湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高二年级下册4月月考数学试题（含答案解析）

湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高二下学期4月月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知a,6eR,复数(/i+DQ+/i)=_3+5i,则,+6i|=()

A.石B.5C.y/3D.3

2.已知函数/(x)图象的一个对称中心为0),则/(x)的解析式可能为()

A.f=x1—x+—B./(x)=sin]

C./(X)=cos1|jc-：jD./(x)=tan(Hl

3.已知随机变量X〜2上,；J,则D(X)=()

15155

A.—B.—C.一D.-

16884

4.甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一

般，有4名同学球技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9,打赢球技高超的同学的

概率为0.1.甲从这10名同学中随机选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为()

A.0.54B.0.58C.0.60D.0.64

5.在“BC中，BD=6CD^则诟=()

6—►1―►

A.-AB+-ACB.——AB+-AC

6655

1―►6—►

C.-AB+-ACD.——AB+-AC

6655

6.将一个母线长为3cm,底面半径为1cm的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能

制作的最大零件的表面积为()

or.57r237r7

A.271cm*B.兀cmC.—cmD.—cm

22

22

7.已知片,工分别是椭圆M:J+==l(a>6>0)的左、右焦点，A是”的右顶点，过片

ab

3a+c27r

的直线与直线X=^—交于点P,射线片尸与〃交于点O,且』。与片=/尸/片=三,

则M的离心率为()

A.1B.C.-D.^1.

2242

8.已知函数“X)满足〃x+y)=/(x)+/(y)+为则"100)=()

试卷第1页，共4页

A.10000B.10082C.10100D.10302

二、多选题

9.2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则()

亿元%

60000一总量*增长速度15

5000048670.4

739894.141542.64驾~12

40000

33828.19

30000

8.0

200007.86

100003.84.53

°2017年201T年2019年20万年20210

年2022年

A.2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加

B.2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元

C.2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为7.6%

D.2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的60%分位数为7.7%

10.已知“3C的内角45,C的对边分别为a,b,c,。为线段8C上的一点，且

CD=s/3BD=V3,ZBAD=45",ZCAD=60°,贝I（）

A.c=\[?.bB.c=V2

C.AD=\D.zMDC的面积为百

II.已知集合42满足3={（尤,%z）|尤+y+z=ll,3/e/},则下列说法正确的是（）

A.若/={-2,0,1,13},则8中的元素的个数为1

B.若《=付x=2左+1,丘N},则3中的元素的个数为15

C.若/=N+，则B中的元素的个数为45

D.若4=N,则B中的元素的个数为78

三、填空题

12.双曲线C:4W-16即2=1的渐近线方程为.

13.C；6+C*+C；6+…+或被17除的余数为____.

14.(x—a)~+(x?—21nx—3a+4)的最小值为.

四、解答题

试卷第2页，共4页

⑴求巴；

(2)若",=±+7^,数列他,｝的前〃项和为S“，证明：5„<2.

74\anan+\

16.如图，在正方体/5CD-4MQDi中，乙尸分别为3G，/3的中点，点G在DC的延

⑴证明：EG,平面8CQ.

⑵求平面BQ。与平面DEF的夹角余弦值.

17.已知尸是抛物线C:r=20x(p>O)的焦点，过尸的直线/与C交于48两点，且48

到直线x=-3的距离之和等于|/卸+4.

(1)求。的方程；

⑵若/的斜率大于0,A在第一象限，过尸与/垂直的直线和过A与无轴垂直的直线交于

点、D,且|/同=|/必，求/的方程.

18.4盒子中有6个小球，2盒子中有8个小球，甲、乙两人玩摸球游戏，约定：甲先投

掷一枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的点数为偶数，则从/盒子中取出2个小球放入8

盒子，否则从4盒子中取出3个小球放入3盒子，乙再投掷一枚质地均匀的骰子，若

骰子朝上的点数大于4,则从8盒子中取出3个小球放入/盒子，否则从5盒子中取出

2个小球放入/盒子，整个游戏过程为一个回合.

(1)求第一个回合后4B两个盒子中小球个数相同的概率；

(2)两个回合后，记42两个盒子中小球的个数分别为x,y,求x-y的分布列与期望.

