非精准销售为m,n,

则从5个销售数据中任选2个，对应的基本事件有：

AB,AC,Am,An,BC,Bm,Bn,Cm,Cn,mn,

其中满足要求的共有9个，

9

所以“精准销售”至少有1个的概率为2=二.

20.己知椭圆。：「+2=1（。〉6〉0）的上下顶点分别为4，2，左右顶点分别为A，4,四边形

ab

4月人生的面积为66，若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点（—1,0）且斜率不为o的直线/与。交于RQ（异于A，4）两点，设直线4尸与直线4。交于

点M,证明：点M在定直线上.

22

【答案】20.—+^=1

95

21.证明见解析

【解析】

【分析】(1)设椭圆C上的一点丁(私〃)，则—aVmVa,表达出T(m，M到右焦点的距离d=二--。

从而得到最大值,最小值,得到方程,求出。=3,根据四边形姬鹏的面积求出帅=3也，得到人=75，

求出椭圆方程；

(2)先考虑过点(-1,0)且斜率不存在时，得到点M在直线％=-9,再考虑过点(-1,0)且斜率存在且不为

。时，设直线/方程为x=-1+叼，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，得到m%方=-4%-4%,

表达出&P,AQ的方程，联立后结合〃》%=-4%—4%得到(％+2%乂—1—9)=0,求出点M在直线

X=-9上，证毕.

小问1详解】

设右焦点坐标为&(c,0),椭圆C上的一点则—aV/nWa,

2

,,m/2b2m2

故一5-+F=1，即〃2=6-----厂，

a2b2a2

则T(m,n)到右焦点的距离d=^m-c)2+n2=J疗—2cm+c2+b2-空^

I~22

cmc2cm

二J——2cm+a=------a,

Vaa

」cmcm

因为一所以-eV——<c,-c-a<------a<c-a,

aa

cm

故a-cV------a<a+c,

a

即椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为,最小值为"C,

故Q+C+Q-C=2Q=6,解得a=3,

又四边形片与劣与面积为3|44卜4周=3义2心26=2仍=6百，

故ab=3后,所以b=

22

椭圆方程为工+匕=1;

95

要想(X+2%)(f—9)=0恒成立，则%=-9,

故点M在定直线x=-9上，

综上，点/在定直线％=-9上.

【点睛】方法点睛：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在

计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.己知函数/(x)=e*+ax+d

(1)若/(%)是R上的单调递增函数，求。的取值范围；

(2)当。=0时，/(x)+siiu>0对xeR恒成立，求b的取值范围.

【答案】(1)a>Q

(2)b>l

【解析】

【分析】(1)根据函数解析式，求出函数导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可；

(2)根据已知条件先对函数放缩，探究621时，/(%)+511«>0对兀三1i恒成立；再利用换元法探究

当621与匕<1时的情况，从而求得力的取值范围.

【小问1详解】

因为/(x)=ex+ax+b,a,beR,所以/'(x)=e*+a,

若〃%)是R上的单调递增函数，则在R上有了'(%)20恒成立，

即e*+a»0，所以有aN—e“xwR)，令g(x)=-e"

根据指数函数y=e，的性质有：］>0,则—1<0，

所以g(x)e(-<»,0)(xeR),所以a20,

综上，八％)是R上的单调递增函数，a>Q.

【小问2详解】

当a=0时，令/(x)=/(x)+sinx=eA4-sinx+Z?,

/(x)+sinx>0对xeR恒成立，即尸(x)>0对xeR恒成立,

F（x）=e'+sinx+^>ev+b-l>b-l,

当621时，E（x）>0对xeR恒成立，即/（x）+sinx>0对xeR恒成立；

当b<］时，令x=12k_：］兀，F（2左一g］兀二e〔"T"+b_i,

因为尸（2左为单调递增函数，令J?"；>+匕—1=0，解得左=；山（J,

k//7C/

mkeZ,k<------——-+-,F2k——兀=el2）+b-l<0,

2|_7i2J［I2J

此时，E（x）>0不恒成立，即/（x）+sinx>0不恒成立;

综上，当。=0时，/（x）+sinv>0对xeR恒成立，b>l.

【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式/（x"）NO（xeD,2为参数）恒成立问题中参数范

围的步骤：

1.将参数与变量分离，不等式化为fM>f.（%）或工（彳）三人（x）的形式；

2.求力（%）在％w。时的最大值或者最小值；

3.解不等式工⑷之力（%）_或工⑷（力（x）1rali,得到2的取值范围.

（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分

［选修4-4：坐标系与参数方程］

x=3+3cost

22.在平面直角坐标系中，点P是曲线G：〈、.（/为参数）上的动点，以坐标原点。为极

［y=3smf

点，无轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点。为中心，将线段OP逆时针旋转90得到。。，设点。

的轨迹为曲线

（1）求曲线。1，。2的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，点M的坐标为［8,射线/:。=m（夕>0）与曲线分别交于A,B两点，求

AMAB的面积.

【答案】（1）曲线G的极坐标方程为夕=6cos。，曲线C2的极坐标方程为夕=6sin。

（2）6（73-1）

【解析】

%二夕cos9

【分析】（1）先求出曲线C的普通方程，再根据