2.6 行列式的性质_第1页
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文档简介

§2.6行列式的性质1

行列式的性质2

行列式的计算3

方阵乘积的行列式一、行列式的性质性质1行列式按任一行展开,其值相等,即例2

计算解

同理

推论若行列式的某一行全为零，则行列式等

于零.

性质2n阶行列式某两行对应元全相等,则行列式为零.即当aik=ajk,i≠j,k=1,…,n时,detA=0.证

（归纳法）结论对二阶行列式显然.由于Mij(l=1,…,n)是n-1阶行列式，且其中都有两行元全相等，所以设结论对n-1阶行列式成立，对于n阶：按第k(

i,j)行展开性质3

证

例3

注意与矩阵加法的区别？性质4（行列式的初等变换）若把行初等变换施于n阶矩阵A上：(1)将A的某一行乘以数k得到A1，则

detA1=k(detA)；(2)将A的某一行的k(≠0)倍加到另一行得到A2,则

detA2=detA；(3)交换A的两行得到A3,则

detA3=-detA.证(1)按乘以数k的那一行展开，即得结论成立。（2）（3）i行j行

推论若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值为零.2.初等矩阵的行列式：应用：3.初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式：

例4性质5

设A为n阶矩阵，则证

即存在初等矩阵设又A不可逆

AT不可逆所以det

AT=0当A不可逆时：存在初等矩阵当A可逆时：由性质5，例5.奇数阶反对称阵的行列式必为零.证设Ann(n为奇数)满足：

例6计算4阶行列式解

行列式性质小结：

二、三类初等变换：1.换行反号,

2.倍乘,

3.倍加.

三、三种为零：

1.有一行全为零,3.有两行成比例.

2.有两行相同,四、一种分解.五、一、按行展开：例7计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．二、行列式计算解例8.设，求detA.解.例9.计算解.例10.计算解.例11.证明范德蒙行列式(n≥2)证.n=2:设对于n-1阶结论成立，对于n阶：n-1阶范德蒙行列式

例12

例13利用范德蒙行列式计算四阶行列式解：把上式等号右边的行列式的最后一行依次与前面的行交换，共交换3次，得此为4阶范德蒙行列式，由公式结果得D=-(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)例14.计算解.加边法三.利用行列式及伴随矩阵求逆矩阵伴随矩阵定义设A为方阵，元素在|A|中的代数余子式为则矩阵称为A的伴随矩阵.定理1.方阵A可逆的充要条件为detA≠0.且当A可逆时，例如设，验证A是否可逆，若可逆求其逆矩阵.

解：,故A可逆所以定理2.设A,B为n阶方阵，则证.即存在初等矩阵若A可逆，则R=I,若A不可逆，则R的最后一行全为零,RB的最后一行全为零.设(行阶梯形矩阵)

推论1设Ai(i=1,…,t)为n阶矩阵，则推论2设A,B为n阶矩阵，且AB=I

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