19.已知函数/(x)=ae*-x-a.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)若0恒成立，求。的取值集合；

兀71

(3)若存在_5cxi<0<%<w，-S-/(X1)+X1(1_COSX1)=/(x2)+x2(1-cosx2)=0>求a的

试卷第3页，共4页

取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】利用复数的乘法运算，结合复数相等及复数模求解即得.

【详解】由（/+1）（1+矿）=一3+5心得（1—/⑻+前十/万二―3+5i,而凡6ER,

因此G2+/J2=5，所以1+6i1=+台2=卡.

故选：A

2.D

【分析】借助二次函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项计算即可得.

【详解】对A：二次函数不是中心对称图形，故A错误；

11§

对B：当％=］时，3x—+—=3,由（3,0）不是函数y=sinx的对称中心，

故（go）不是〃x）=si"3x+：的对称中心，故B错误；

对C：当x=g时，|x1-^=0,由（0,0）不是函数卜=35》的对称中心，

故心,0）不是/（x）=cos伊-胃的对称中心，故C错误；

113

对D：当x=5时，3X———=0,由（0,0）是函数歹=tanx的对称中心，

故是/3=匕“女-||的对称中心，故D正确.

故选；D.

3.A

【分析】利用二项分布的方差公式计算.

【详解】随机变量》~45,；］,则。（丫）=5、-1-£|=2

故选：A

4.B

【分析】根据题意，结合全概率公式，即可求解.

【详解】根据题意，用4,4分别表示甲随机选取的选手时球技一般的同学，球技高超的同

学，

用3表示甲打赢这场比赛，

可得P（4）=0.6,P（4）=0.4,尸（514）=0.9,P（B14）=0」，

答案第1页，共14页

所以由全概率公式，可得尸(5)=尸(4)尸(814)+尸(4)尸(刃4)=0.58.

故选：B.

5.D

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.

【详解】由瓦5=6①，^AD-AB=6(AD-AC),整理得15=-!益+g次.

故选：D

6.A

【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径

与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球

的表面积公式即可得.

【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，

该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，

画出该轴截面如图，

由母线长为3cm,底面半径为1cm可得该圆锥的高〃=万=20cm，

设内切球的半径为「，贝lj有S='*2*2后=Lx3r+Lx3r+L2r,

2222

解得尸=---cm,即内切球表面积为4Tlz之=2兀cm?.

2

故选：A.

7.B

【分析】结合题意可得。鸟〃尸区,借助相似三角形的性质可得

y_%尸+c__|/片|_a+c

P即可得坨=Gc，/=2c,代入椭圆方程计算即可得离

&xg+c|。工|阳国2c

心率.

答案第2页，共14页

【详解】不妨设点尸在X轴上方,

由工4=l，即有族=万"=tan卜=6,QF21IPA,

y=Xp+c=|尸H=|四|a+c

则P

XQ^C~\QF2\~\FXF2\2c

由电%

3a+cq+c),

----------ua+c

2

3。+c

------FC

故%=yp'——=6c,Xp+cG2o

a+c=2c•-------c=2c---------------c=2c

a+ca+c

故有亨+学2

=1，整理可得4eJ8e2+l=0,

故八(大于L故舍去),

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助P点的横纵坐标，结合题意得到的空/〃〃，

计算出。点坐标，再代入椭圆中即可得解.

8.C

【分析】赋值得到/(x+1)-/(x)=2x+2,禾IJ用累力口法得至I]/(x+99)-/(x)=198x+9900,

答案第3页，共14页

令x=l得至1/(100)-/(1)=10098,赋值得到/(1),从而求出答案.

【详解】/'(X+力=〃x)+/(力+2中中，令y得,

/(x+g]=/(x)+U+x=/(x)+x+|,

故〃工+1)=/6+；卜+；+|=/^+?+x+

35

故/(x+l)=f(x)+x+—+x+—=f(x)+2x+2,

其中/(x+l)-/(x)=2x+2,①

/(x+2)-/(x+l)=2(尤+l)+2=2x+4,②

/(x+3)-/(x+2)=2(x+2)+2=2尤+6,(3)

/'(x+99-98)=2(x+98)+2=2x+198,

上面99个式子相加得，

/(x+99)-/(x)=99x2x+2+4+-+198=198x+网

=198x+9900,

令x=1得/(100)-f(1)=198+9900=10098,

/[x+：=〃x)+x+,中，令x[得,

故"100)=10098+/(1)=10100.

故选：C

9.ABC

【分析】根据给定的条形图及折线图，结合极差、众数及60%分位数的意义判断即得.

【详解】对于A,2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加，A正确；

对于B,2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为48670.4-33828.1=14842.3(亿元),

B正确；

对于C,2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为7.6%,C正确；

对于D,2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度从小到大依次为：

3.8%,4.5%,7.6%,7.6%,7.8%,8.0%,W6x60%=3.6,所以该组数据的60%分位数为7.6%,

答案第4页，共14页

D错误.

故选：ABC

10.BC

【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求

【详解】对于A中，由正弦定理得;痣而BDbCD

sin/BADsinZ.ADCsinZCAD

因为所以十鬻噂小艮小瓜所以A错误;

对于B中，由NB/O=45°,NC/O=60°,可得/A4C=NAD=105°,

历-K

可得cosZBAC=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=---------,

由余弦定理a2=〃+c2-»ccos/,可得(1+6)2=2/+°2-2瓦?xY1二理

4

解得c=0，所以B正确;

bCD-T/日•//八ebsinZCAD

对于C、D中，由,可得sinNADC=---------------=1,

sin/ADCsinZCADCD

可得=所以/。=1,则△/DC的面积为S=LxlxG=1,所以C正确，D错

222

误.

故选：BC.

11.BCD

【分析】对于A,由集合3的定义即可列举出集合B中所有的元素即可判断；对于B,A中

的元素均为正奇数，对x分类讨论即可验算；对于C,原问题等价于将11个大小相同、质

地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D,原问

题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利

用隔板法验算即可.

【详解】由题意得8={(-2,0,13),(-2,13,0),(0,-2,13),(13,0,-2),(13,-2,0),(13,0,-2)},所以3

答案第5页，共14页

中的元素的个数为6,A错误.

由题意得A中的元素均为正奇数，在B中,

当x=l时，有（1,1,9）,（1,3,7）,（1,5,5）,（1,7,3）,（1,9,1）共5个元素，

当尤=3时，有（3,1,7）,（3,3,5）,（3,5,3）,（3,7,1）共4个元素，

当x=5时，有（5,1,5）,（5,3,3）,（5,5,1）共3个元素，

当尤=7时，有（7,1,3）,（7,3,1）共2个元素，

当x=9时，有（9,1,1）共1个元素，

所以8中的元素的个数为5+4+3+2+1=15,B正确.

8={（尤,y,z）|x+y+2=ll,x）,zeN+},可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲

、乙、丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为C；0=45,所以8中的元素的个数为45,C正确.

8={（x,y,z）|x+y+z=ll,x,y,zeN}={k）/）（+l>g+l+<+l¥14,x+l,y+1,Z+1EN

可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为C；3=78,所以8中的元素的个数为78,D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此

即可顺利得解.

12.7x±4y=0

【分析】根据给定的方程，直接求出渐近线方程即可.

【详解】双曲线C:49mx2-16加=1的渐近线方程为49%/-16叼2=0,即7x±4y=0.

故答案为：7x±4y=0

13.15

【分析】根据二项式系数的性质得到C；6+C：6+C：6+…+C：：=2X244,再化简得到

4411101

2x2=2C°17-2C；117+---+2C；J17-2-17（a-l）+15,aeN+,得至I」答案.

答案第6页，共14页

【详解】由题意得M+C；6+C：6+…+C：；=；X246=2X244,

44n111,10l

H^j2x2=2xl6=2x(17-l)=2x(Ci117-C；117+---+C；°17-C；517°)

11101

=2C°l17-2C；,17+---+2CIJ17-2=17a-2=17(a-1)+15,aeN+,

所以所求的余数为15.

故答案为：15

14.j(l-ln2)2

【分析】(x-a)2+(x2-21wc-3a+寸可以看作尸(x,x2-21nx),。(a,3a-4)两点距离的平方,

即可转化为研究直线N=3x-4上的点到曲线g(x)=x2-21nx的距离的平方的最小值，借助

导数的几何意义计算即可得.

【详解】(x-4+仁一21nx-3a+4了可以看作尸(x,x2-21n。(a,3a-4)两点距离的平方,

动点P在函数g(x)=x2-21nx的图象上，动点0在直线＞=3x-4上,

2

gr(x]=2x--,当曲线＞=g(x)在尸处的切线与＞=3x-4平行时，|尸最小,

x

71

则g＜x)=2x-嚏=3,得x=2或％](负根舍去),所以切点尸(2,4-2山2),

小c…q|6-4+21n2-4||21n2-2|

尸至lj》=3x—4的星巨离d=J-----=————，

[21n2—2|丫

所以|尸的最小值为屋==|(1-1D2)2.

、屈,

故答案为：j(l-ln2)2.

15.(l)a„=w2

(2)证明见解析

【分析】(1)利用等差数列的通项公式即可求解；

(2)根据(1)结论及指数的运算，利用分组求和法、等比数列的前〃项和公式及裂项相消

法即可求解.

【详解】(1)设等差数列｛向｝的公差为d,则

*.*Q]—1,a?—4

答案第7页，共14页

..d—Ja1-J4—一—1,

2

(2)由(1)矢口，an=n,，%+i=(〃+l)2,

71111111

•b_____।___—.______________________

一〃"7^X72〃M〃+l)2“n〃+l'

C77111111111111

1.S“="7+”+a+…+“7=—r+----F-r+----F-r+—+•••+——+-------

〃123w2112222323342nnn-A

iiii(\iwiiwin(ii、

=--H---H--7H--H----F-..+——+——H--+------

2122232"(12)(23)(34){nn+1,

]_J_M+1JM+1

-2

wf+oo-f0,---->0,

2"n+1

I<2.

16.(1)证明见解析;

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.

（2）由（1）的坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.

【详解】（1）在正方体43co中，以。为原点，直线O4DCDA分别为x）,z轴

建立空间直角坐标系,

令AB=2,则。(0,0,0),8(2,2,0),G(0,2,2),£(1,2,1),G(0,3,0),尸(2,1,0),

答案第8页，共14页

于是丽=(2,2,0),西=(0,2,2),函=(-1,1,-1),显然丽・芮=0,西•灰^=0,

则DB1EG,DCALEG,而DB口DC】=D,DB,DC,u平面BCQ；

所以EGJ_平面BCQ.

(2)由(1)知平面3CQ的一个法向量为前=(-U,T)，丽=(2,1,0),诙=(1,2,1),

n-DF=2x+y=0一

设平面DE77的一个法向量"=(x,y,z),贝卜__.,取x=l,得〃=(1,-2,3),

n•DE=x+2y+z=0

ri'EG-6短

贝cos〈%EG)=

|«||£^|-V3XV14-7

所以平面与平面皿夹角的余弦值是半

17.(1)/=4x

(2)4x—3y-4=0

【分析】(1)由因为48到直线x=-3的距离之和等于|/a+4,根据抛物的定义和焦点弦

长，列出方程2(/+3)=朋+4-囱，求得P的值，即可求解；

(2)设/：尤=即+1(加>0),联立方程组，得到乂+%=4机,%力=-4,结合跑线的焦点弦长

得到|/3|=4(疗+1),再设求得|/必=(*+1)%，根据[4却=|/。|,求得加的值，

即可求解.

【详解】(1)解：由题意，抛物线C:r=28(p>0)的焦点为尸(§0),准线方程为x=-^,

则4B到准线x=-1的距离之和等于\AF\+\BF\=\AB\,

因为4B到直线x=-3的距离之和等于阳|+4,可得2(苫+3)=网+4-朋，

解得P=2,所以抛物线C的方程为「=4联

⑵解:由焦点尸(1,0),可得设/：彳=吵+1(勿>0)且蜜%,必)5>0)](巧,力),

[x=my+1c

联立方程组2，，整理得V-4叼-4=0,

[y=4x

答案第9页，共14页

贝I]△=(—4冽y+16〉。且必+%=4加，%%=一4，

所以|/理=再+/+2=加(必+%)+4=4(加2+1),

设。01，。，由左方•33=_1，可得*=—^=_白=一壮,

/一1KAB

即I=-m(xx-1)=一加2%,

22

所以|/必=%+myl=(m+1)%，

由以邳=4(m2+1)=国卜(m2+1)%,可得％=4,

代入「一4叩一4二0,可得16—16加一4=0,解得加=^,

所以直线/的方程为4x-3y-4=0.

18.(1)1

6

Q

(2)分布列见解析，E(X-Y)^--

【分析】(1)分别计算出每种情况的概率后借助相互独立事件的乘法公式计算即可得；

(2)分别计算出每个回合的各种情况的概率后，借助相互独立事件的乘法公式计算两个回

合的不同情况的概率即可得.

【详解】(1)由题意可得从/盒子中取出2个小球放入8盒子的概率为:，

从/盒子中取出3个小球放入5盒子的概率也为3,

从3盒子中取出3个小球放入/盒子的概率为g,

从3盒子中取出2个小球放入/盒子的概率为:，

答案第10页，共14页

设4、q（i=2,3）分别表示从A盒子和从8盒子中拿出i个小球放入另一个盒子的情况,

则第一个回合后43两个盒子中小球个数相同的概率为：

尸四）=K=

（2）一个回合中，从/盒子中取出2个小球后再从3盒子中取出2个小球的概率为：

121

P（A2B2）=-x-=-,此时/盒子、B盒子中分别有6个、8个小球，

从/盒子中取出2个小球后再从3盒子中取出3个小球的概率为：

「（44）=!乂!=），此时/盒子、8盒子中分别有7个、7个小球，

从A盒子中取出3个小球后再从B盒子中取出2个小球的概率为：

121

P（^A3B2）=此时/盒子、5盒子中分别有5个、9个小球，

从A盒子中取出3个小球后再从B盒子中取出3个小球的概率为：

==i此时/盒子、B盒子中分别有6个、8个小球，

236

即一个回合中，甲盒子中减少一球的概率为g,

甲盒子中小球数量不变的概率为:+!=1,

362

甲盒子中小球数量增加T个的概率为9，

设第一回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为C-,C°,G,

第二回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为2,

则X-丫的可能取值为-6、-4、-2、0、2,

P（^-y=-6）=P（C1D1）=|x|=|）

P（^-y=-4）=P（C1D0）+^（C0JD_1）=|x|+|x|=1,

P（X-y=-2）=尸（C0A）+尸（。必）+网％2）=囚+2x|xl=l|,

<2J3636

P（^_y=O）=JP（CoD1）+P（C1Do）=2x|xi=1）

p（x-y=2）=p（cn）=33：，

即其分布列为:

答案第11页，共14页

X-Y-6-4-202

111311

9336636

111-111o

gffl^£^-r)=-6x-+(-4)x-+(-2)x-+0x-+2x-=--

19.(1)答案见解析;

⑵出；

(3)(0,1).

【分析】(1)求出函数的导数，再分类讨论导函数值正负即可得解.

(2)由已知可得。>0,再利用(1)的结论求出函数/(x)的最小值，并构造函数探讨函数

最大值即得.

(3)根据条件，将问题转化为函数g(x)=ae、-xcosx-。在(-卞0)和(0,9存在零点，再分

类讨论并借助导数、零点存在性定理探讨零点即得.

【详解】(1)函数/(x)=ae*-x-a的定义域为R,求导得/''(x)=ae*-1,

当时，/'(x)<0,函数/⑴在R上单调递减；

当a>0时，由/'(x)<0,得x<-lna,f(x)递减,由尤)>0,得x>-lna,递增，

所以当时，函数"X)在R上单调递减；

当a>0时，函数/(X)在(-00,-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)单调递增.

(2)依题意,/(0)=0,由/(x)20恒成立，#/(l)=a(e-l)-l>0,则a>0,

由(1)知,/(A：)min=/(-lna)=l+lna-a,令〃(a)=l+lna-a,a>0,

求导得〃'(a)='-l,当0<a<l时，h'(a)>0,函数”(。)递增，当a>l时，h'(a)<0,函数〃(a)

a

递减，

因此〃⑷2=硝)=°，由/(X)»0恒成立，得〃(a)20,则。=1，

所以。的取值集合为{1}.

(3)由/(X1)+XI(1-COSXJ=/(X2)+X2(1-COSX2)=0,得

1X2

ae'-再cosxx-a=ae-x2cosx2-a=0,

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☆glxAae'-xcos_r-a,XeKg),依题意，函数g(>)在(-■!，())和(0,|